调和Besov空间的一些刻画

Some Characterizations of Harmonic Besov Space

摘要: 本文得到了调和Besov空间中函数的泰勒系数增长性的一个估计，也证明了调和Besov空间中的函数关于Bergman度量是Lipschitz连续的。

Abstract: In this paper, we obtain an estimate of the growth of the Taylor coefficient of functions in harmonic Besov spaces and prove that functions in harmonic Besov spaces are Lipschitz continuous with respect to the Bergman metric.

1. 研究背景及主要结果

用$D=\left\{z:\left|z\right|<1\right\}$ 表示复平面$ℂ$ 上的单位开圆盘，$H\left(D\right)$ 表示D上的解析函数组成的集合，$\text{d}A=\frac{1}{2\pi }\text{d}x\text{d}y$ 为D上的正规化Lebesgue测度，$\text{d}\lambda =\frac{1}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^2}\text{d}A\left(z\right)$ 。设$1<p\le +\infty$ ，若$f\in H\left(D\right)$ 且$\left(1-{\left|z\right|}^2\right)f^{\prime }\left(z\right)\in L^p\left(D,d\lambda \right)$ 。即

${\Vert f\Vert }_{B_p}={\left({\displaystyle {\int }_D{\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|}^p}{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{p-2}\text{d}A\left(z\right)\right)}^{1/p}<+\infty ,$ (1)

则称f属于解析Besov空间，记作$B_p$ 。极限情形$B_{\infty }$ 也称为Bloch空间，其定义为所有函数$f\in H\left(D\right)$ 且

$\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|<\infty .$

$B_p$ 在范数${\Vert f\Vert }_{B_p}=\left|f\left(0\right)\right|+{\Vert f\Vert }_{B_p}$ 下成为Banach空间且具有Mobious不变性。关于Besov和Bloch空间的更多解析性质见文献[1]-[4]。

Zhu K.在文章[2]中刻画了解析Besov空间中函数的泰勒系数的增长性，得到了以下估计。

定理1 [2]：假设$f\left(z\right)={\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n}{z}^n$ 在D中解析，则有

1) 对$\forall 1\le p\le +\infty$ ，$\exists$ 一个常数$C_p>0$ ，使得

$\left|a_n\right|\le C_p{\Vert f\Vert }_{B_p}{n}^{-1/p},n=1,2,\cdots .$ (2)

2) $\exists$ 一个常数$C>0$ ，使得

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n}\le C{\Vert f\Vert }_{B_1}.$ (3)

设$z,w\in D$ ，考虑Mobious变换

${\varphi }_z\left(w\right)=\frac{z-w}{1-\overline{z}w}.$

这个变换将单位圆D映到自身。单位圆D内的Bergman度量定义为

$\beta \left(z,w\right)=\frac{1}{2}\log \frac{1+\left|{\varphi }_z\left(w\right)\right|}{1-\left|{\varphi }_z\left(w\right)\right|},z,w\in D.$

Zhu K在文章[2]证明了解析Besov空间中函数关于Bergman度量是Lipschitz连续的。

定理2 [2]：若$f\in B_p$ ，$z,w\in D$ ，则对$\forall 1\le p\le +\infty$ ，$\exists$ 一个常数$C_p>0$ 使得

$\left|f\left(z\right)-f\left(w\right)\right|\le C_p{\Vert f\Vert }_{B_p}\beta {\left(z,w\right)}^{1/q},$ (4)

其中$\beta$ 是D中的Bergman度量，且$1/p+1/q=1$ 。

设h是D上的一个复值函数，如果h满足下列方程

$\Delta h=4h_{z\overline{z}}=0,$

其中$h_{z\overline{z}}$ 为h的复二阶偏导数，那么我们称h为调和映射。D上的调和映射h可以表示为$f+\overline{g}$ 的形式，其中f和g是解析函数，若固定$z_0\in D$ ，使得$g\left(z_0\right)=0$ ，则该表示形式是唯一的。关于调和映射的更多性质见[5]。

