含有初始弯曲柔性梁的四杆机构轨迹分析

Trajectory Analysis of a Four-Bar Mechanism with an Initially Curved Flexible Beam

摘要: 根据初始弯曲柔性梁的3R伪刚体模型，构建了含有初始弯曲柔性梁的四杆机构的仿真模型，并在ADAMS软件中进行建模仿真，输出伪刚体模型的末端轨迹和末端转角，并和ANSYS软件中建立的刚柔耦合模型输出结果以及基于1R伪刚体模型建立的机构仿真模型输出结果进行对比，可以对3R伪刚体模型进行验证是否可行、优越，为更广泛应用初始弯曲柔性梁打下了坚实的基础。

Abstract: Based on the 3R pseudo-rigid body model of an initially curved flexible beam, the article constructed a simulation model of a four-bar mechanism that incorporates the initially curved flexible beam. The modeling and simulation were conducted using ADAMS software, and the end trajectory and end angle of the pseudo-rigid body model were output. These results were then compared with the output from the rigid-flexible coupling model established in ANSYS software and the output from the mechanism simulation model based on the 1R pseudo-rigid body model. This comparison facilitates the verification of the feasibility and advantages of the 3R pseudo-rigid body model, thereby laying a solid foundation for the broader application of initially curved flexible beam.

1. 引言

柔顺机构[1]是一种利用机构中构件自身的弹性变形来完成运动和力的传递及转换的新型机构。这种机构可以摒弃传统运动副，可大幅减少零件数量，从而实现了轻量化，同时，它还提高了可靠性和精度，降低了维护需求，大幅降低了成本，提升了整体性能。柔顺机构因其独特的性能成为了现代机械设计和设备开发等新兴研究领域[2]，其应用范围涵盖了MEMS、机器人、微操作等多个前沿科技领域[3]。在柔顺机构分析过程中，由于构件大变形，从而导致出现几何非线性特性，这使得分析过程异常复杂，为了对分析过程进行简化，基于机构结构学和运动学，Howell等提出了“1R伪刚体模型”[4] [5]。随后“3R、2R、PR等伪刚体模型”等先后被Su [6]、冯忠磊[7]和余跃庆[8]提出。上述几种模型都是基于初始柔性直梁而提出的。然而对于初始弯曲柔性梁的建模以及应用等相关研究则相对较少。初始弯曲梁的1R伪刚体模型[9]被Howell建立，他总结推荐了几组的初始曲率值及相应的重要模型参数。3R伪刚体模型[10]被建立，是基于末端受力的初始弯曲柔性悬臂梁的，并对是否有效进行了验证。该模型中其末端受力大小虽然随着时间而变化，但受力方向有所限制。杨毅[11]提出了一种双曲梁支链结构形式，进而设计出了一种2自由度柔顺移动并联机构，该机构应用于无人艇水样对接装置设计。杨云良[12]在低温红外镜头柔性卸载结构设计与测试项目中采用初始弯曲柔性梁设计了柔性卸载结构。王家成[13]将直梁单元设计成能够分散应力集中的曲梁单元，并搭建了微振动辅助悬浮挤出3D打印平台。

本文基于末端受力载荷的初始弯曲柔性梁的3R伪刚体模，在ADAMS软件中建立了含有初始弯曲柔性梁的四杆机构的仿真模型，给定曲柄转速，计算出初始弯曲柔性梁末端轨迹和转角，并和ANSYS软件中建立的刚柔耦合模型结果以及基于1R伪刚体模型建立的机构仿真模型输出结果进行对比，可以验证初始弯曲柔性梁的3R伪刚体模型是否可行并且优越。需要注意的是，含有初始弯曲柔性梁的四杆机构曲柄在转动过程中，初始弯曲柔性梁的末端受力大小和方向会时刻发生变化。

2. 末端受力作用的初始弯曲柔性梁

如图1展示了一根末端受力、初始弯曲状态的柔性悬臂梁。该曲梁具有初始曲率半径$r_i$ ，曲率$\text{1}/r_i$ 。柔性曲梁的初始曲率，通过无量纲参数${\kappa }_0$ 表示，即${\kappa }_0=L/r_i$ 。

