一类Schrödinger-Kirchhoff-Poisson方程的正解

Positive Solutions for a Class of Schrödinger-Kirchhoff-Poisson Equation

摘要: 运用变分方法讨论一类Schrödinger-Kirchhoff-Poisson方程正解的存在性。在适当假设下，通过运用一些技巧证明了能量泛函满足Palais-Smale条件。最后运用山路引理，Ekeland变分原理和强极大值原理得到了主要结论。

Abstract: The existence of positive solutions for a class of Schrödinger-Kirchhoff-Poisson equation is discussed by using variational methods. Under appropriate assumption, it is proved that the energy functional satisfies the Palais-Smale condition by using some techniques. Finally, the main conclusions are obtained by using mountain pass lemma, Ekeland variational principle and strong maximum principle.

1. 引言

Schrödinger-Kirchhoff-Poisson方程是一个综合了量子力学、经典电磁学和电势理论的数学模型，通常用于描述带电粒子的运动及其与电场的相互作用。近年来，Schrödinger-Kirchhoff-Poisson系统

$\{\begin{array}{l}-\left(a+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta u+V\left(x\right)u+L\left(x\right)\varphi \left(x\right)u=f\left(x,u\right),x\in {ℝ}^3,\\ -\Delta \varphi =u^2,x\in {ℝ}^3,\end{array}$ (1.1)

解的存在性，已被众多学者研究[1]-[6]。在适当的条件下，文献[1]运用山路引理和Ekeland变分原理证明了方程(1.1)有多个正解，文献[2]运用变分方法结合一些不等式技巧，在一般非线性条件下得到了方程(1.1)的最小能量解、山路解和基态解的存在性，文献[3]运用Nehari流形和山路引理证明了方程(1.1)解的存在性，文献[4]运用喷泉定理证明了方程(1.1)无穷多个解的存在性，文献[5]通过构造Nehari流形和运用形变原理证明了方程(1.1)基态解的存在性，文献[6]通过构造山路几何，得到了方程(1.1)正规化解的存在性。

若$a=1,b=0$ ，则系统(1.1)就简化为如下Schrödinger-Poisson系统

$\{\begin{array}{l}-\Delta u+V\left(x\right)u+L\left(x\right)\varphi \left(x\right)u=f\left(x,u\right),x\in {ℝ}^3,\\ -\Delta \varphi =u^2,x\in {ℝ}^3,\end{array}$ (1.2)

该系统也被众多学者广泛研究[7]-[10]。在适当的条件下，文献[7]运用山路引理和Ekeland变分原理证明了方程(1.2)有多个正解，文献[8]证明了方程(1.2)无穷多个解的存在性，文献[9]证明了方程(1.2)基态解的存在性，文献[10]运用变分方法证明了方程(1.2)解的存在性。

本文研究如下Schrödinger-Kirchhoff-Poisson方程

$\{\begin{array}{l}-\left(1+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta u+V\left(x\right)u=\lambda \varphi \left(x\right)u+{\left|u\right|}^{p-1}u+\mu u,x\in {ℝ}^3,\\ -\Delta \varphi =u^2,\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }\varphi \left(x\right)=0,\end{array}$ (1.3)

正解的存在性。其中，$b>0$ ，$\lambda ,\mu >0$ 以及$3<p<5$ 。假设满足条件：

$V\left(x\right)\in C\left({ℝ}^3,{ℝ}^{+}\right),V\left(x\right)\ge 1,\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }V\left(x\right)=+\infty .$

定义

$H=\left\{u\in W^{1,2}\left({ℝ}^3\right):{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}V}\left(x\right)u^2\text{d}x<\infty \right\},$

相应的范数为

${\left|u\right|}^2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\left|\nabla u\right|}^2+V\left(x\right)u^2\right)\text{d}x}.$

由假设条件(V1)可知，嵌入$H$ ↪$L^q\left({ℝ}^3\right)\left(2\le q<6\right)$ 是紧的。在H中，$-\Delta +V$ 存在特征值序列$\left({\mu }_n\right)$ ，使得$0<{\mu }_1<{\mu }_2\le {\mu }_3\le \cdot \cdot \cdot \le +\infty$ 且$H=span\left\{e_i:i\ge 1\right\}$ ，其中，$e_i$ 是${\mu }_i$ 对应的标准化特征函数，即$\Vert e_i\Vert =1$ 。

