基于不确定理论的亚式障碍期权定价研究

Research on Pricing Asian-Barrier Options Based on Uncertainty Theory

摘要: 亚式障碍期权是一种路径依赖型期权，其收益取决于股票价格在特定的到期时间能否到达预设的障碍水平。不同于传统的随机理论，本文将在不确定理论的框架内研究亚式障碍期权的定价问题。首先，通过假设标的股票价格服从不确定指数O-U过程，且利率服从不确定CIR过程，我们构建了一种新的不确定股票模型。然后，运用不确定微积分和不确定微分方程的相关知识，推导出新模型下亚式障碍期权的定价公式及相应的数值解。最后，运用矩估计法对不确定股票模型中的未知参数进行估值，并通过数值案例对得到的参数估计值进行了合理性验证。研究结果表明，带有浮动利率的不确定指数O-U股价模型更符合金融市场的实际情况，能够合理地对亚式障碍期权定价。

Abstract: Asian-barrier option is a path-dependent option, whose payment depends on whether the stock price can reach the pre-set barrier level at a specific maturity time. This paper will investigate the pricing issue of Asian-barrier options within the framework of uncertainty theory, which is distinct from traditional stochastic theory. Firstly, assuming that the underlying stock prices follow an uncertain exponential O-U process and the interest rates follow an uncertain CIR process, we have constructed a new uncertain stock model. Then, the pricing formula and the corresponding numerical solution of Asian-barrier options are derived, based on the knowledge of uncertain calculus and uncertain differential equation. Finally, we apply the method of moments to estimate the unknown parameters in the uncertain stock model and validate the reasonableness of the estimated parameters through numerical examples. The research results indicate that the uncertainty exponential O-U stock price model with floating interest rates is more in line with the actual situation of the financial market and can reasonably price Asian barrier options.

1. 引言

亚式障碍期权在障碍期权的基础上，增加了价格均值特征，能够有效降低股票价格波动。同时具有提供标的股票价格上下限的特点，使投资者只需考虑范围内的股票价格，增加投资便利性，备受投资者青睐。因此，研究亚式障碍期权的定价问题具有理论和实践意义。

1973年，Black和Scholes [1]在标的资产价格服从对数正态分布情形下给出了著名的Black-Scholes期权定价公式。但是该模型是建立在概率论的基础上，概率论的应用前提是我们获知的概率分布必须充分接近真实的频率，然而大量的实证研究表明现实世界中的频率远不稳定。这一事实使得在实践中获得的分布函数通常偏离实际频率。随着行为金融学的兴起，越来越多的研究表明人的主观信度对实际决策有着重要的影响，为了更好处理人的主观信度，Liu [2]在2007年创立不确定理论，并于2015年做了进一步的完善[3]，随后广泛应用到金融领域。

目前有关亚式障碍期权的定价研究[4] [5]其利率大多假定为常数，然而在实际金融市场中利率是随着时间不断变化，而非恒定的。基于上述分析，本文假定利率服从不确定CIR过程，股票价格服从指数O-U过程，建立了一种新的不确定股票模型。然后，运用不确定微分方程的相关定理，分别推导出向上敲入亚式障碍期权定价公式，并给出了相应的数值算法。最后，采用矩估计法对不确定股票模型中的未知参数进行估值，并通过数值案例进行了合理性验证。

2. 不确定理论

2.1. 不确定微分方程

定义1 [6] 一个不确定过程$C_t$ 被称作一个典范Liu过程，如果满足以下条件：

(1) $C_0=0$ 且几乎所有的样本路径是Lipschitz连续的；

(2) $C_t$ 具有平稳独立增量；

(3) 对于时间t，增量$C_{s+t}-C_s$ 是一个期望为0方差为$t^2$ 的不确定变量，其不确定分布

$\Phi \left(x\right)=\left(1+\exp \left(-\frac{\pi x}{\sqrt{3}t}\right)\right)x\in ℝ$ (1)