初始弯曲柔性梁其末端在垂直方向和轴向方向的分力可用P和nP分别来表示；$F_0$ 为总力，其大小为

$F_0=P\sqrt{n^2+1}$ (1)

该力的角$\varphi$ 为

$\varphi =\arctan \frac{1}{-n}$ (2)

经过推导可以得到

$\alpha =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{{\theta }_i}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{\left[\cos \left({\theta }_i-\varphi \right)-\cos \left(\theta -\varphi \right)\right]+il}}}$ (3)

其中$il$ 为载荷指数

$il=\frac{{\beta }^2}{4{\alpha }^2}$ (4)

${\alpha }^2=\frac{F_0{L}^2}{2EI}$ (5)

$\beta =\frac{M_{i}L}{EI}={\theta }_i$ (6)

最终可以得到末端受力载荷的初始弯曲柔性梁的无量纲形式的垂直和水平位置方程分别为

$\frac{b}{L}=\frac{1}{2\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{{\theta }_0}\frac{\sin \theta \mathrm{d}\theta }{\sqrt{\left[\cos \left({\theta }_0-\varphi \right)-\cos \left(\theta -\varphi \right)\right]+il}}}$ (7)

$\frac{a}{L}=\frac{1}{2\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{{\theta }_0}\frac{\cos \theta \mathrm{d}\theta }{\sqrt{\left[\cos \left({\theta }_0-\varphi \right)-\cos \left(\theta -\varphi \right)\right]+il}}}$ (8)

Figure 1. Initially curved flexible beam with the free end subjected force

图1. 末端受力的初始弯曲柔性梁

3. 伪刚体模型

3.1. 1R伪刚体模型

Table 1. Model parameter values at different κ₀ of the initially curved flexible beam

表1. 初始弯曲梁各种κ₀时的模型参数值

κ0	γ	ρ	KΘ
0	0.85	0.85	2.65
0.1	0.84	0.8398	2.64
0.25	0.83	0.829	2.56
0.5	0.81	0.8069	2.52

续表

1	0.81	0.7973	2.6
1.5	0.8	0.7746	2.8
2	0.79	0.7491	2.99

初始弯曲悬臂梁的1R伪刚体模型如图2所示。选择初始直梁时的特征半径系数为该模型的特征半径系数γ。考虑到曲率影响，伪刚体杆的长度表示为$\rho L$ (详见式(10))，其中参数ρ为特征半径系数γ和曲率的函数。初始弯曲梁各种κ₀时的模型参数如表1所示。

Figure 2. 1R pseudo-rigid-body model of the Initially curved flexible beam

图2. 初始弯曲梁的1R伪刚体模型

由于该片段具有初始曲率，所以伪刚体角$\Theta$ 初始值${\Theta }_i$ 不为零，其大小为

${\Theta }_i=\arctan \frac{b_i}{a_i-L\left(1-\gamma \right)}$ (9)

式中$a_i$ 、$b_i$ 分别表示片段末端初始位置x、y方向的坐标；

由式(10)可以计算伪刚体杆的长度$\rho L$ 为

$\rho =\sqrt{{\left[\frac{a_i}{L}-\left(1-\gamma \right)\right]}^2+{\left(\frac{b_i}{L}\right)}^2}$ (10)

式中

$\frac{a_i}{L}=\frac{1}{{\kappa }_0}\sin {\kappa }_0$ (11)

$\frac{b_i}{L}=\frac{1}{{\kappa }_0}\left(1-\cos {\kappa }_0\right)$ (12)

根据1R伪刚体模型，可以近似得知初始弯曲柔性梁末端的变形轨迹为

$\frac{a}{L}=1-\gamma +\rho \cos \Theta$ (13)

$\frac{b}{L}=\rho \sin \Theta$ (14)

3.2. 3R伪刚体模型

如图3所示为末端受力的初始弯曲柔性梁的3R伪刚体模型。因为该柔性梁具有初始曲率，所以伪刚体角${\Theta }_{31}$ 、${\Theta }_{32}$ 、${\Theta }_{33}$ 分别有一个非零的初始值${\Theta }_{31i}$ 、${\Theta }_{32i}$ 和${\Theta }_{33i}$ ，这些初始值可以根据式(15)得出：