设$1<p<\infty$ ，则称单位圆D上一个调和映射h属于调和Besov空间$B_H^p$ ，若

${\Vert f\Vert }_{B_H^p}={\left({{\displaystyle {\int }_D\left(\left|h_z\left(z\right)\right|+\left|h_{\overline{z}}\left(z\right)\right|\right)}}^p{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{p-2}\text{d}A\left(z\right)\right)}^{1/p}<+\infty .$(5)

调和映射是解析函数的自然推广，最近有很多研究工作者把解析Besov函数空间理论推广到了调和Besov函数空间，见[6]-[10]。

本文的主要目的是将定理1和定理2推广至调和映射情形。我们首先给出调和Besov空间中函数的泰勒系数的增长性刻画。

定理3：设h在D中调和，$h=f+\overline{g}$ ，$f\left(z\right)={\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n}{z}^n$ ，$g\left(z\right)={\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{b}_n}{z}^n$ ，对任意$1<p<+\infty$ ，$\exists$ 一个常数$C_p>0$ 使得

$\left|a_n+b_n\right|\le C_p{\Vert h\Vert }_{B_H^P}{n}^{-1/p},n=1,2,\cdots .$ (6)

我们也证明了调和Besov空间的函数关于Bergman度量是Lipschitz连续的。定理4：设$h\in B_H^p$ ，$z,w\in D$ ，对任意的$1<p<+\infty$ ，存在一个常数$C_p>0$ 使得

$\left|h\left(z\right)-h\left(w\right)\right|\le C_p{\Vert h\Vert }_{B_H^p}\beta {\left(z,w\right)}^{1/q},$ (7)

其中$\beta$ 是D中的Bergman度量，且$1/p+1/q=1$ 。

2. 定理的证明

本节我们将证明定理3和定理4，现在开始定理3的证明。

定理3的证明：已知$h=f+\overline{g}\in H\left(D\right)+\overline{H\left(D\right)}$ $f\left(z\right)={\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n}{z}^n，$ $g\left(z\right)={\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{b}_n}{z}^n$ ，由于Bloch空间$B_{\infty }$ 包含了所有的Besov空间。我们不妨假设$f,g\in B_{\infty }$ ，在这种情况下，我们有

$a_n=\left(n+1\right){\displaystyle {\int }_D\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}{f}^{\prime }\left(z\right){\overline{z}}^{n-1}\text{d}A\left(z\right),n=1,2,\cdots ;$(8)

$b_n=\left(n+1\right){\displaystyle {\int }_D\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}{g}^{\prime }\left(z\right){\overline{z}}^{n-1}\text{d}A\left(z\right),n=1,2,\cdots .$(9)

上面两式相加取绝对值并由Holder不等式，可得

$\begin{array}{c}\left|a_n+b_n\right|\le \left(n+1\right){\displaystyle {\int }_D\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}\left(\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|+\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|\right){\left|z\right|}^{n-1}\text{d}A\left(z\right)\\ \le \left(n+1\right){\displaystyle {\int }_D\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}\left(\left|h_z\left(z\right)\right|+\left|h_{\overline{z}}\left(z\right)\right|\right){\left|z\right|}^{n-1}\text{d}A\left(z\right)\\ \le \left(n+1\right){\displaystyle {\int }_D\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}\left(\left|h_z\left(z\right)\right|+\left|h_{\overline{z}}\left(z\right)\right|\right){\left|z\right|}^{n-1}{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^2\text{d}\lambda \left(z\right)\\ \le \left(n+1\right){\Vert h\Vert }_{B_H^p}{\left[{\displaystyle {\int }_D{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{2q}}{\left|z\right|}^{(n-1)q}\text{d}\lambda \left(z\right)\right]}^{1/q},\end{array}$(10)