定义2 [7] 设$C_t$ 是一个典范Liu过程，f和g是给定的函数，那么称

$\text{d}{X}_t=\text{d}\left(t,X_t\right)\text{d}t+g\left(t,X_t\right)\text{d}{C}_t$ (2)

是一个不确定微分方程。

定义3 [8] 设$0<\alpha <1$ ，如果不确定微分方程(6)满足

$\text{d}{X}_t^{\alpha }=f\left(t,X_t^{\alpha }\right)\text{d}t+\lg \left(t,X_t^{\alpha }\right){\Phi }^{-1}\left(\alpha \right)\text{d}t$ (3)

则称$X_t$ 具有α路径，其中${\Phi }^{-1}\left(\alpha \right)$ 是正态不确定变量的逆不确定分布，即

${\Phi }^{-1}\left(\alpha \right)=\frac{\sqrt{3}}{\pi }\ln \frac{\alpha }{1-\alpha }$ (4)

定义4 [8] 设$X_t$ 和$X_t^{\alpha }$ 分别是不确定微分方程(6)的解和α路径，那么有

$M\left\{X_t\le X_t^{\alpha },\forall t\right\}=\alpha$ (5)

和

$M\left\{X_t\le X_t^{\alpha },\forall t\right\}=1-\alpha$ (6)

并且$\forall t$ ，且$X_t$ 有一个逆不确定分布

${\Phi }^{-1}\left(\alpha \right)=X_t^{\alpha }$ (7)

定义5 [9] 设$X_t$ 和$X_t^{\alpha }$ 分别是不确定微分方程(6)的解和α路径，假设$J\left(X_t\right)$ 是严格递增(递减)函数，则积分

${\displaystyle {\int }_0^{s}J\left(X_t\right)\text{d}t}$ (8)

具有逆不确定分布

${\Phi }^{-1}\left(\alpha \right)={\displaystyle {\int }_0^{s}J\left(X_t^{\alpha }\right)\text{d}t}\left({\Phi }^{-1}\left(\alpha \right)={\displaystyle {\int }_0^{s}J\left(X_t^{1-\alpha }\right)\text{d}t}\right)$ (9)

2.2. 不确定股票模型

在实际金融市场中，利率是频繁波动的，有必要在浮动利率框架内讨论期权定价问题。考虑到股价和利率应该围绕某个均值水平上下波动的特征，刘兆鹏[10]提出了一种新的具有浮动利率的不确定指数O-U股票模型：

$\{\begin{array}{l}\text{d}{r}_t=\left(b-a{r}_t\right)\text{d}t+{\sigma }_1\text{d}{C}_{1t}\\ \text{d}{X}_t=\mu \left(1-c\ln X_t\right)X_t\text{d}t+{\sigma }_2{X}_t\text{d}{C}_2\end{array}$ (10)

其中，$r_t$ 为利率，$X_t$ 为股价，$a,b,c,\mu ,{\sigma }_1,{\sigma }_2$ 为非负实数，$C_{1t}$ 和$C_{2t}$ 为相互独立的典范Liu过程。

3. 敲入期权

3.1. 带有CIR利率的不确定指数O-U模型

模型(15)中的利率是Vasicek模型的不确定对应物，然而Vasicek模型会导致利率为负值。为了确保利率始终为正值，Wang [11]将利率过程假定为CIR模型的不确定对应物，提出一种新的浮动利率模型：

$\text{d}{r}_t=a\left(b-r_t\right)\text{d}t+\sigma \sqrt{r_t}\text{d}{C}_t$ (11)

其中，$r_t$ 为利率，$a$ 为利率的调整率，$b$ 为平均利率，$\sigma$ 为利率扩散率，$C_t$ 为典范Liu过程。

本文基于以上分析，假设股票价格服从不确定指数O-U过程，利率服从不确定CIR过程，给出一种新的不确定股票模型：

$\{\begin{array}{l}\text{d}{r}_t=a\left(b-r_t\right)\text{d}t+{\sigma }_1\sqrt{r_t}\text{d}{C}_{1t}\\ \text{d}{X}_t=\mu \left(1-c\ln X_t\right)X_t\text{d}t+{\sigma }_2{X}_t\text{d}{C}_{2t}\end{array}$ (12)