Figure 3. 3R pseudo-rigid-body model of the Initially curved flexible beam

图3. 末端受力的初始弯曲柔性梁3R伪刚体模型

$\begin{array}{l}{\Theta }_{31i}+{\Theta }_{32i}+{\Theta }_{33i}={\theta }_i\\ K_{31}{\Theta }_{31i}=K_{32}{\Theta }_{32i}=K_{33}{\Theta }_{33i}\end{array}\}$ (15)

而

$\left\{\begin{array}{c}{K}_{31}\Delta {\Theta }_{31}\\ K_{32}\Delta {\Theta }_{32}\\ K_{33}\Delta {\Theta }_{33}\end{array}\right\}=\left[J^{\text{T}}\right]\left\{\begin{array}{c}{F}_{0}L\cos \phi \\ F_{0}L\sin \phi \end{array}\right\}$ (16)

其中

$\left[J^{\text{T}}\right]=\left[\begin{array}{cc}-{\gamma }_{31}{s}_1-{\gamma }_{32}{s}_{12}-{\gamma }_{33}{s}_{123}& {\gamma }_{31}{c}_1+{\gamma }_{32}{c}_{12}+{\gamma }_{33}{c}_{123}\\ -{\gamma }_{32}{s}_{12}-{\gamma }_{33}{s}_{123}& {\gamma }_{32}{c}_{12}+{\gamma }_{33}{c}_{123}\\ -{\gamma }_{33}{s}_{123}& {\gamma }_{33}{c}_{123}\end{array}\right]$ (17)

其中：$c_1=\cos \left({\Theta }_{31}\right)$ ，$s_1=\sin \left({\Theta }_{31}\right)$ ，$c_{12}=\cos \left({\Theta }_{31}+{\Theta }_{32}\right)$ ，$s_{12}=\sin \left({\Theta }_{31}+{\Theta }_{32}\right)$ ， $c_{123}=\cos \left({\Theta }_{31}+{\Theta }_{32}+{\Theta }_{33}\right)$ ，$s_{123}=\sin \left({\Theta }_{31}+{\Theta }_{32}+{\Theta }_{33}\right)$ 。

三个伪刚体角的大小分别为

${\Theta }_{31}={\Theta }_{31i}+\Delta {\Theta }_{31}$ (18)

${\Theta }_{32}={\Theta }_{32i}+\Delta {\Theta }_{32}$ (19)

${\Theta }_{33}={\Theta }_{33i}+\Delta {\Theta }_{33}$ (20)

初始弯曲柔性梁末端的变形轨迹近似为

$\frac{a_3}{L}={\gamma }_{30}+{\gamma }_{31}{c}_1+{\gamma }_{32}{c}_{12}+{\gamma }_{33}{c}_{123}$ (21)

$\frac{b_3}{L}={\gamma }_{31}{s}_1+{\gamma }_{32}{s}_{12}+{\gamma }_{33}{s}_{123}$ (22)

该3R伪刚体模型其特征半径系数分别为

${\gamma }_{30}=0.1$ , ${\gamma }_{31}=0.35$ , ${\gamma }_{32}=0.40$ , ${\gamma }_{33}=0.15$ (23)

其刚度系数分别为

$k_{\Theta 31}=3.51$ , $k_{\Theta 32}=2.99$ , $k_{\Theta 33}=2.58$ (24)

弹簧常数分别为：

$K_{31}=k_{\Theta 31}\frac{EI}{L}$ , $K_{32}=k_{\Theta 32}\frac{EI}{L}$ , $K_{33}=k_{\Theta 33}\frac{EI}{L}$ (25)

4. 实例分析

含有初始弯曲柔性梁的平面四杆机构如图4所示。刚性曲柄AB通过铰链B与机架连接，刚性连杆AQ通过铰链A与曲柄AB连接，初始弯曲柔性梁OQ与连杆AQ通过铰链Q连接，同时通过铰链O与机架固定连接。

