某些曲线复形的连通性

Connectivity of Some Curve Complexes

摘要: 在这篇文章中，我们给出了曲面和柄体上的四种单纯复形：non-equal complex，part cut system complex，non-equal disk complex，domain disk complex，并且研究了它们的连通性。

Abstract: In this paper, we introduce non-equal complex, part cut system complex on the surface and non-equal disk complex, domain disk complex on the handlebody and study their connectivity.

1. 引言

Harvey在[1]中首次给出了曲线复形的定义，即一个单纯复形，其顶点为曲面上的曲线合痕类，其单形为一族非相交曲线合痕类。曲线复形的连通性得到了广泛研究，[2]和[3]中使用了各种方法进行验证。这一概念导致了其他几种单纯复形的出现。

Disk复形将曲面上本质曲线替换为本质disk的边界。McCullough在[4]中证明了disk复形的连通性。Scharlemann复形的顶点为S3中2维Heegaard分解中的reduced曲线，顶点之间有一条边，如果它们相交四次。其连通性是由Scharlemann在[5]中建立的。Hatcher和Thurston在[6]中定义了cut system复形，他们在可定向曲面上证明了该复形的连通性。Masur和Schleimer在[7]中证明了分离曲线复形的连通性。Harer在[8]中表明，Arc复形是可收缩的，这意味着它是连通的。Wajnryb在[9]中证明了柄体cut system复形的连通性。Guo和Liu在[10]中证明了柄体上一系列单纯复形的连通性，包括各种类型的复形，如disk复形、非分离disk复形和分离disk复形。

Putman在[11]中引入了基于群作用理论的方法，由于其高效性，本文将采用此方法。

本文涉及许多几何拓扑知识，具体内容可参见[12]。

在现有定义的基础上，本文将介绍略作修改的曲线复形，并展示它们的连通性。下面便是本文的主要定理：

定理1：Non-equal complex $C_{ne}\left(S\right)$ ，part cut system complex $C_{pcs}\left(S\right)$ ，non-equal disk complex $D_{ne}\left(S\right)$ ，domain disk complex $D_d\left(S\right)$ 都是连通的。

2. 预备知识

我们先给出下文必要的一些定义。

定义1：设$g\left(S\right)>2$ 。Non-equal complex$C_{ne}\left(S\right)$ 是一个单纯复形，其顶点集$V_1$ 是曲面上所有曲线合痕类，这些曲线将S分割成两个亏格分别为$g_1,g_2\left(g_1\ne g_2\right)$ 的曲面，在单纯集$S_1$ 包含的集合中，任意两个元素之间的几何交叉数为零。

定义2：设$g\left(S\right)>2$ 。Part cut system complex$C_{pcs}\left(S\right)$ 是一个单纯复形，其顶点集$V_2$ 包含一组不相交曲线合痕类，沿着这些曲线$\langle C_1,\cdots ,C_n\rangle \left(n<g\right)$ 切割表面后不会使表面分离，在单纯集$S_2$ 包含的集合中，任意两个元素之间只有一个曲线不同，并且这两条不同曲线之间的几何交叉数为i。

我们将在下文中分别证明$i=1$ 和0的情况。

定义3：假设$g\left(S\right)>2$ 。Non-equal disk complex$D_{ne}\left(S\right)$ 是一个单纯复形，其顶点集$V_3$ 包含将表面分割成亏格为$g_1,g_2\left(g_1\ne g_2\right)$ 的曲面的meridian曲线合痕类，在单纯集$S_3$ 包含的集合中，任意两个元素之间的几何相交数为零。

定义4：假设$g\left(S\right)>2$ 。Domain disk complex$D_d\left(S\right)$ 是一个单纯复形，其顶点集$V_4$ 是边界均为meridian曲线类的domain类，在单纯集包含的集合中，任意两个元素之间存在一个代表元素，并且它们彼此不相交。