其中，$a$ 为利率的调整率，$b$ 为平均利率，${\sigma }_1$ 为利率的波动率，${\sigma }_2$ 为股价波动率，$\mu$ 是控制股票价格变化的均值，其取值决定了股价的波动范围；$c$ 是非负实数，当股价变化率超过一定范围时，使之均值回复；$\mu \left(1-c\ln X_t\right)$ 是带有指数均值回归的预期收益率；$C_{1t}$ 和$C_{2t}$ 是相互独立的典范Liu过程。

为更好描述亚式障碍期权，本文给出一个指标函数$I_L\left(x\right)$ ：

$I_L\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1x\ge L\\ 0x<L\end{array}$ (13)

其中，L为给定的实数。

3.2. 向上敲入亚式看涨期权

向上敲入亚式看涨期权的股票初始价格$X_0$ 低于预设障碍水平L，在到期日T之前，股票价格达到预设障碍水平，亚式看涨期权生效。则买入一份向上敲入亚式看涨期权的价格为

$f_c^{ui}=E\left\{\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t\text{d}t}\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{x}_t\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t\text{d}t}-K\right)}^{+}\right\}$ (14)

定理1假设向上敲入亚式期权的执行价格为K，到期时间为T，障碍水平为L，股票价格服从不确定股票模型(17)，则向上敲入亚式看涨期权的价格为

$f_c^{ui}={\displaystyle {\int }_{\beta }^1\exp }\left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t^{1-\alpha }\text{d}t}\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{\alpha }\text{d}t}-K\right)}^{+}\text{d}\alpha$ (15)

其中，

$\beta ={\left(1+\exp \left(\frac{1-c\ln L-\left(1-c\ln X_0\right)\exp \left(-\mu ct\right)}{1-\exp \left(-\mu ct\right)}\frac{\mu \pi }{\sqrt{3}{\sigma }_2}\right)\right)}^{-1}$ (16)

证明：根据定义3可知

$\text{d}{X}_t^{\alpha }=\mu \left(1-c\ln X_t^{\alpha }\right)X_t^{\alpha }\text{d}t+{\sigma }_2{X}_t^{\alpha }\ln \frac{\alpha }{1-\alpha }\text{d}t$

该不确定微分方程的解为

$X_t^{\alpha }=\exp \left(\exp \left(-\mu ct\right)\ln X_0+\left(1-\exp \left(-\mu ct\right)\right)\left(\frac{1}{c}+\frac{{\sigma }_2\sqrt{3}}{\mu c\pi }\ln \frac{\alpha }{1-\alpha }\right)\right).$

因此，我们得出定理2。

定理2 股票价格$X_t$ 有α路径

$X_t^{\alpha }=\exp \left(\exp \left(\begin{array}{c}-\mu ct\end{array}\right)\ln X_0+\frac{1}{c}\left(1-\exp \left(\begin{array}{c}-\mu ct\end{array}\right)\right)\left(1+\frac{\sqrt{3}{\sigma }_2}{\mu \pi }\ln \frac{\alpha }{1-\alpha }\right)\right).$ (17)

定理3 利率$r_t$ 的α路径满足以下微分方程

$\text{d}{r}_t^{\alpha }=a\left(b-r_t^{\alpha }\right)\text{d}t+{\sigma }_1\sqrt{r_t^{\alpha }}{\Phi }^{-1}\left(\alpha \right)\text{d}t$ (18)

其中

${\Phi }^{-1}\left(\alpha \right)=\frac{\sqrt{3}}{\pi }\ln \frac{\alpha }{1-\alpha }.$

