基于改进金鹰算法PID策略控制塑料焊接温度

Using Improved Golden Eagle Algorithm PID Strategy to Control Plastic Welding Temperature

摘要: 为了调节塑料激光焊接过程中的温度变化，本文将金鹰算法(Golden Eagle Optimizer, GEO)进行改进，并将改进的IGEO (金鹰优化算法)引入塑料激光焊接温度调控系统中，利用IGEO预测PID控制算法，从而进行参数优化，以提高传统PID控制器的控制性能。

Abstract: To regulate temperature variations during plastic laser welding, this study improves the Golden Eagle Optimizer (GEO) algorithm and introduces the enhanced IGEO (Improved Golden Eagle Optimizer) into the temperature control system. IGEO is utilized to predict PID control algorithms, optimizing parameters to enhance the control performance of traditional PID controllers.

1. 引言

近年来，废弃塑料的资源化利用正成为重要话题[1]。据统计，我国2021年共产生废弃塑料约6300万吨，除少部分可被再生利用外，其余部分主要被填埋或焚烧处理，对生态环境造成严重影响[2]。同时，汽车产销需求也逐年增加轻量化设计作为汽车制造业的一个重要发展方向，因此，越来越多的塑料制品正取代金属部件用于汽车的生产制造当中[3]。塑料激光焊接技术是利用激光束对要焊接的塑料接触面进行加热和熔化形成熔池，然后通过加压或振动等方式使其凝固，从而使两个或多个塑料件结合在一起。塑料激光焊接技术的优势在于，激光束能够对塑料进行高精度的加热和熔化，且作用区域只位于焊接点附近，对非焊接区域的影响小，因此相比传统的焊接方式更加精确可靠。该技术产生的振动应力和热应力比较小，能降低焊接产品内部组件的老化率，提高产品的使用寿命[4]。

影响塑料激光焊接焊缝质量的工艺参数主要有激光功率、焊接速度、光斑直径等因素[5]。但是在实际焊接工作过程中以现有的技术无法实时检测焊缝的质量，所以需要其他中间参数来判断焊接质量，而经过研究证明这些影响焊缝质量的工艺参数最终都会影响到焊接温度，所以可以将焊接温度作为焊接过程的表征来间接判断焊接质量，通过实时检测焊接温度来判断焊缝质量。

目前对于温度控制领域使用较多的控制方法是基于传统PID法的闭环控制，可以对塑料激光焊接系统采用PID控制器，传统的PID控制器虽然规律简单、鲁棒性好，但是对于复杂的非线性模型还是无法达到精度的要求，存在响应速度慢、调节时间长等缺点，因此本文对传统的PID控制器进行了优化和改进，从而实现工程上的控制要求。

近年来，众多学者提出了许多的元启发算法，包括粒子群算法(Particle Swarm Optimization, PSO) [6]、遗传算法(Genetic Algorithm, GA) [7]、灰狼优化算法(Grey Wolf Optimizer, GWO) [8]等被应用于解决实际问题的优化算法。受金鹰捕猎行为的启发，Mohammadi-Balani等人[9]于2021年提出了金鹰优化算法(GEO)。金鹰优化算法的策略简单、求解效果好，因此本文将改进的金鹰优化算法引入塑料激光焊接温度调控系统中，利用IGEO预测PID控制算法，从而进行参数优化，以提高传统PID控制器的控制性能。

2. 金鹰算法(GEO)

金鹰在捕猎过程中是螺旋运动的，并且每只鹰都可以记住迄今为止它所去过最适宜捕猎的地方。如图1所示，在二维空间可以将金鹰的盘旋过程用攻击向量和巡航向量来表述。

Figure 1. Attack vector and cruise vector

图1. 攻击向量与巡航向量

其中攻击向量表达式为式(1)，巡航向量表达式为式(2)：

${\overrightarrow{A}}_i={\overrightarrow{X}}_f^{*}-{\overrightarrow{X}}_i^{*}$ (1)