对任意的$u\in H$ ，存在唯一的${\varphi }_u\in D^{1,2}\left({ℝ}^3\right)$ 是方程$-\Delta \varphi =u^2$ 的弱解，且

${\varphi }_u=\frac{1}{4\pi }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{u^2\left(y\right)}{\left|x-y\right|}\text{d}y}.$

那么，方程(1.3)可以表示为

$-\left(1+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta u+V\left(x\right)u=\lambda {\varphi }_{u}u+{\left|u\right|}^{p-1}u+\mu u,x\in {ℝ}^3.$

本文的主要结果叙述如下。

定理1.1 假设条件(V1)成立且满足$b>\frac{\lambda }{3\cdot 4^{\frac{5}{3}}\cdot {\pi }^{\frac{5}{3}}}\frac{{\left({\displaystyle \int {\left|e_1\right|}^{\frac{12}{5}}\text{d}x}\right)}^{\frac{5}{3}}}{{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}\right)}^2}$ 。

1) 若$0<\mu \le {\mu }_1$ ，则方程(1.3)至少有一个正解；

2) 存在$\overline{\delta }>0$ ，使得当${\mu }_1<\mu <{\mu }_1+\overline{\delta }$ 时，方程(1.3)至少有两个正解。

2. 预备知识

为了完成证明，以下给出一些记号和引理。对于$1\le s\le +\infty$ ，$L^s\left({ℝ}^3\right)$ 表示勒贝格空间。$\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 表示内积。$B_{\rho }\left(x\right)$ 表示圆心为x，半径为$\rho$ 的球。$D^{1,2}\left({ℝ}^3\right)$ 表示$C_0^{\infty }\left({ℝ}^3\right)$ 照范数${\Vert u\Vert }_{D^{1,2}}^2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}$ 完备化产生的空间。根据需要，用$C,C_i$ 表示不同的正常数。若没有特殊说明，则所有积分都在${ℝ}^3$ 上考虑。

在H上，定义如下泛函：

$\begin{array}{l}{I}_{\mu }\left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^2\\ -\frac{\lambda }{4}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\varphi }_u}{u}^2\text{d}x-\frac{1}{p+1}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{p+1}\text{d}x}-\frac{\mu }{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{u}^2}\text{d}x,\end{array}$

其中${\Vert u\Vert }^2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\left|\nabla u\right|}^2+V\left(x\right)u^2\right)\text{d}x}$ ，易得泛函是适定的且$I_{\mu }\in C^1\left(H,ℝ\right)$ 。因为方程(1.3)的正解恰好是泛函$I_{\mu }$ 的正临界点，所以只需要研究$I_{\mu }$ 正临界点的存在性。

引理1.1 [11]令E是一个实的Banach空间，泛函$I\in C^1\left(E,ℝ\right)$ 。设$I\left(0\right)=0$ 且满足

1) 存在正常数${\alpha }_1,{\alpha }_2>0$ ，使得${I|}_{\partial B_{{\alpha }_1}}\ge {\alpha }_2$ ；

2) 存在$\overline{U}\in E\backslash {\overline{B}}_{{\alpha }_1}$ ，使得$I\left(\overline{U}\right)<0$ 。

定义

$c=\underset{g\in \Gamma }{\inf }\underset{t\in g\left[0,1\right]}{\max }I\left(u\right),$

其中Γ是E中连接0和$\overline{U}$ 的道路的集合，

$\Gamma =\left\{g\in C\left(\left[0,1\right],E\right):g\left(0\right)=0,g\left(1\right)=\overline{U}\right\},$

那么$c\ge {\alpha }_2$ 。若I满足${\left(PS\right)}_c$ 条件，则c是I的一个临界值。

3. 定理的证明

引理1.2 假设条件(V1)成立，令序列$\left(u_n\right)\subset H$ 满足对所有的$n\in \mathbb{N}$ ，有$\left|I_{\mu }\left(u_n\right)\right|\le M<+\infty$ 且当n充分大时，有${I^{\prime }}_{\mu }\left(u_n\right)\to 0$ ，那么$\left(u_n\right)$ 在H中有一个强收敛的子序列。

证明. 由于$H$ ↪$L^q\left({ℝ}^3\right)\left(2\le q<6\right)$ 是紧的，只需研究$\left(u_n\right)$ 在H中有界即可。取$\beta \in \left(\frac{1}{p+1},\frac{1}{4}\right)$ ，当n足够大时，有