Figure 4. The four-bar mechanism with the initially curved flexible beam

图4. 含有初始弯曲柔性梁的四杆机构

在初始位置时，即曲柄转角$\theta =\pi /2$ 时，OQ为半径为300mm，初始夹角为60˚，横截面为0.8 mm × 20 mm，材料为65 Mn弹簧钢；O、A、B三点共线，$\Delta OAQ$ 为等边三角形，连杆AQ长$L_{AQ}=300\text{mm}$ ，曲柄BA长度为60 mm，横截面为10 mm × 20 mm，材料为铝合金。

通过3R伪刚体模型来模拟初始弯曲柔性悬臂梁，带入到含有初始弯曲柔性梁的四杆机构中，建立机构模型如图5所示。建立坐标系Oxy，它是用来研究机构运动的绝对参考系。假定曲柄转速为5 r/min。

由于基于3R伪刚体模型建立的四杆机构模型中，含有的未知数比较多，运动学和静力学方程的建立和求解比较复杂。为了简化求解，基于ADAMS软件建模求解。

为了验证上述仿真模型是否可行有效以及是否优越，基于ANSYS软件建立了柔顺四杆机构这一刚柔耦合系统仿真模型；并且根据初始弯曲柔性梁的1R伪刚体模型，建立了该柔顺四杆机构简化模型。其中在ANSYS刚柔耦合仿真模型中，连杆AQ和曲柄BA定义为刚性杆；初始弯曲柔性杆OQ为柔性杆，基于beam3单元划分为10个单元。

Figure 5. simulation model of the four-bar mechanism based on the 3R pseudo-rigid-body model

图5. 基于3R伪刚体模型建立的四杆机构仿真模型

Figure 6. Comparison of end trajectorys

图6. 末端轨迹对比

Figure 7. Comparison of end corners

图7. 末端转角对比

三种模型求解出的四杆机构中初始弯曲柔性梁的末端位移和末端转角对比分别如图6和图7所示。该四杆机构三种模型四个不同位置的对比如图8所示。

为了衡量伪刚体模型模拟初始弯曲柔性梁的模拟效果，定义伪刚体模型末端和柔性梁末端的变形位置分别为$\left(a_{\text{1}},b_{\text{1}}\right)$ 和$\left(a_0,b_0\right)$ ，上述两种变形位置之间的距离和柔性梁原长L之比为相对变形误差e₁，即

$e_{\text{1}}=\frac{\sqrt{{\left(a_{\text{1}}-a_0\right)}^2+{\left(b_{\text{1}}-b_0\right)}^2}}{L}$ (26)

定义初始弯曲柔性梁的3R伪刚体模型末端转角和ANSYS刚柔耦合模型末端转角的相对误差为

$e_2=\left({\Theta }_3-{\theta }_{ans}\right)/{\theta }_{ans}$ (27)

该柔顺四杆机构中初始弯曲柔性梁的相对变形误差曲线和转角相对误差曲线如图9所示。

Figure 8. Location comparison of the four-bar mechanism

图8. 四杆机构位置对比图

含有初始弯曲柔性梁的四杆机构曲柄在转动过程中，初始弯曲柔性梁的末端受力大小和方向会时刻发生变化。从图6到图9可以看出，基于3R伪刚体模型建立的四杆机构模型和ANSYS刚柔耦合模型的末端轨迹很接近，两者相对误差不超过0.52%，两者末端转角相对误差不超过0.54%，从而可以相互验证上述两种模型结果的有效性。

而基于1R伪刚体模型建立的四杆机构模型和ANSYS模型的末端轨迹相对误差稍微大一些，但是最大相对误差不超过0.95%，这比基于3R伪刚体模型建立的四杆机构模型的末端轨迹相对误差相对稍微大一些。这说明了，1R伪刚体模型不如3R伪刚体模型精确，在模拟初始弯曲柔性梁的末端轨迹时。这反映了初始弯曲柔性梁的3R伪刚体模型在一定受力范围内可以很好模拟其柔性梁的末端轨迹和转角，为含有初始弯曲柔性梁的精密机构、柔顺机构等的建模分析以及设计等打下坚实的基础。

Figure 9. Relative error curves

图9. 相对误差曲线

基金项目

本项目获得山西省高等学校科技创新项目(2021L380)资助。