我们下面通过画出这几种复形的局部图来解释它们。

Figure 1. Non-equal complex’ surface

图1. Non-equal复形曲面

对于第一种复形non-equal complex，我们以图1为例子，该图为一个具有三个亏格没有边界的可定向闭曲面，我们画出其上的四条闭曲线$a,b,c,d$ ，它们都将该曲面分割为两个子曲面，分别具有亏格1和2。那我们根据non-equal complex复形的定义，可以发现，a与其余三条曲线不相交，d也满足这个条件，而$b,c$ 相交于四个顶点，那么我们可以画出它们四个在复形上的情况，即如图2所示。

Figure 2. Non-equal complex

图2. Non-equal复形

我们下面看第二种复形part cut system complex，这种曲线复形的定义与Hatcher和Thurston在[6]中定义的cut system复形类似，但我们这里考虑更复杂的情形。虽然在上文我们提到我们将在本文证明该复形的两种情况，但我们这里仅以一种情况即$i=0$ 时来举例说明。

Figure 3. Part cut system complex’s surface

图3. Part cut system复形曲面

以图3为例，该图为一个具有三个亏格没有边界的可定向闭曲面，我们画出其上的四条闭曲线$a,b,c,d$ ，它们都为不分离曲线，并且我们将这四条曲线两两组合，可以得到符合要求的part cut system$\langle a,b\rangle ,\langle a,c\rangle ,\langle a,d\rangle ,\langle b,d\rangle ,\langle c,d\rangle$ ，然后根据构造复形的要求，我们可以得到如图4所示的图。

Figure 4. Part cut system complex

图4. Part cut system复形

下面对第三种复形non-equal disk complex来举例介绍。这种复形与non-equal complex非常相似，不同之处在于它其中的每一条曲线都要求在曲面对应的柄体中界定一个disk。事实上，图1中的四条曲线均满足这个要求，那么图2也是这四条曲线在non-equal disk complex中的局部图。不过我们可以再举一个类似的例子来说明，如图5。

Figure 5. Non-equal disk complex’s surface

图5. Non-equal disk复形曲面

该图为一个具有四个亏格没有边界的可定向闭曲面，我们画出其上的五条闭曲线$a,b,c,d,e$ ，它们均为meridian曲线，并且都将该曲面分割为两个子曲面，分别具有亏格1和3。研究它们的相交关系会发现只有$d,c$ 相交于四个顶点，而其余曲线与别的曲线都不相交，依据此，我们可以画出它们对应的复形，如图6。

Figure 6. Non-equal disk complex

图6. Non-equal disk复形

最后，我们来简要介绍第四种复形domain disk complex。这种复形与其他复形最大的不同之处在于它的每个顶点是子曲面的合痕类，而非闭曲线的合痕类。我们以图7为例说明。

Figure 7. Domain disk complex’s surface

图7. Domain disk复形曲面

该图为三个亏格的曲面，我们画出了上面几条曲线$a,b,c,d,e,f$ ，很明显可以看出，它们都是meridian曲线，即在曲面对应的柄体种界定disk。我们选取三个子曲面，分别是由$a,b$ 界定的pant$\alpha$ ，$e,f$ 界定的平环$\beta$ ，$c,d$ 界定的pant$\gamma$ 。然后根据它们之间的相交情况可以画出复形。如图8。

Figure 8. Domain disk complex

图8. Domain disk复形

下述引理是我们的主要方法，主要定理的几乎所有部分都是通过这个引理证明的。

引理1 (Putman [11])：考虑群G在一个单纯复形X上的作用。固定基点$v\in X^{\left(0\right)}$ ，令G是S的生成元集合。假设它们满足以下条件：

1) 对于任意$v^{\prime }\in X^{\left(0\right)}$ ，它的轨道$G\cdot v$ 与X中$v^{\prime }$ 的连通分支相交。

2) 对于任意$s\in S^{\pm 1}$ ，存在一条从v到$s\cdot v$ 的路径$P_s$ 在X中。于是X是连通的。

证明：考虑$v^{\prime }\in X^{\left(0\right)}$ ，根据条件1，存在$g\in G$ 和一条从$g\cdot v$ 到$v^{\prime }$ 的路径P。若g可以被写为$S^{\pm 1}$ 中的形式$s_1\cdots s_k$ 。那么路径

