一类带Hardy项和Sobolev临界指数的椭圆型方程正解的存在性

The Existence of a Positive Solution for an Elliptical Equation with Hardy Terms and Sobolev Critical Exponents

摘要: 本文研究了一类带Hardy项和Sobolev临界指数的椭圆型方程。通过变分法，我们得到了方程的能量泛函在零点附近存在局部极小值点，且该极小值点为方程的正解。此外，当方程的扰动项趋于零时，该正解也趋于零。

Abstract: The elliptical equation with Hardy terms and Sobolev critical exponents is studied. By the variational methods, we have obtained that there exists a local minimum point of the energy functional related to the equation which is near zero, and the local minimum point is a positive solution of this equation. Moreover, this positive solution tends to zero when the perturbed term goes to zero.

1. 引言

我们考虑下列带Hardy项和Sobolev临界指数的椭圆型方程

$\{\begin{array}{cc}-\Delta u-\mu \frac{u}{{\left|x\right|}^2}=u^{2^{*}-1}+f\left(x\right),& x\in \Omega \\ \begin{array}{l}u>0,\\ u=0,\end{array}& \begin{array}{l}x\in \Omega \\ x\in \partial \Omega \end{array}\end{array}$ (1)

其中$\Omega$ 是$R^N\left(N\ge 3\right)$ 中的光滑有界区域，$2^{*}=\frac{2N}{\mu -2}，0<\mu <\overline{u}=\frac{{\left(n-2\right)}^2}{4},$且$f\left(x\right)$ 满足： $\left(f\right)f\left(x\right)\in H^{-1}\left(\Omega \right)$ 且$f\left(x\right)\ge 0$ 。

近几十年，学者们对带Hardy项的椭圆型方程进行了深入的研究，并得到了丰富的研究成果，参见文献[1]-[5]和其中的参考文献。我们知道方程(1)当$f\left(x\right)\equiv 0$ 时，在有界星形域上是无解的。当方程(1)带有扰动项时，学者们研究得到了一些解的存在性结论。Cheng等[6]运用隐函数定理和单调迭代法，得到当方程(1)中扰动项为$\sigma f\left(x\right)，f\left(x\right)\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$ 时，存在${\sigma }^{*}<+\infty$ ，当$\sigma \in \left(0,{\sigma }^{*}\right]$ 时方程存在一个解；当$\sigma >{\sigma }^{*}$ 时，方程无解。Zhang等[7]研究了在有界域上一类带Hardy位势和临界指数增长的非齐次椭圆方程当有扰动项时两个解的存在性。Wang等[8]用Nehari流形、Ekeland变分原理和山路引理等证明了在${\text{R}}^N$ 上一类带Hardy-Sobolev临界指数增长的薛定谔方程当有扰动项时解和多解的存在性。

受以上文献的启发，本文主要研究方程(1)中扰动项$f\left(x\right)\in H^{-1}\left(\Omega \right)$ 时，正解的存在性。我们主要通过讨论方程(1)的能量泛函在零点附近的局部极小值点的存在性，得到其正解的存在性。

2. 符号说明及主要引理

记$E$ 为$H_0^1\left(\Omega \right)$ 空间，定义其范数为：

${\Vert u\Vert }_E=\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x-\mu \underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}\frac{u^2}{{\left|x\right|}^2}\text{d}x.$

由Hardy不等式知该范数和$H_0^1\left(\Omega \right)$ 空间通常的范数是等价的。记其对偶空间$H^{-1}\left(\Omega \right)$ 为$E^{*}$ 。定义

$S_{\mu }=\underset{u\in E\backslash \left\{0\right\}}{\inf }\frac{{{\displaystyle \int }}_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x-\mu {{\displaystyle \int }}_{\Omega }\frac{u^2}{{\left|x\right|}^2}\text{d}x}{{\left({{\displaystyle \int }}_{\Omega }{\left|u\right|}^2{}^{*}\text{d}x\right)}^{\frac{2}{2^{*}}}}.$

我们对于方程(1)相应的能量泛函表示如下：

$J\left(u\right):H_0^1\left(\Omega \right)\to R,$

$J\left(u\right)=\frac{1}{2}{{\displaystyle \int }}_{\Omega }\left({\left|\nabla u\right|}^2-\mu \frac{u^2}{{\left|x\right|}^2}\right)\text{d}x-\frac{1}{2^{*}}\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}{u}_{+}^{2^{*}}\text{d}x-\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}f\text{}u\text{d}x.$

于是任给$\phi \in E$ ，有：

$J^{\prime }\left(u\right)\phi ={{\displaystyle \int }}_{\Omega }\left(\nabla u\cdot \nabla \phi -\mu \frac{u\phi }{{\left|x\right|}^2}\right)\text{d}x-\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}{u}_{+}^{2^{*}-1}\phi \text{d}x-\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}f\phi \text{d}x$ (2)

$J^{″}\left(u\right)\left(\phi ,\phi \right)={{\displaystyle \int }}_{\Omega }\left({\left|\nabla \phi \right|}^2-\mu \frac{{\phi }^2}{{\left|x\right|}^2}\right)\text{d}x-\left(2^{*}-1\right)\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}{u}_{+}^{2^{*-}2}{\phi }^2\text{d}x$ (3)