$\begin{array}{c}M+\Vert u_n\Vert \ge I_{\mu }\left(u_n\right)-\beta \langle {I^{\prime }}_{\mu }\left(u_n\right),u_n\rangle \\ \ge \left(\frac{1}{2}-\beta \right){\Vert u_n\Vert }^2+\left(\frac{1}{4}-\beta \right)b{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla u_n\right|}^2\text{d}x}\right)}^2-\left(\frac{1}{4}-\beta \right)\lambda {\displaystyle \int {\varphi }_{u_n}}{u}_n^2\text{d}x\\ -\left(\frac{1}{2}-\beta \right)\mu {\displaystyle \int u_n^2}\text{d}x+\left(\beta -\frac{1}{p+1}\right){\displaystyle \int {\left|u_n\right|}^{p+1}\text{d}x}.\end{array}$

根据Hardy-Littlewood-Sobolev不等式[12]和Gagliardo-Nirenberg不等式[2]，可得

${\displaystyle \int {\varphi }_{u_n}}{u}_n^2\text{d}x\le C{\Vert u_n\Vert }^4.$

参考文献[7]的方法，当$\Vert u_n\Vert$ 足够小时，有

$\begin{array}{c}M+\Vert u_n\Vert \ge \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\beta \right){\Vert u_n\Vert }^2+\left(\frac{1}{4}-\beta \right)b{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^2\\ -\left(\frac{1}{4}-\beta \right)\lambda C{\Vert u_n\Vert }^4-C\left(\beta ,\mu \right)\\ \ge C_1{\Vert u_n\Vert }^2-C\left(\beta ,\mu \right).\end{array}$

因此，$\left(u_n\right)$ 在H中有界。

注释1.1 引理1.2说明$I_{\mu }$ 满足(PS)条件。

引理1.3 假设条件(V1)成立。

1) 若$0<\mu <{\mu }_1$ ，则$\mu =0$ 是$I_{\mu }$ 的局部最小值；

2) 存在正常数$\overline{\delta },{\rho }_1$ 和$\alpha$ ，使得对任意的$\mu \in \left[{\mu }_1,{\mu }_1+\overline{\delta }\right)$ ，有${I_{\mu }|}_{\partial B_{{\rho }_1}}\ge \alpha$ ；

3) 存在$\overline{u}\in H$ 且$\Vert \overline{u}\Vert >{\rho }_1$ ，使得对任意的$\mu >0$ ，有$I_{\mu }\left(\overline{u}\right)<0$ 。

证明. 1)的证明：当$\Vert u\Vert$ 足够小时，有

$\begin{array}{c}{I}_{\mu }\left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^2-\frac{\lambda }{4}{\displaystyle \int {\varphi }_u}{u}^2\text{d}x-\frac{1}{p+1}{\displaystyle \int {\left|u\right|}^{p+1}\text{d}x}-\frac{\mu }{2}{\displaystyle \int u^2}\text{d}x\\ \ge \frac{1}{2}\left(1-\frac{\mu }{{\mu }_1}\right){\Vert u\Vert }^2+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^2-C{\Vert u\Vert }^4-C_1{\Vert u\Vert }^{p+1}\\ \ge \frac{1}{2}\left(1-\frac{\mu }{{\mu }_1}\right){\Vert u\Vert }^2-C{\Vert u\Vert }^4-C_1{\Vert u\Vert }^{p+1}\\ \ge C_2{\Vert u\Vert }^2.\end{array}$

因此，$u=0$ 是$I_{\mu }$ 的局部最小值。

2)的证明：对任意的$u\in H$ ，令$u=t{e}_1+v$ ，其中，$t\in ℝ$ 和$v\in {\left\{span\left\{e_1\right\}\right\}}^{\perp }$ 。有

${\Vert u\Vert }^2=t^2+{\Vert v\Vert }^2,{\mu }_2{\displaystyle \int {\left|v\right|}^2\text{d}x}\le {\Vert v\Vert }^2,{\mu }_1{\displaystyle \int {\left|e_1\right|}^2\text{d}x}={\Vert e_1\Vert }^2,$

且

${\mu }_1{\displaystyle \int e_1}v\text{d}x={\displaystyle \int \left(\nabla e_1\nabla v+V\left(x\right)e_{1}v\right)\text{d}x}=0.$