首先，不确定变量

$\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t}\text{d}t-K\right)}^{+}$

的逆不确定分布为

$\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t^{1-\alpha }}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t^{\alpha }\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{\alpha }}\text{d}t-K\right)}^{+}$

其中

$X_t^{\alpha }=\exp \left(\exp \left(\begin{array}{c}-\mu ct\end{array}\right)\ln X_0+\frac{1}{c}\left(1-\exp \left(\begin{array}{c}-\mu ct\end{array}\right)\right)\left(1+\frac{\sqrt{3}{\sigma }_2}{\mu \pi }\ln \frac{\alpha }{1-\alpha }\right)\right).$

其次，对于$\forall t\in \left[0,T\right]$ ，做出以下两个假设

$X_t\left(\gamma \right)\le X_t^{\alpha }$

和

$r_t\left(\gamma \right)\ge r_t^{1-\alpha }$

其中，$\gamma \in \Gamma$ 。由上述两个假设可知

$I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t\left(\gamma \right)\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t\left(\gamma \right)\text{d}t}-K\right)}^{+}\le I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t^{\alpha }\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{\alpha }}\text{d}t-K\right)}^{+}$

和

$\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t\left(\gamma \right)\text{d}t}\right)\le \exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t^{1-\alpha }}\text{d}t\right).$

因此，可以得出

$\begin{array}{c}\{\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t}\text{d}t-K\right)}^{+}\\ \le \exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t^{1-\alpha }}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t^{\alpha }\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{\alpha }}\text{d}t-K\right)}^{+}\}\\ \supset \left\{r_t\ge r_t^{1-\alpha },\forall t\in \left[0,T\right]\right\}{{\displaystyle \cap }}^{\text{}}\left\{X_t\le X_t^{\alpha },\forall t\in \left[0,T\right]\right\}.\end{array}$

根据定义4，可知

$\begin{array}{l}ℳ\{\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t}\text{d}t-K\right)}^{+}\\ \le \exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t^{1-\alpha }}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t^{\alpha }\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{\alpha }}\text{d}t-K\right)}^{+}\}\\ \ge ℳ\left\{r_t\ge r_t^{1-\alpha },\forall t\in \left[0,T\right]{{\displaystyle \cap }}^{\text{}}\left\{X_t\le X_t^{\alpha },\forall t\in \left[0,T\right]\right\}\right\}\\ =ℳ\left\{r_t\ge r_t^{1-\alpha },\forall t\in \left[0,T\right]\right\}\wedge ℳ\left\{X_t\le X_t^{\alpha },\forall t\in \left[0,T\right]\right\}\\ =\alpha \end{array}$

同样地，对于$\forall t\in \left[0,T\right]$ ，我们再做出两个假设

$X_t\left(\gamma \right)>X_t^{\alpha }$

和

$r_t\left(\gamma \right)<r_t^{1-\alpha }$

其中，$\gamma \in \Gamma$ 。由上述两个假设可知

$I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t\left(\gamma \right)\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t\left(\gamma \right)\text{d}t}-K\right)}^{+}>I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t^{\alpha }\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{\alpha }}\text{d}t-K\right)}^{+}$

和

$\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t\left(\gamma \right)\text{d}t}\right)>\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t^{1-\alpha }}\text{d}t\right).$

因此，可以得出

$\begin{array}{l}\{\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t}\text{d}t-K\right)}^{+}\\ >\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t^{1-\alpha }}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t^{\alpha }\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{\alpha }}\text{d}t-K\right)}^{+}\}\\ \supset \left\{r_t<r_t^{1-\alpha },\forall t\in \left[0,T\right]\right\}{{\displaystyle \cap }}^{\text{}}\left\{X_t>X_t^{\alpha },\forall t\in \left[0,T\right]\right\}.\end{array}$