$h_1{x}_1+h_2{x}_2+\cdots +h_n{x}_n=d\Rightarrow {\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{h}_j{x}_j}=d$ (2)

式中，${\overrightarrow{A}}_i$ 为第i只金鹰的攻击矢量，${\overrightarrow{X}}_f^{*}$ 为当前金鹰所到达的最佳地点(猎物位置)，${\overrightarrow{X}}_i^{*}$ 第i只金鹰目前的位置。此处，$A=\left[a_1,a_2,\cdots ,a_n\right]$ 为攻击向量，$X=\left[x_1,x_2,\cdots ,x_n\right]$ 为决策/设计变量向量，$X^{*}=\left[x_1^{*},x_2^{*},\cdots ,x_n^{*}\right]$ 为被选中的猎物的位置，d用于计算$\overrightarrow{C_1}$ 。

通过以下三步法来找到一个随机维度的目的地地点：

• 从变量中随机选择一个变量作为固定变量。

• 将随机值赋给除第k个变量以外的所有变量，因为第k个变量是固定的。

• 用式(3)求出固定变量的值。

$C_k=\frac{d-{\displaystyle \sum _{j\ne k}^j{a}_j}}{a_k}$ (3)

式中，$C_k$ 为目标点C的第k个元素，$a_j$ 攻击向量的$\overrightarrow{A_i}$ 第j个元素，k为固定变量的编号，找到了巡航的随机目的地。式(4)显示了巡航超平面上的目的点的一般表示。

$\overrightarrow{C_1}=\left\{c1=rand,c_2=rand,\cdots ,c_k=\frac{d-{\displaystyle \sum _{j\ne k}^j{a}_j}}{a_k},\cdots ,c_{n=rand}\right\}$ (4)

式中，$rand$ 为$\left[0,1\right]$ 的随机数。

金鹰的位移由攻击和向量组成。现将金鹰迭代的步长向量定义为式(5)与式(6)：

$\Delta x_i=\overrightarrow{r_1}{P}_a\frac{\overrightarrow{A_i}}{\Vert \overrightarrow{A_i}\Vert }+\overrightarrow{r_2}{P}_c\frac{\overrightarrow{C_i}}{\Vert \overrightarrow{C_i}\Vert }$ (5)

$\Vert \overrightarrow{A_i}\Vert =\sqrt{{\displaystyle \sum _j^n{a}_j^2}},\Vert \overrightarrow{C_i}\Vert =\sqrt{{\displaystyle \sum _j^n{c}_j^2}},$ (6)

式中，$P_a$ 为攻击系数，$P_c$ 为巡航系数。$\overrightarrow{r_1}$ 和$\overrightarrow{r_2}$ 为$\left[0,1\right]$ 内的随机向量。

通过迭代中的步向量加到迭代中的位置，可以简单计算出金鹰在迭代中的位置，即式(7)：

$x^{t+1}=x^t+\Delta x_i^t$ (7)

式中，$x^{t+1}$ 为金鹰的第t + 1次的位置，$x^t$ 为金鹰的第t次的位置，$\Delta x_i^t$ 为金鹰移动的步长大小。

如果金鹰的新位置的适应度值比它记忆中的位置更好，这只鹰的记忆会随着新位置更新。在新的迭代中，每只金鹰从种群中随机选择一只金鹰，围绕其最佳访问位置旋转，计算攻击矢量与巡航矢量。式(5)中的攻击系数和巡航系数见式(8)，用来控制攻击和巡航向量对步长矢量的影响。

$\{\begin{array}{l}{P}_a=P_a^0+\frac{t}{T}\left|P_a^T+P_a^t\right|\\ P_c=P_c^0+\frac{t}{T}\left|P_c^T+P_c^t\right|\end{array}$ (8)