则有

${\displaystyle \int \nabla }{e}_1\nabla v\text{d}x=0.$

由$u=t{e}_1+v$ ，可得

$\begin{array}{c}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^2={\left(t^2{\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle \int {\left|\nabla v\right|}^2\text{d}x}\right)}^2\\ =t^4{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}\right)}^2+2t^2{\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}{\displaystyle \int {\left|\nabla v\right|}^2\text{d}x}+{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla v\right|}^2\text{d}x}\right)}^2\\ \le t^4{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}\right)}^2+{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla v\right|}^2\text{d}x}\right)}^2+C{t}^2{\Vert v\Vert }^2,\end{array}$

再由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式，可得

$\begin{array}{c}{\displaystyle \int {\varphi }_u}{u}^2\text{d}x=\frac{1}{4\pi }{\displaystyle \iint \frac{u^2\left(x\right)u^2\left(y\right)}{\left|x-y\right|}\text{d}x\text{d}y}=\frac{1}{4\pi }{\displaystyle \iint \frac{{\left(t{e}_1+v\right)}^2{\left(t{e}_1+v\right)}^2}{\left|x-y\right|}\text{d}x\text{d}y}\\ =\frac{1}{4\pi }\left(t^4{\displaystyle \iint \frac{e_1^2{e}_1^2}{\left|x-y\right|}\text{d}x\text{d}y}+2t^2{\displaystyle \iint \frac{e_1^2{v}^2}{\left|x-y\right|}\text{d}x\text{d}y}+{\displaystyle \iint \frac{v^2{v}^2}{\left|x-y\right|}\text{d}x\text{d}y}\right)\\ \le \frac{1}{3\cdot 4^{\frac{5}{3}}\cdot {\pi }^{\frac{5}{3}}}{\left({\displaystyle \int {\left|e_1\right|}^{\frac{12}{5}}\text{d}x}\right)}^{\frac{5}{3}}{t}^4+C_1{t}^2{\Vert v\Vert }^2+C_2{\Vert v\Vert }^4.\end{array}$

那么

$\begin{array}{c}{I}_{{\mu }_1}\left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert v\Vert }^2-\frac{{\mu }_1}{2}{\displaystyle \int {\left|v\right|}^2\text{d}x}+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^2-\frac{\lambda }{4}{\displaystyle \int {\varphi }_u}{u}^2\text{d}x-\frac{1}{p+1}{\displaystyle \int {\left|t{e}_1+v\right|}^{p+1}\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}\left(1-\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}\right){\Vert v\Vert }^2+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}\right)}^2{t}^4+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla v\right|}^2\text{d}x}\right)}^2-C{t}^2{\Vert v\Vert }^2\\ -\frac{\lambda }{3\cdot 4^{\frac{8}{3}}\cdot {\pi }^{\frac{5}{3}}}{\left({\displaystyle \int {\left|e_1\right|}^{\frac{12}{5}}\text{d}x}\right)}^{\frac{5}{3}}{t}^4-C_1{t}^2{\Vert v\Vert }^2-C_2{\Vert v\Vert }^4-C_3{\left|t\right|}^{p+1}-C_4{\Vert v\Vert }^{p+1}.\end{array}$

由Young不等式，可得

$t^2{\Vert v\Vert }^2\le \frac{2}{p+1}{\left|t\right|}^{p+1}+\frac{p-1}{p+1}{\Vert v\Vert }^{\frac{2\left(p+1\right)}{p-1}}.$

因此

$\begin{array}{c}{I}_{{\mu }_1}\left(u\right)\ge \frac{1}{2}\left(1-\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}\right){\Vert v\Vert }^2+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}\right)}^2{t}^4+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla v\right|}^2\text{d}x}\right)}^2\\ -\frac{2C}{p+1}{\left|t\right|}^{p+1}-\frac{C\left(p-1\right)}{p+1}{\Vert v\Vert }^{\frac{2\left(p+1\right)}{p-1}}-\frac{\lambda }{3\cdot 4^{\frac{8}{3}}\cdot {\pi }^{\frac{5}{3}}}{\left({\displaystyle \int {\left|e_1\right|}^{\frac{12}{5}}\text{d}x}\right)}^{\frac{5}{3}}{t}^4\\ -C_1{\Vert v\Vert }^4-C_2{\left|t\right|}^{p+1}-C_3{\Vert v\Vert }^{p+1}.\end{array}$