根据4，可知

$\begin{array}{l}ℳ\{\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t}\text{d}t-K\right)}^{+}\\ >\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t^{1-\alpha }}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t^{\alpha }\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{\alpha }}\text{d}t-K\right)}^{+}\}\\ \ge ℳ\left\{\left\{r_t<r_t^{1-\alpha },\forall t\in \left[0,T\right]\right\}{{\displaystyle \cap }}^{\text{}}\left\{X_t>X_t^{\alpha },\forall t\in \left[0,T\right]\right\}\right\}\\ =ℳ\left\{r_t<r_t^{1-\alpha },\forall t\in \left[0,T\right]\right\}\wedge ℳ\left\{X_t>X_t^{\alpha },\forall t\in \left[0,T\right]\right\}\\ =1-\alpha .\end{array}$

根据定义1中的对偶性公理可知

$\begin{array}{c}ℳ\{\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t}\text{d}t-K\right)}^{+}\\ \le \exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t^{1-\alpha }}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t^{\alpha }\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{\alpha }}\text{d}t-K\right)}^{+}\}\\ +ℳ\{\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t}\text{d}t-K\right)}^{+}\\ >\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t^{1-\alpha }}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t^{\alpha }\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{\alpha }}\text{d}t-K\right)}^{+}\}\\ =1.\end{array}$

所以

$\begin{array}{l}ℳ\{\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t}\text{d}t-K\right)}^{+}\\ \le \exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t^{1-\alpha }}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t^{\alpha }\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{\alpha }}\text{d}t-K\right)}^{+}\}\\ =\alpha .\end{array}$

进而推出

$\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t\right)\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t}\text{d}t-K\right)$

的逆不确定分布为

$\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t^{1-\alpha }}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t^{\alpha }\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{\alpha }}\text{d}t-K\right)}^{+}$

最后，我们考虑指标函数

$I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t^{\alpha }\right)=1$

当且仅当

$\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t^{\alpha }=\underset{0\le t\le T}{\sup }\exp \left(\exp \left(\begin{array}{c}-\mu ct\end{array}\right)\ln X_0+\frac{1}{c}\left(1-\exp \left(\begin{array}{c}-\mu ct\end{array}\right)\right)\left(1+\frac{\sqrt{3}{\sigma }_2}{\mu \pi }\ln \frac{\alpha }{1-\alpha }\right)\right)\ge L$

时成立。即

$\alpha \ge {\left(1+\exp \left(\frac{1-c\ln L-(1-c\ln X_0)\exp \left(\begin{array}{c}-\mu ct\end{array}\right)}{1-\exp \left(\begin{array}{c}-\mu ct\end{array}\right)}\frac{\mu \pi }{\sqrt{3}{\sigma }_2}\right)\right)}^{-1}=\beta .$

最终得到向上敲入亚式看涨期权价格为

$\begin{array}{c}{f}_c^{ui}={\displaystyle {\int }_0^T\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t^{1-\alpha }}\text{d}t\right)I_L\left(\underset{0\le t\le T}{\sup }{X}_t^{\alpha }\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{\alpha }}\text{d}t-K\right)}^{+}\text{d}\alpha }\\ ={\displaystyle {\int }_{\beta }^1\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^T{r}_t^{1-\alpha }}\text{d}t\right){\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{\alpha }}\text{d}t-K\right)}^{+}}\text{d}\alpha .\end{array}$

证明完毕。

Step 1：根据定理1，计算向上敲入亚式看涨期权价格$f_c^{ui}$ 的数值算法设计如下。

固定参数值，执行价格K，到期时间T，股票价格模型中的参数$X_0, \mu , c$ 和${\sigma }_2$ ，浮动利率模型中的参数$a,b,r_0$ 和${\sigma }_1$ 。

Step 2：计算

$\beta ={\left(1+\exp \left(\frac{1-c\ln L-(1-c\ln X_0)\exp \left(\begin{array}{c}-\mu ct\end{array}\right)}{1-\exp \left(\begin{array}{c}-\mu ct\end{array}\right)}\frac{\mu \pi }{\sqrt{3}{\sigma }_2}\right)\right)}^{-1}.$