这里$1<p<+\infty$ ，$1/p+1/q=1$ 。利用极坐标和$\tau$ 函数，经计算可得

${\displaystyle {\int }_D{\left(1-\left|z\right|\right)}^{2q}}{\left|z\right|}^{(n-1)q}\text{d}\lambda \left(z\right)=\frac{2\tau \left(\left(n-1\right)q+2\right)\tau \left(2q-1\right)}{\tau \left(\left(n+1\right)q+1\right)},$ (11)

由Stirling公式，我们有

$\frac{\tau \left(\left(n-1\right)q+2\right)}{\tau \left(\left(n+1\right)q+1\right)}~\frac{1}{n^{2q-1}}\left(n\to +\infty \right).$ (12)

因此我们能找到一个常数$C>0$ 使得

$\left|a_n+b_n\right|\le C{\Vert h\Vert }_{B_H^p}\left(n+1\right){\left(\frac{1}{n^{2q-1}}\right)}^{1/q},n=1,2,\cdots .$ (13)

由于$1/p+1/q=1$ ，我们有$2-1/q=1+1/p$ 。对$\forall 1<p<+\infty$ ，$\exists$ 常数$C_p>0$ 使得

$\left|a_n+b_n\right|\le C_p{\Vert h\Vert }_{B_H^p}{n}^{-1/p},n=1,2,\cdots .$ (14)

定理得证。

通过利用调和Besov函数性质我们得到了调和Besov空间中函数的泰勒系数增长性的刻画。下面我们开始定理4的证明。

定理4的证明：设$h=f+\overline{g}\in H\left(D\right)+\overline{H\left(D\right)}$ ，则有$f,g\in B_{\infty }$ ，且对$z,w\in D$ ，有下列积分表示，见[4]。

$f\left(z\right)-f\left(0\right)={\displaystyle {\int }_D\frac{\left(1-{\left|w\right|}^2\right)f^{\prime }\left(w\right)}{\overline{w}{\left(1-z\overline{w}\right)}^2}\text{d}A\left(w\right)};$(15)

$\overline{g\left(z\right)}-\overline{g\left(0\right)}={\displaystyle {\int }_D\overline{\left(\frac{\left(1-{\left|w\right|}^2\right)g^{\prime }\left(w\right)}{\overline{w}{\left(1-z\overline{w}\right)}^2}\right)}}\text{d}A\left(w\right).$(16)

将两式相加可得

$h\left(z\right)-h\left(0\right)={\displaystyle {\int }_D\frac{\left(1-{\left|w\right|}^2\right)f^{\prime }\left(w\right)}{\overline{w}{\left(1-z\overline{w}\right)}^2}}+\overline{\left(\frac{\left(1-{\left|w\right|}^2\right)g^{\prime }\left(w\right)}{\overline{w}{\left(1-z\overline{w}\right)}^2}\right)}\text{d}A\left(w\right).$(17)

由文章[11]中的引理15，则$\exists$ 常数$C_7>0$ ，使得

$\begin{array}{c}\left|h\left(z\right)-h\left(0\right)\right|\le \underset{D}{{\displaystyle \int }}\frac{\left(1-{\left|w\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(w\right)\right|}{\left|w\right|{\left|1-z\overline{w}\right|}^2}+\frac{\left(1-{\left|w\right|}^2\right)\left|g^{\prime }\left(w\right)\right|}{\left|w\right||1-z\overline{w}{|}^2}\text{d}A\left(w\right)\\ \le C_7\underset{D}{{\displaystyle \int }}\frac{\left(1-{\left|w\right|}^2\right)\left(\left|f^{\prime }\left(w\right)|+|g^{\prime }\left(w\right)\right|\right)}{{\left|1-z\overline{w}\right|}^2}\text{d}A\left(w\right).\end{array}$(18)