由于$\frac{2\left(p+1\right)}{p-1}>2$ ，则存在正常数${\theta }_2,{\theta }_3$ 和${\tilde{\theta }}_2,{\tilde{\theta }}_3$ ，使得当$\Vert v\Vert \le {\tilde{\theta }}_2$ 和$\left|t\right|\le {\tilde{\theta }}_3$ 时，有

$I_{{\mu }_1}\left(u\right)\ge {\theta }_2{\Vert v\Vert }^2+{\theta }_3{\left|t\right|}^4.$

故存在正常数${\theta }_4$ 和${\tilde{\theta }}_4$ ，使得当${\Vert u\Vert }^2\le {\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2$ 时，有

$I_{{\mu }_1}\left(u\right)\ge {\theta }_4{\Vert u\Vert }^4.$

令$\overline{\delta }=\min \left\{\frac{{\mu }_1}{2}{\theta }_4{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2,{\mu }_2-{\mu }_1\right\}>0$ ，则对任意$\mu \in \left[{\mu }_1,{\mu }_1+\overline{\delta }\right)$ 和$\frac{1}{2}{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2\le {\left|u\right|}^2\le {\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2$ ，有

$\begin{array}{c}{I}_{\mu }\left(u\right)=I_{{\mu }_1}\left(u\right)+\frac{1}{2}\left({\mu }_1-\mu \right){\displaystyle \int {\left|u\right|}^2\text{d}x}\\ \ge {\theta }_4{\Vert u\Vert }^4-\frac{\mu -{\mu }_1}{2{\mu }_1}{\Vert u\Vert }^2={\Vert u\Vert }^2\left({\theta }_4{\Vert u\Vert }^2-\frac{\mu -{\mu }_1}{2{\mu }_1}\right)\\ \ge {\Vert u\Vert }^2\left(\frac{1}{2}{\theta }_4{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2-\frac{1}{4}{\theta }_4{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2\right)=\frac{1}{4}{\theta }_4{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2{\Vert u\Vert }^2.\end{array}$

取${\rho }_1^2\in \left[\frac{1}{2}{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2,{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2\right]$ 和$\alpha :=\frac{1}{4}{\theta }_4{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2{\rho }_1^2$ ，则(2)的证明完成。

3)的证明：对任意$s>0$ ，有

$I_{\mu }\left(s{e}_1\right)=\frac{s^2}{2}\left({\Vert e_1\Vert }^2-\mu {\displaystyle \int e_1^2}\text{d}x\right)+\frac{b{s}^4}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}\right)}^2-\frac{\lambda s^4}{4}{\displaystyle \int {\varphi }_{e_1}}{e}_1^2\text{d}x-\frac{s^{p+1}}{p+1}{\displaystyle \int {\left|e_1\right|}^{p+1}\text{d}x}.$

因此，存在足够大的$s_1>0$ ，使得$\Vert s_1{e}_1\Vert >{\rho }_1$ 且$I_{\mu }\left(s_1{e}_1\right)<0$ 。取$\overline{u}=s_1{e}_1$ ，(3)的证明完成。

命题1.1 假设条件(V1)成立，当$0<\mu <{\mu }_1+\overline{\delta }$ 时，方程(1.3)有一个正解$u_{\mu }$ 且满足$I_{\mu }\left(u_{\mu }\right)>0$ 。

证明. 定义

$c_{1,\mu }=\underset{\gamma \in \Gamma }{\text{inf}}\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }{I}_{\mu }\left(\gamma \left(t\right)\right),$

其中，

$\Gamma =\left\{\gamma \in C\left(\left[0,1\right],H\right):\gamma \left(0\right)=0,\gamma \left(1\right)=\overline{u}\right\},$

$\overline{u}$ 同引理1.3的(3)。由引理1.1可得$c_{1,\mu }$ 是$I_{\mu }$ 的临界且$c_{1,\mu }>0$ 。参考[13] [14]中的方法可知，对任意的$u\in H$ ，有$I_{\mu }\left(u\right)=I_{\mu }\left(\left|u\right|\right)$ 且对每个$n\in \mathbb{N}$ ，存在${\gamma }_n\in \Gamma$ ，在${ℝ}^3$ 上几乎处处有${\gamma }_n\ge 0$ ，因此对所有$t\in \left[0,1\right]$ ，有