Step 3：选取足够大的数M和N，令${\alpha }_i=\beta +i\left(1-\beta \right)/N,i=1,2,\cdots ,N-1,t_j=j\cdot T/M,j=1,2,\cdots ,M,$ $r_{t_0}^{{\alpha }_i}=r_0$ 。

Step 4：令$i=0$ 。

Step 5：令$i=i+1$ 。

Step 6：令$j=0$ 。

Step 7：令$j=j+1$ 。

Step 8：计算浮动利率和股票价格

$r_{t_j}^{1-{\alpha }_i}=r_{t_{j-1}}^{1-{\alpha }_i}+a\left(b-r_{t_{j-1}}^{1-{\alpha }_i}\right)\frac{T}{M}+\sqrt{r_{t_{j-1}}^{1-{\alpha }_i}}\frac{\sqrt{3}{\sigma }_1}{\pi }\ln \frac{1-{\alpha }_i}{{\alpha }_i}\frac{T}{M}$

$X_{t_j}^{{\alpha }_i}=\exp \left(\exp \left(-\mu c{t}_j\right)\ln X_0+\frac{1}{c}\left(1-\exp \left(-\mu c{t}_j\right)\right)\left(1+\frac{\sqrt{3}{\sigma }_2}{\mu \pi }\ln \frac{{\alpha }_i}{1-{\alpha }_i}\right)\right)$

如果$j<M$ ，返回到Step 7。

Step 9：计算折现率

Step 10：计算T时期内价格算术平均值与敲定价格K之间的正偏差

${\left(\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{\alpha }}\text{d}t-K\right)}^{+}\leftarrow \max \left(0,\frac{1}{M}{\displaystyle \sum }_{j=1}^M{X}_{t_j}^{{\alpha }_i}-K\right)$

如果$i<N-1$ ，返回到Step 5。

Step 11：计算期权价格

假设浮动利率的参数$a=0.05$ ，$b=2$ ，${\sigma }_1=0.04$ ，$r_0=0.03$ ，股票初始价格$X_0=0.03$ ，到期时间$T=5$ ，执行价格$K=4$ ，股票价格的其他参数$\mu =1.7$ ，$c=2$ ，${\sigma }_2=\pi$ ，障碍水平$L=9$ ，$M=N=1000$ ，则根据定理1和数值算法计算出向上敲入亚式看涨期权的价格为$f_c^{ui}=0.1082$ 。

例2.1 下面我们将研究一些参数(如障碍水平L、利率波动率${\sigma }_1$ 、执行价格K和利率$r_0$ )对向上敲入亚式看涨期权价格$f_c^{ui}$ 的影响。当研究期权价格$f_c^{ui}$ 与某一个参数之间的关系时，需保持其他参数不变。

见图1，价格$f_c^{ui}$ 关于障碍水平L递减，障碍水平越高，股价向上敲入达到该水平的可能性越小，期权被激活的可能性就越小，导致期权价格下降。价格$f_c^{ui}$ 关于到利率波动率${\sigma }_1$ 递增，波动率越高，标的股票价格的波动越剧烈，收益率的不确定性就越强，导致期权价格约高。价格$f_c^{ui}$ 关于价格执行价格K递减，看涨期权将来某一时刻行使，期权收益等于股票价格与执行价格的差额。因此，股票价格一定时，随着执行价格的上升，看涨期权价格将会下降。价格$f_c^{ui}$ 关于利率$r_0$ 递减，当整个经济环境中利率增加时，股票价格往往会下降，利率上升与相应的股票价格下降的净效应会使期权下降。

4. 参数估计

Yao和Liu [12]在2020年首次提出不确定微分方程的矩估计方法，并对几种不确定微分方程进行参数估值，但并没有对不确定指数O-U模型的未知参数进行估值。下面我们将对模型(12)中股票价格模型的未知参数进行估值，并通过数值案例进行有效性验证。