$P_{s_1}-s_1{P}_{s_2}-\cdots -s_1{s}_2\cdots P_{s_k}-P$

是一条从v到$v^{\prime }$ 的路径。

Figure 9. Genertors of mapping class groups

图9. 映射类群生成元

下面是Lickorish的著名定理和Takahashi的柄体相应版本：

定理2 (Lickorish [13])：设S是一个具有亏格$g>1$ 的可定向闭曲面。由图9中展示的$3g-1$ 条曲线的Dehn twist 成的集合T是映射类群$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)$ 的生成集：

$T=\left\{T_{{\alpha }_1},\cdots ,T_{{\alpha }_g},T_{{\beta }_1},\cdots ,T_{{\beta }_g},T_{{\gamma }_1},\cdots ,T_{{\gamma }_{g-1}}\right\}$

定理3 (Takahashi [14])：设S是一个具有亏格$g>1$ 的可定向闭曲面。记${\alpha }_i,{\beta }_i\left(i=1,\cdots ,g\right),$ ${\gamma }_i\left(i=1,\cdots ,g-1\right)$ 是S上如图9所示的一组简单闭曲线。假设H是一个柄体，使得$S=\partial H$ ，并且每个${\alpha }_i$ 都是H中的一个本质圆盘的边界。将它们的Dehn twist表示为$T_{{\alpha }_i},T_{{\beta }_i},T_{{\gamma }_i}$ 。柄体$M_g$ 的映射类群由以下生成：

$\Sigma =\left\{T_{{\alpha }_1},T_{{\beta }_1}{T}_{{\alpha }_1}^2{T}_{{\beta }_1},T_{{\beta }_i}{T}_{{\alpha }_i}{T}_{{\gamma }_i}{T}_{{\beta }_i},T_{{\beta }_{i+1}}{T}_{{\alpha }_{i+1}}{T}_{{\gamma }_i}{T}_{{\beta }_{i+1}}\left(i=1,\cdots ,g-1\right)\right\}$

3. 主要定理的证明

接下来，我们将使用上述引理来证明本文的主要定理。

3.1. $C_{ne}\left(S\right)$ 的连通性

引理2：$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)\times C_{ne}\left(S\right)\to C_{ne}\left(S\right),f\cdot \left[c\right]\mapsto \left[f\left(c\right)\right]$ 是一个transitive的群作用。

证明：我们将证明对于任何$f\in ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)$ ，如果$c\in V_1$ ，则$f\left(c\right)$ 也在$V_1$ 中，并且对于任意点$v_0\in V_1$ ，有$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)\cdot v_0=V_1$ 。针对第一个断言，我们需要证明对于任何$f\in T$ 中的元素，$f\left(c\right)\in C_{ne}\left(S\right)$ ，其中T为$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)$ 的生成集。考虑f为沿着曲线$\delta$ 的Dehn扭转。当$i\left(\left[\delta \right],c\right)=0$ 时，我们有$f\left(c\right)=c$ 。因此，我们关注$i\left(\left[\delta \right],c\right)>0$ 的情况。设N是$\delta$ 的正则领域，c和$f\left(c\right)$ 的差别仅在N中出现。沿着c切割曲面S，我们观察到N变成多个四边形带，每个带都粘在N的边界上。在沿着$\delta$ Dehn twist后，曲面等价于将N切成这些带，然后沿着$\delta$ 绕了一圈，接着重新粘在一起。因此，最初分开的曲面在Dehn twist后保持分离，说明曲面的映射类群保持分离曲线。

接下来，我们的目标是证明对具有亏格$g_1$ 的曲面$S_1$ 经过变换后产生的新曲面$S_2$ 仍具有亏格$g_1$ 。由于$S_2$ 是一个带边界的曲面，其亏格即为通过沿每个边界附加一个盘所得到的曲面的亏格。设${S^{\prime }}_2=S_2\#D^2$ 表示盘附加后的曲面。