$c_{1,\mu }\le \underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }{I}_{\mu }\left({\gamma }_n\left(t\right)\right)\le c_{1,\mu }+\frac{1}{n}.$

由Ekeland变分原理[15]，可得${\gamma }_n^{\ast }\in \Gamma$ 具有以下性质：

1) $c_{1,\mu }\le \underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }{I}_{\mu }\left({\gamma }_n^{\ast }\left(t\right)\right)\le \underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }{I}_{\mu }\left({\gamma }_n\left(t\right)\right)<c_{1,\mu }+\frac{1}{n}$ ；

2) $\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }\left|\left({\gamma }_n\left(t\right)\right)-\left({\gamma }_n^{\ast }\left(t\right)\right)\right|<\frac{1}{\sqrt{n}}$ ；

3) 存在$t_n\in \left[0,1\right]$ ，使得$z_n={\gamma }_n^{\ast }\left(t_n\right)$ 满足$I_{\mu }\left(z_n\right)=\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }{I}_{\mu }\left({\gamma }_n^{\ast }\left(t_n\right)\right)$ 和$\left|{I^{\prime }}_{\mu }\left(z_n\right)\right|\le \frac{1}{\sqrt{n}}$ 。

特别地，我们得到一个${\left(PS\right)}_{c_{1,\mu }}$ 序列${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\subset H$ 。通过注释1.1，我们得到一个收敛的子序列，仍记为${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ 。因此可以假设在H中，当$n\to \infty$ 时，有$z_n\to z$ 。再由上面的性质可得，在H中，当$n\to \infty$ 时，有${\gamma }_n\left(t_n\right)\to z$ 。因为${\gamma }_n\left(t\right)\ge 0$ ，所以我们得到在${ℝ}^3$ 中，几乎处处有$z\ge 0$ 且$I_{\mu }\left(z\right)>0$ ，它是方程(1.3)的一个解。由强极大值原理可得在${ℝ}^3$ 中$z>0$ ，取$u_{\mu }=z$ ，故命题得证。

命题1.2 假设条件(V1)成立，当${\mu }_1<\mu <{\mu }_1+\overline{\delta }$ 时，方程(1.3)有一个正解$w_{\mu }$ 且满足$I_{\mu }\left(w_{\mu }\right)<0$ 。

证明. 设$B_{{\rho }_1}:=\left\{u\in H:\left|u\right|\le {\rho }_1\right\}$ ，其中${\rho }_1$ 同引理1.3的(2)。定义

$c_{2,\mu }:=\underset{\left|u\right|\le {\rho }_1}{\text{inf}}{I}_{\mu }\left(u\right).$

显然$c_{2,\mu }>-\infty$ 。参考[1]的方法，可得存在正常数$C_i$ ，使得

$\begin{array}{c}{I}_{\mu }\left(t{\eta }_R{e}_1\right)\le \left({\mu }_1-\mu \right)\frac{t^2}{4}{\displaystyle \int {\eta }_R^2}{e}_1^2\text{d}x+\frac{b}{4}{t}^4{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla \left({\eta }_R{e}_1\right)\right|}^2\text{d}x}\right)}^2\\ -\frac{\lambda t^4}{4}{\displaystyle \int {\varphi }_{{\eta }_R{e}_1}}{\left({\eta }_R{e}_1\right)}^2\text{d}x-\frac{t^{p+1}}{p+1}{\displaystyle \int {\eta }_R^{p+1}}{e}_1^{p+1}\text{d}x\\ \le -C_1{t}^2+C_2{t}^4-C_3{t}^4-C_4{t}^{p+1}.\end{array}$

当$t>0$ 足够大时，可得$I_{\mu }\left(t{\eta }_R{e}_1\right)<0$ 。因此$c_{2,\mu }<0$ 得证。

同命题1.1的方法，根据Ekeland变分原理和注释1.1，可得$w_{\mu }\ge 0$ 是方程(1.3)的一个解，且$I_{\mu }\left(w_{\mu }\right)<0$ 。由强极大值原理可得在${ℝ}^3$ 中$w_{\mu }>0$ 。该命题得证。

定理1.1证明. 定理1.1的(1)由命题1.1得证，定理1.1的(2)结合命题1.1和命题1.2得证，故定理1.1得证。