式中，$P_a^0$ 和$P_a^T$ 为$P_a$ 的初值和终值，$P_c^0$ 和$P_c^T$ 为$P_c$ 的初值和终值。

3. 基于GEO算法的PID参数优化

3.1. 引入对称映射优化

金鹰算法在搜索过程中，主要由$P_c$ 和$P_a$ 两个参数控制，$P_a$ 决定算法的局部开发强度，$P_c$ 影响算法的探索能力。图2为金鹰在巡航过程和攻击过程时攻击向量和巡航向量的相应变化。

Figure 2. Schematic diagram of position update for cruise process (left) and attack process (right)

图2. 巡航过程(左)和攻击过程(右)位置更新原理图

由上图可以发现，无论在攻击过程还是在巡航过程，该算法只注意对一半的巡航区域的搜索，而忽略了另一半，这对于迭代初期来说并不利于整个空间的充分探索，可能会使算法陷入局部最优。因此，本文为了弥补这一缺陷利用了对称搜索策略，对另一半巡航区域也进行了搜索。如式(9)、(10)所示：

$x_{ref}^{t+1}=2\times x_i^{t+1}-x_f^{*}$ (9)

$x_{new}^{t+1}=\{\begin{array}{l}{x}_{ref}^{t+1}\text{ if}F\left(x_{ref}^{t+1}\right)<F\left(x_i^{t+1}\right)\\ x_i^{t+1}\text{ if}F\left(x_{ref}^{t+1}\right)>F\left(x_i^{t+1}\right)\end{array}$ (10)

式中，$x_{ref}^{t+1}$ 表示$x_i^{t+1}$ 经过对称映射后的位置。

通过对称映射优化，可以在实际塑料焊接温度控制过程中快速地找到最优温度值，从而减少计算时间。

3.2. 引入变异算法

自适应t分布[10]结合了柯西分布和高斯分布的优点，在自由度参数$n\in \left(1,\infty \right)$ 的过程中，可以通过t分布突变算子来平衡和提高算法的局部搜索能力。所以，为了防止金鹰算法过早地陷入局部最优，在鹰群位置迭代的更新阶段通过引入自适应t分布[8]更新位置。含有自由度为n的t分布概率密度的函数如式(11)所示：

$\rho \left(x\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{2}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}$ (11)

本文采用迭代次数为t分布的自由度参数的t分布变异算子对解的位置进行扰动，从而实现算法在迭代前期具有好的全局开发能力，在迭代后期具有好的局部探索能力，提高收敛速度的同时，防止过早收敛。位置更新的方式如式(12)所示：

$x^{t+1}=x^t+x^t\ast t\left(n\right)$ (12)

通过引入变异算法可以避免控制系统在实际控制温度时陷入局部最优，并且减少计算时间。

3.3. IGEO的算法流程

根据上述提出的两种优化方法对GEO算法进行改进，并给出了IGEO的流程图，如图3所示。

Figure 3. Flowchart of the IGEO algorithm

图3. IGEO算法的流程图

3.4. 改进金鹰预测PID控制器设计

基于IGEO算法的PID参数优化结构如图4所示。每次迭代中，温度控制系统以获取的PID参数完成一次仿真并得到综合ITAE值。IGEO算法通过比较综合ITAE值更新最优点，并给定新的PID参数，在完成迭代次数后，输出最佳控制参数及相应的综合ITAE值。

Figure 4. PID parameter optimization structure based on IGEO algorithm

图4. 基于IGEO算法的PID参数优化结构

4. 系统仿真和结果分析

4.1. 仿真实验

本次仿真实验是在MATLAB的Simulink中进行。以上海某公司的工厂数据为基础，利用系统辨识得出以下的传递函数，如式(13)所示：

$G_0\left(s\right)=\frac{3.689}{s^2+0.081s+1}{\text{e}}^{-0.005s}$ (13)

考虑到实际工业中采用的温度传感器很少温度响应时间能够达到10 ms以下，因此根据实际情况将滞后时间修正为$T_d=0.025\text{s}$ ，如式(14)所示：

$G_0\left(s\right)=\frac{3.689}{s^2+0.081s+1}{\text{e}}^{-0.025s}$ (14)