于是，我们研究$S_1\cup N$ ，其与原来的曲面$S_1$ 的区别在于它在曲面上沾上数条并不改变曲面定向的丝带。那么它的亏格数等于$S_1\cup N\#n{D}^2$ 的亏格数。事实上，$S_1$ 和$S_2$ 相对于$S_1\cup N$ 的区别恰在于n个拓扑球体。这意味着$S_1\#{\displaystyle \sum D_{1i}^2}=S_1\cup N=S_2\#{\displaystyle \sum D_{2i}^2}$ 。所以，在不改变定向的情况下，$S_1\#D^2=S_1\cup N\#n{D}^2=S^2\#D^2$ 。

因此，亏格根本没有改变。所以，$g\left(S_2\right)=g_1$ 。

Figure 10. Separating curves

图10. 分离曲线

接下来，我们证明这个群作用是transitive的。我们任意选择$c_1,c_2\in C_1$ ，沿着它们切割曲面，得到四个曲面$S_1^1,S_1^2,S_2^1,S_2^2$ ，它们的亏格分别为$g_1,g_2,g_1,g_2$ 。根据曲面的分类定理，我们可以构造一个映射$f:S_1^1\cup S_2^1\to S_1^2\cup S_2^2$ ，它是一个同胚，将边界映射到边界，那么$f\in ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)$ 。这证明了它的传递性。

主要定理的证明：($C_{ne}\left(S\right)$ 的情况)设T是映射类群$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)$ 的生成集。然后根据引理2，我们可以得到一个良定义的群作用：

$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)\times C_{ne}\left(S\right)\to C_{ne}\left(S\right)$ .

选择图10所示的曲线$v=v_{g_1}$ 作为我们的基点。现在我们需要验证引理1中的两个条件。

Figure 11. Curve after the Dehn twist of $\gamma$

图11. 经过$\gamma$ 变换后的曲线

条件1：通过引理2，我们观察到群作用$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)\times C_{ne}\left(S\right)\to C_{ne}\left(S\right)$ 是transitive的，这意味着$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)\cdot v$ 包含了$C_{ne}\left(S\right)$ 中的所有顶点。因此，我们只需要证明在$C_{ne}\left(S\right)$ 中存在一个与我们任意选择的曲线$v^{\prime }\in C_{ne}\left(S\right)$ 不相交的点。在图10中显示的一系列曲线中，$v_{g_1}$ 和$v_{g_2}$ 是$C_{ne}\left(S\right)$ 中的点，并且它们互不相交。通过在前一节引理证明中使用的曲面分类定理方法，我们可以构造一个将$v^{\prime }$ 映射到$v_{g_1}$ 的曲面映射f。通过映射类群保持交点数，显而易见$f\left(v_{g_1}\right)$ 和$f\left(v_{g_2}\right)$ 不相交。因此，$f\left(v_{g_2}\right)$ 即为所寻找的曲线。条件1满足。

条件2：考虑$t\in T^{\pm 1}$ 。根据Lickorish [12]的论述，我们列出了定理中提到的映射群生成元所代表的曲线，并且我们看到相交情况如图11所示。

如果$t=T_{{\beta }_{g_1}}^{\pm 1}$ 。由于t仅在局部改变曲面，如图12所示，并且$g_1\ne g_2$ ，所以$t\cdot v$ 不与$v_{g_2}$ 相交。那么所需路径为$v-v_{g_2}-t\cdot v$ 。如果$t\ne T_{{\beta }_{g_1}}^{\pm 1}$ ，则$t\cdot v=v$ 。

Figure 12. Local intersection situation

图12. 局部相交情况

3.2. $C_{pcs}\left(S\right)$ 的连通性

引理3：对于闭曲面S上的任何不相交曲线族$\langle c_1,\cdots ,c_n\rangle \left(n<g\right)$ ，使得$S\setminus \langle c_1,\cdots ,c_n\rangle$ 是连通的，我们可以找到$g-n$ 条曲线，使得$\langle c_1,\cdots ,c_n,c_{n+1},\cdots ,c_g\rangle$ 构成一个cut system。