Figure 1. The relationship between $f_c^{ui}$ and parameters L, ${\sigma }_1$ , K and $r_0$

图1. $f_c^{ui}$ 与参数L，${\sigma }_1$ ，K和$r_0$ 的关系

矩估计

对于股票价格模型

$\text{d}{X}_t=\mu \left(1-c\ln X_t\right)X_t\text{d}t+{\sigma }_2{X}_t\text{d}{C}_{2t}$ (19)

有$\mu ,c$ 和${\sigma }_2$ 三个待估计的参数，其估计值分别为${\mu }^{*},c^{*}$ 和${\sigma }_2^{*}$ 。根据表1中的15组观测数据[12]，估计值${\mu }^{*},c^{*}$ 和${\sigma }_2^{*}$ 通过解如下方程组获得

Table 1. 15 sets of observation data

表1. 15组观测数据

i	$t_i$	$x_{ti}$	i	$t_i$	$x_{ti}$
1	0.4	1.33	9	2.8	1.45
2	0.7	2.20	10	3.2	2.82
3	0.9	1.52	11	3.4	1.50
4	1.2	2.30	12	3.7	2.65
5	1.5	2.37	13	4.0	2.07
6	1.9	2.49	14	4.2	2.99
7	2.1	1.90	15	4.6	1.88
8	2.4	1.65

$\{\begin{array}{c}\frac{1}{14}{\displaystyle \sum }_{i=1}^{14}\frac{x_{t_{i+1}}-x_{t_i}-{\mu }^{*}\left(1-c^{*}\ln X_t\right)\left(t_{i+1}-t_i\right)x_{t_i}}{{\sigma }_2^{*}{x}_{t_i}\left(t_{i+1}-t_i\right)}=0\\ \frac{1}{14}{\displaystyle \sum }_{i=1}^{14}{\left(\frac{x_{t_{i+1}}-x_{t_i}-{\mu }^{*}\left(1-c^{*}\ln X_t\right)\left(t_{i+1}-t_i\right)x_{t_i}}{{\sigma }_2^{*}{x}_{t_i}\left(t_{i+1}-t_i\right)}\right)}^2=1\\ \frac{1}{14}{\displaystyle \sum }_{i=1}^{14}{\left(\frac{x_{t_{i+1}}-x_{t_i}-{\mu }^{*}\left(1-c^{*}\ln X_t\right)\left(t_{i+1}-t_i\right)x_{t_i}}{{\sigma }_2^{*}{x}_{t_i}\left(t_{i+1}-t_i\right)}\right)}^3=0\end{array}$

解之得

$\{\begin{array}{c}{\mu }^{*}=8.5658\\ c^{*}=1.3758\\ {\sigma }_2^{*}=2.0389\end{array}$

因此，股票价格模型为

$\text{d}{X}_t=8.5658\left(1-1.3758\ln X_t\right)X_t\text{d}t+2.0389X_t\text{d}{C}_{2t}$ (20)

经检验，见图2，所有的观测数据都落在式(40)的0.98α路径和0.01α路径之间的区域，因此参数估计值合理。

Figure 2. $X_t^{\alpha }$ and observation values

图2. $X_t^{\alpha }$ 与观测值

5. 结论

本文在不确定理论的框架内研究了亚式障碍期权的定价问题。首先，通过构建一个新的不确定股票模型来模拟利率和股价的变化，推导出向上敲入亚式看涨期权的定价公式，其次，为了计算期权价格，设计了对应的数值算法，最后，运用矩估计法对不确定股票模型中的未知参数进行估值，并通过数值案例检验了参数值的合理性。参数估计是研究不确定微分方程的重要内容之一，本文采用矩估计的方法，利用观测数据进行估计，在后续的研究中，可以将实际的股票价格作为观测数据，进一步探究不确定股票模型的有效性，以构建更符合实际金融市场的不确定股票模型。