对$\forall 1<p<+\infty$ ，$1/p+1/q=1$ ，由Holder不等式，可得

$\left|h\left(z\right)-h\left(0\right)\right|\le C_7{\Vert h\Vert }_{B_H^p}{\left[{\displaystyle {\int }_D\frac{{\left(1-{\left|w\right|}^2\right)}^{2q-2}}{{\left|1-z\overline{w}\right|}^{2q}}\text{d}\lambda \left(w\right)}\right]}^{1/q}.$(19)

由文章[9]中的定理1.4.10，我们可以得到

${\displaystyle {\int }_D\frac{{\left(1-{\left|w\right|}^2\right)}^{2q-2}}{{\left|1-z\overline{w}\right|}^{2q}}\text{d}\lambda \left(w\right)}~\frac{1}{2}\log \frac{1+\left|z\right|}{1-\left|z\right|}=\beta \left(0,z\right),\left(\left|z\right|\to 1^{-}\right).$(20)

因此存在常数$\delta \in \left(0,1\right)$ ，以及常数$C_8>0$ ，使得对所有的$\delta <\left|z\right|<1$ ，有

$\left|h\left(z\right)-h\left(0\right)\right|\le C_8{\Vert h\Vert }_{B_H^p}\beta {\left(0,z\right)}^{1/q}.$ (21)

当$\left|z\right|\le \delta$ 时，设$f\left(z\right)={\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n}{z}^n，$ $g\left(z\right)={\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{b}_n}{z}^n$ 。由定理2可知$\exists$ 常数$C_9>0$ ，使得

$\begin{array}{c}\left|h\left(z\right)-h\left(0\right)\right|\le \left|f\left(z\right)-f\left(0\right)\right|+\left|\overline{g\left(z\right)}-\overline{g\left(0\right)}\right|\\ \le {\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }\left|a_n\right|{\left|z\right|}^n}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }\left|b_n\right|{\left|z\right|}^n}\\ \le C_9{\Vert f\Vert }_{B_p}{\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\left|z\right|}^n{n}^{-1/p}}+C_9{\Vert g\Vert }_{B_p}{\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\left|z\right|}^n{n}^{-1/p}}\\ =C_9\left({\Vert f\Vert }_{B_p}+{\Vert g\Vert }_{B_p}\right){\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\left|z\right|}^n{n}^{-1/p}}.\end{array}$(22)

由文章[6]中的定理3.27可知

$\frac{1}{2}\left({\Vert f\Vert }_{B_p}+{\Vert g\Vert }_{B_p}\right)\le {\Vert f+\overline{g}\Vert }_{B_H^p}={\Vert h\Vert }_{B_H^p},$(23)

从而

$\begin{array}{c}\left|h\left(z\right)-h\left(0\right)\right|\le C_9\left({\Vert f\Vert }_{B_p}+{\Vert g\Vert }_{B_p}\right){\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\left|z\right|}^n{n}^{-1/p}}\le 2C_9{\Vert h\Vert }_{B_H^p}{\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\left|z\right|}^n{n}^{-1/p}}\\ \le 2C_9{\Vert h\Vert }_{B_H^p}\frac{\left|z\right|}{1-\left|z\right|}\le \frac{2C_9}{1-\delta }{\Vert h\Vert }_{B_H^p}\left|z\right|\\ \le \frac{2C_9}{1-\delta }{\Vert h\Vert }_{B_H^p}{\left|z\right|}^{1/q}\le \frac{2C_9}{1-\delta }{\Vert h\Vert }_{B_H^p}\beta {\left(0,z\right)}^{1/q}.\end{array}$ (24)

结合(21)和(24)，我们完成了定理的证明。通过上述证明，我们得出调和Besov空间中的函数在Bergman度量下是Lipschitz连续的。

3. 结语

通过定理3和定理4的证明，一个有趣的问题出现了。Lipschitz连续性和泰勒系数增长性的研究能否推动调和Besov空间理论的进一步深化。或者通过这些性质在更一般的空间或更复杂的几何结构中是否可以揭示新的数学结构和性质。