证明：沿着曲线$c_1,\cdots ,c_n$ 切割曲面，我们得到一个亏格为$g-n$ 的曲面。然后，我们可以在这个新曲面上找到$g-n$ 条曲线$c_{n+1},\cdots ,c_g$ 使得它们不与边界相交，也就是说，它们不与原始的n条曲线相交或彼此相交。根据定义，很明显这些g条曲线$c_1,\cdots ,c_g$ 构成一个cut system。

Figure 13. Dehn twist of two lines

图13. 两条线的dehn twist

引理4：$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}(S)\times C_{pcs}\left(S\right)\to C_{pcs}\left(S\right),f\cdot \left[c\right]\mapsto \left[f\left(c\right)\right]$ 是一个transitive的群作用。

证明：为了证明对于任意$f\in ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)$ ，若$\langle c_1,\cdots ,c_n\rangle \in V_2$ ，则$\langle f\left(c_1\right),\cdots ,f\left(c_n\right)\rangle \in V_2$ 且$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)\cdot \langle c_1,\cdots ,c_n\rangle =V_2$ ，我们只需考虑$f\in T$ 的情况。

首先，至关重要的是要证明在Dehn twist后不相交的曲线仍然不相交。对于$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)$ 的生成集T的任意元素h，让h表示沿着曲线$\delta$ 进行的Dehn twist。通过在$\delta$ 附近的正则领域N中观察，如图13，我们可以看到这两条曲线在扭转后依然不相交。

随后，我们需要证明曲面不会被分离，即经过T中某元素h作用后的非分离曲线类c，曲面上任意两点之间存在一条道路，该道路不与$h\left(c\right)$ 相交。如果两点之间的道路没有经过N，则它不受Dehn twist的影响。然而，若两点之间的道路需要穿过N，则我们可以将N中的$\sigma$ 部分替换为$h\left(\sigma \right)$ 。根据前面提供的曲线不相交证明，可以得出结论：$h\left(\sigma \right)$ 和$h\left(c\right)$ 不相交，符合我们的标准。

为了展示群作用的transitive性，可以采用与前述证明类似的方法。考虑$C_2$ 上的任意两点$p_1,p_2$ 分别作为n条不相交曲线，沿着它们剖开表面会得到两个分别具有2n个边界和$g-n$ 亏格的表面$S_1,S_2$ 。通过应用表面分类定理，可以找到它们之间的同胚映射，并且将边界映射到边界。这种映射等同于从S到自身的变换，并且将$p_1$ 映射到$p_2$ 。

在证明$C_{pcs}\left(S\right)$ 的连通性时，分为两种情况来证明。对于第一种情况，当$i=0$ 时，我们仍然使用引理1的方法；对于第二种情况，$i=1$ 时，我们使用图的变换来构建映射以证明结论。

主要定理的证明：($C_{pcs}\left(S\right)$ 的情况)

Figure 14. Intersection with generators

图14. 与生成元的相交情况

如果$i=0$ ，设T成为映射类群$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)$ 的生成集。然后，根据引理3，我们可以得到一个良定义的群作用：

$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)\times C_{pcs}\left(S\right)\to C_{pcs}\left(S\right)$

记$V=\langle v_1,\cdots ,v_n\rangle$ ，因为$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)\times C_2\to C_2$ 是transitive的，这意味着$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)\cdot V$ 包含了所有切割后曲面不分离的非相交曲线族。因此，我们只需证明对于任意不相交曲线族$\langle v_1^0,\cdots ,v_n^0\rangle$ ，在沿着它们切割曲面S后仍然保持连通的情况下，存在一个满足上述条件的与之相邻的曲线族。

显然，V和$\langle v_2,\cdots ,v_n,v_{n+1}\rangle$ 在复形中是连通的。通过沿着$V_0$ 和V切割S，按照曲面分类定理，我们可以找到一个同胚变换f，使得$f\left(v_i\right)=v_i^0$ 。由于映射类群不改变曲线的交点数，$\langle f\left(v_2\right),\cdots ,f\left(v_{n+1}\right)\rangle =\langle v_2^0,\cdots ,f\left(v_{n+1}\right)\rangle \in C_2$ ，并且其与$\langle v_1^0,\cdots ,v_n^0\rangle$ 相关联，条件1得到满足。