考虑到此实验对控制性能的相关要求，因此选择ITAE作为目标函数更加合适，ITAE的表达式如式(15)所示：

$\text{ITAE}={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}t\left|e\left(t\right)\right|\text{d}t}$ (15)

在Matlab-Simulink环境下搭建GEO和IGEO的控制系统，并设置好基本参数。Simulink环境下搭建金鹰优化PID控制系统的仿真模型，如图5所示。

4.2. 仿真结果比较与分析

为了验证IGEO算法预测PID参数的控制效果，对图4所示的温控系统在Matlab中进行了仿真。对GEO算法和IGEO算法在ITAE独立下重复进行6次实验，实验结果如表1所示，两种算法关于ITAE适应度值寻优比较结果如表2所示。

Figure 5. Golden Eagle optimized PID simulation model

图5. 金鹰优化PID仿真模型

Table 1. Comparison of fitness values from 6 experimental results between GEO algorithm and IGEO algorithm

表1. GEO算法与IGEO算法寻优适应度值6次实验结果对比

算法/次数	1	2	3	4	5	6
GEO	1337.1045	1325.1738	1367.4878	1484.1075	1327.2514	1395.2541
IGEO	1174.3786	1160.7596	1189.7014	1207.1540	1161.2784	1194.1546

Table 2. Comparison of fitness values between GEO algorithm and IGEO algorithm

表2. GEO算法与IGEO算法寻优适应度值比较

算法	最优值	最差值	平均值	标准差
GEO	1325.1783	1484.1075	1372.1299	55.5893
IGEO	1160.7596	1207.1540	1181.2378	17.1994

从上述数据可以看出，IGEO算法的寻优适应度值结果比GEO算法寻优适应度值结果更小，数据离散程度也比GEO算法更小，同时计算的适应度值与GEO算法比也更为稳定。图6是两种算法的适应度值与迭代次数的关系，随着算法的迭代，适应度值最终稳定为一个准确值。取第二组(适应度值最优组)数据的适应度值变换曲线。从结果可以看出，IGEO算法无论是初始寻优速度、收敛速度，还是寻优结果上来看，都明显优于GEO算法。

因此选取IGEO第二组(适应度值最优组)的IGEO模型以及常规PID算法计算的PID整定参数，其中设定值为190℃，常规PID控制效果与PSO-PID控制效果对比结果如图7所示。由图7可知，经过人工调参的PID值，在IGEO的优化下进一步提升了控制效果，常规PID波峰为219.2℃，超调量为29.2℃，达到稳态的时间为70.3 s。经过IGEO算法优化后，波峰为193.8℃，超调量为3.8℃，稳态时间为47.6 s。IGEP优化PID超调量是常规PID超调量的13.01%，稳态所需时间为67.71%。在相同的外界温降干扰下，IGEO优化的PID响应速度更快，达到稳态所需时间更短。由此可见，使用IGEO优化PID控制算法比常规PID控制算法更能满足塑料激光焊接过程中对温度控制的需求。

Figure 6. Fitness value change curve

图6. 适应度值变化曲线

Figure 7. Simulation effect diagram of conventional PID and IGEO optimized PID parameters

图7. 常规PID与IGEO优化PID参数仿真效果图

5. 结语

本文通过对塑料激光焊接系统需求的分析，在Matlab-Simulink环境中进行程序编写和仿真模型的搭建。在GEO算法中引入对称映射优化与变异算法，得到了IGEO算法，经过六组实验证明IGEO算法相较于GEO算法寻优适应度值的结果更小，数据离散程度也更小，适应度值的计算也更为稳定。运行仿真文件得到常规PID和IGEO-PID塑料激光焊接系统温度控制的仿真对比效果。实验结果表明，IGEO-PID不仅在理论上成立，而且在达到稳态的时间、超调量大小等方面效果优于常规PID。因此，该系统有利于提高塑料激光焊接系统温度控制的效率，同时提高了系统稳定性，降低了安全隐患。