验证条件2：考虑$t\in T^{\pm 1}$ 。根据定理2.2.6，我们列出定理中提到的映射群生成元所代表的曲线，并且我们看到它们的相交情况如图14所示。如果$t=T_{{\beta }_{g_k}}^{\pm 1},k\le n$ 。因为t曲线只在局部改变，如图15所示。那么所需道路为

$V--\langle v_1,\cdots ,v_{k-1},v_{k+1},\cdots ,v_n,v_{n+1}\rangle --t\cdot V.$

如果$t\ne T_{{\beta }_{g_{\text{k}}}}^{\pm 1},k\le n$ ，那么$t\cdot V=V$ 。

条件2得到满足。

如果$i=1$ 。

Figure 15. After Dehn twist

图15. Dehn twist 之后

我们将使用Hatcher和Thurston的[6]提到的一个结果，即cut system复形的连通性，来证明我们的定理。设$G\left(CS\left(S\right)\right)$ 为cut system复形的一阶骨架，它是一个无限的连通图，$G\left(C_{pcs}\left(S\right)\right)$ 为我们研究的曲线复形的一阶骨架。即我们需要证明$G\left(C_{pcs}\left(S\right)\right)$ 的连通性。对$G\left(CS\left(S\right)\right)$ 进行以下操作：

步骤1：对于任意两个顶点$\langle c_1,\cdots ,c_g\rangle ,\langle {c^{\prime }}_1,\cdots ,{c^{\prime }}_g\rangle$ ，如果$G\left(CS\left(S\right)\right)$ 中$c_1={c^{\prime }}_1,\cdots ,c_n={c^{\prime }}_n$ ，我们将这两点记为同一点。几何上，我们将这两点粘合在一起，任何连接它们的路径都被拉在一起。新点用$\left[c_1,\cdots ,c_n\right]$ 表示。

步骤2：删除新图中的所有自环。如果两个顶点之间有多条边连接，只保留一条，删除其余所有边。新图记为$G_0$ 。$G_0$ 是连通的。

因为第一步减少了点的数量但没有减少边的数量，这不会影响连通性。第二步只删除了一些重复路径，不会影响整体连通性。接下来，我们将证明$G_0$ 是一个包含$G\left(C_{pcs}\left(S\right)\right)$ 中所有顶点的子图。由引理3可知，对于$G\left(C_{pcs}\left(S\right)\right)$ 中的任意顶点$c_1,\cdots ,c_n$ ，存在$g-n$ 条曲线同位同形类，使得$c_1,\cdots ,c_n,c_{n+1},\cdots ,c_g$ 构成一个cut system。换句话说，在第一步改变之后，新图中必定存在一个顶点$\left[c_1,\cdots ,c_n\right]$ 。因此$G_0$ 是一个包含在$G\left(C_{pcs}\left(S\right)\right)$ 中所有顶点的图。

对于$G_0$ 中任意两个顶点$\left[c_1,\cdots ,c_n\right],\left[{c^{\prime }}_1,\cdots ,{c^{\prime }}_n\right]$ ，如果它们之间存在一条边相连，意味着存在两个cut system$\langle c_1,\cdots ,c_g\rangle$ ，$\langle c^{\prime },\cdots ,{c^{\prime }}_n\rangle$ 在cut system上相连，即它们之间存在一条不同的曲线类。根据第一步，我们知道$c_1,\cdots ,c_n$ 和${c^{\prime }}_1,\cdots ,{c^{\prime }}_n$ 之间存在一条不同的曲线类，因此这条不同的曲线类必须在前n位之中。因此在图$G\left(C_2\left(S\right)\right)$ 中，存在一条边连接$\left[c_1,\cdots ,c_n\right]$ 和$\left[{c^{\prime }}_1,\cdots ,{c^{\prime }}_n\right]$ 。如果我们将$\left[c_1,\cdots ,c_n\right]$ 和$\langle c_1,\cdots ,c_n\rangle ,G_0$ 视为相同，则$G_0$ 是一个包含$G\left(C_{pcs}\left(S\right)\right)$ 中所有顶点的子图。

而且$G_0$ 是连通的，那么毫无疑问$G\left(C_{pcs}\left(S\right)\right)$ 也是连通的。

3.3. $D_{ne}\left(S\right)$ 的连通性

引理5：$M_g\times D_{ne}\left(S\right)\to D_{ne}\left(S\right),f\cdot \left[c\right]\mapsto \left[f\left(c\right)\right]$ 是一个transitive的群作用。

设H表示一个柄体。记柄体H的映射类群为$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(H\right)$ ，其被定义为群${\mathrm{Homeo}}^{+}\left(H\right)/{\mathrm{Homeo}}_0\left(H\right)$ 。这里，${\text{Homeo}}^{+}\left(H\right)$ 是H的所有保定向同胚映射的集合，而${\text{Homeo}}_0\left(H\right)$ 是H的同伦于$i{d}_H$ 的同胚映射的集合。如果$S=\partial H$ ，那么存在单射$i:ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(H\right)\to ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)$ 。在$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)$ 中，单射i的像被表示为符号$M_g$ 。

证明：设$\varphi \in M_g$ ，a是分离的meridian曲线类，其将曲面分为两个具有亏格$g_1,g_2\left(g_1\ne g_2\right)$ 的曲面。引理2证明了$\varphi \left(a\right)$ 将曲面切成亏格分别为$g_1,g_2$ 的两个亚曲面。

我们将证明微分同胚$\varphi \in M_g$ 当且仅当$\varphi$ 将边界$\partial H_g$ 上的一个cut system$\langle a_1,\cdots ,a_g\rangle$ 映射到一个cut system。

取不相交圆盘$D_i$ 的边界$a_i$ 。如果$\varphi \in M_g$ ，那么很明显$\varphi \left(a_i\right)$ 仍然是meridian曲线，并且它们是不相交的，从而证明了命题的一半。反过来同样可以用亚历山大技巧。如果$\langle \varphi \left(a_1\right),\cdots ,\varphi \left(a_g\right)\rangle$ 形成一个cut system，设被它们围成的不相交圆盘$D_{i^{\prime }}$ 。那么把$\partial H-a_1\cup \cdots \cup a_g$ 映射到$\partial H-\varphi a_1\cup \cdots \cup \varphi a_g$ 的同伦映射可以扩展为将$H-D_1\cup \cdots \cup D_g$ 映射到$H-D_{1^{\prime }}\cup \cdots \cup D_{g^{\prime }}$ 的同伦映射。

Figure 16. Base point of non-equal disk complex

图16. Non-equal disk complex的基点

这意味着映射是一个良定义的群作用。至于群作用的transitive性，其证明过程与引理2中完全相同。

主要定理的证明($D_{ne}\left(S\right)$ 的情况)：设$\Sigma$ 为柄体映射类群$M_g$ 的生成集。我们选择图16中显示的曲线$v_{g_1}$ 作为我们的基点。然后根据引理5，我们可以得到一个良定义的群作用：

$M_g\times D_{ne}\left(S\right)\to D_{ne}\left(S\right)\text{.}$

验证条件1：根据引理5，我们知道上述群作用是transitive的，也就是任意一个将曲面S切成两个亏格分别为$g_1,g_2$ 的曲面的meridian曲线类$v_0$ ，$M_g\cdot v_0$ 包含所有满足上述条件的meridian曲线。我们分别沿着$v_0$ 和$v_{g_1}$ 切割S。根据曲面分类定理，我们可以找到一个同胚映射f，使得$f\left(v_{g_1}\right)=v_0$ 。然后我们会看到，沿着$v^{\prime }$ 切割的曲面也被分成两部分，各自亏格为$g_1,g_2$ ，那么$f\left(v^{\prime }\right)$ 也满足这个性质，并且不与$v_0$ 相交。

条件2的验证：考虑$t\in {\Sigma }^{\pm 1}$ 。若$g_1=v_1$ ，当$t=T_{{\alpha }_1}^{\pm 1}$ 或$t=T_{{\beta }_1}{T}_{{\alpha }_1}^2{T}_{{\beta }_1}^{\pm 1}$ 时，则所需路径为

$v_1-v_{g-1}-t\cdot v_1$

若$t\ne T_{{\alpha }_1}^{\pm 1}$ 且$t\ne T_{{\beta }_1}{T}_{{\alpha }_1}^2{T}_{{\beta }_1}^{\pm 1}$ ，则$t\cdot v_1=v_1$ 。

若$1<g_1<g/2$ ，若$t=T_{{\beta }_{g_1}}{T}_{{\alpha }_{g_1}}{T}_{c_{g_1}}{T}_{{\beta }_{g_1}}$ 或$t=T_{{\beta }_{g_1+1}}{T}_{{\alpha }_{g_1+1}}{T}_{{\gamma }_{g_1}}{T}_{{\beta }_{g_1+1}}$ ，则所需路径为

$v_{g_1}-v_{g_2}-t\cdot v_{g_1}$

若$t\ne T_{{\beta }_{g_1}}{T}_{{\alpha }_{g_1}}{T}_{{\gamma }_{g_1}}{T}_{{\beta }_{g_1}}$ 且$t\ne T_{{\beta }_{g_1+1}}{T}_{{\alpha }_{g_1+1}}{T}_{{\gamma }_{g_1}}{T}_{{\beta }_{g_1+1}}$ ，$t\cdot v_{g_1}=v_{g_1}$ 。

3.4. $D_d\left(S\right)$ 的情况

这种情况的证明仍然使用先前的方法。在McCarthy和Athanase的文章[15]中，他们给出了与domain相关的复形连接性的各种证明，然而这片文章中，他们仅使用各种拓扑方法，而不是本文中使用的群作用方法，并且该文未提到我们这里的复形$D_d\left(S\right)$ 。

引理6：设$\varphi \in M_g$ 。X为一个domain，其所有边界是meridian曲线，则$\varphi \left(X\right)$ 仍然是一个domain，其边界仍然是meridian曲线。

证明：引理5告诉我们$M_g$ 将$V_3$ 的任何元素映射到meridian曲线。我们现在的任务是证明映射后domain仍然保持为domain。由于$M_g$ 是$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)$ 的一个子群，我们可以直接利用$ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)$ 来建立这一结果。

设X是一个domain。对于任意$f\in ℳ\mathcal{C}\mathcal{G}\left(S\right)$ ，$f\left(X\right)$ 仍然是一个子曲面。如果$f\left(X\right)$ 等价于S，则存在一个同伦映射H将这两个曲面联系起来。那么$H^{\prime }=H°f$ 表示X和S之间的同伦映射，这与domain的定义相矛盾。

Figure 17. Base point of domain disk complex

图17. Domain disk complex的基点

主要定理的证明：($D_d\left(S\right)$ 的情况)

我们以图17中meridian曲线$v_1,v_2$ 围成的环P为基点。对于任何以Meridian曲线为边界且与P不等价的domain X，我们可以讨论它们之间的位置关系。如果两个domain不相交，则它们在$D_d\left(S\right)$ 中通过边相连。如果它们相交，则根据构造的P的性质，我们可以知道$P\subseteq X$ 。

条件1：$M_g\cdot P$ 是S中所有两边是非分离的Meridian曲线的平环的集合。根据domain的定义，由于X与S不同，我们可以在$S\backslash X$ 中找到满足两边为非分离Meridian曲线的平环。举例来说，在$S\backslash X$ 中，由$S\backslash X$ 的两条与X的边界之一同伦的Meridian曲线界定的平环即满足条件。

条件2：假设对于任意一个与S和P不同的domain，我们可以找到一个环$P^{\prime }$ 。如果它们不相交，则条件成立；如果它们相交，只需要将一个朝着远离另一个的方向移动一些便可以使它们不相交。

NOTES

^*通讯作者。