引理1 如果$f\left(x\right)$ 为非负函数，$u\in E$ 是$J\left(u\right)$ 的一个临界点，那么$u$ 是方程的一个非负解。此外，如果$u\left(x\right)\cancel{\equiv }0$ 或者$f\left(x\right)\cancel{\equiv }0$ ，那么$u$ 是方程(1)的一个正解。

证明：假设$u\in E$ 满足$J^{\prime }\left(u\right)=0$ ，任给$\phi \in E$ ，由(2)可得：

${\langle u,\phi \rangle }_E-\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}{u}_{+}^{2^{*}-1}\phi \text{d}x-\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}f\phi \text{d}x=0$

于是，$u$ 是

$-\Delta u-\mu \frac{u}{{\left|x\right|}^2}=u_{+}^{2^{*}-1}+f\left(x\right),x\in \Omega$

的一个弱解。由于$f\left(x\right)\ge 0$ ，可得

${{\displaystyle \int }}_{\Omega }\left({\left|\nabla u_{-}\right|}^2-\mu \frac{u_{-}^2}{{\left|x\right|}^2}\right)\text{d}x=\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}f\text{}{u}_{-}\text{d}x\le 0$

从而$u_{-}=0,a.e.\Omega .$ 即$u\ge 0$ 。如果$u\left(x\right)\cancel{\equiv }0$ 或者$f\left(x\right)\cancel{\equiv }0$ ，由强极值原理可得$u$ 在$\Omega$ 中是正的。

引理2 假设$f\left(x\right)\in E^{*}$ ，那么存在$r>0$ 和$d>0$ 使得：

1) $J\left(u\right)$ 在$B\left(r\right)=\left\{u\in E;{\Vert u\Vert }_E<r\right\}$ 是严格凸的；

${\Vert f\left(x\right)\Vert }_{E^{*}}\le d,$

2) 如果，那么$\underset{{\Vert u\Vert }_E=r}{\inf }J\left(u\right)>0$ 。此外，$J\left(u\right)$ 在$B\left(r\right)$ 中有唯一临界点$u_{loc}\left(x\right)$ ，且满足$u_{loc}\left(x\right)\in B\left(r\right)；J\left(u_{loc}\right)=\underset{u\in \int B\left(r\right)}{\inf }J\left(u\right)$ 。

证明：1) 由(3)和$S_{\mu }$ 的定义可得：$\forall \phi \in E$ ，有

$\begin{array}{c}{J}^{″}\left(u\right)\left(\phi ,\phi \right)={\Vert \phi \Vert }_E{}^2-\left(2^{*}-1\right)\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}{u}_{+}^{2^{*-}2}\cdot {\phi }^2\text{d}x\\ \ge {\Vert \phi \Vert }_E{}^2-\left(2^{*}-1\right){\left(\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}{\left|u\right|}^{2^{*}}\text{d}x\right)}^{\frac{2^{*}-2}{2^{*}}}{\left(\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}{\left|\phi \right|}^{2^{*}}\text{d}x\right)}^{\frac{2}{2^{*}}}\\ \ge {\Vert \phi \Vert }_E{}^2-\left(2^{*}-1\right)\cdot S_{\mu }^{-\frac{2^{*}}{2}}\cdot {\Vert u\Vert }_E^{2^{*}-2}\cdot {\Vert \phi \Vert }_E{}^2\\ =\left(1-\left(2^{*}-1\right)\cdot S_{\mu }^{-\frac{2^{*}}{2}}\cdot {\Vert u\Vert }_E^{2^{*}-2}\right)\cdot {\Vert \phi \Vert }_E{}^2\end{array}$

取$r<{\left[\left(2^{*}-1\right)\cdot S_{\mu }^{-\frac{2^{*}}{2}}\right]}^{-\frac{1}{2^{*}-2}}$ ，则$J^{″}\left(u\right)$ 在$B\left(r\right)$ 中是正定的，$J\left(u\right)$ 在$B\left(r\right)$ 中是严格凸的。

2) 对于${\Vert u\Vert }_E=r$ ，我们有：

$\begin{array}{c}J\left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }_E{}^2-\frac{1}{2^{*}}\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}{u}_{+}^{2^{*}}\text{d}x-\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}f\text{}u\text{d}x\\ \ge \frac{1}{2}{r}^2-\frac{1}{2^{*}}\cdot S_{\mu }^{-\frac{2^{*}}{2}}\cdot r_{}^{2^{*}}-r{\Vert f\Vert }_{E^{*}}\\ \ge \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{*}\left(2^{*}-1\right)}\right)r^2-r{\Vert f\Vert }_{E^{*}}\end{array}$

于是存在$d>0$ ，使得当${\Vert f\Vert }_{E^{*}}\le d$ 时，有，因为$\underset{{\Vert u\Vert }_E=r}{\inf }J\left(u\right)>0$ 。$J\left(u\right)$ 在$B\left(r\right)$ 中是严格凸的，又因为$\underset{{\Vert u\Vert }_E=r}{\inf }J\left(u\right)>J\left(0\right)=0$ ，所以$\underset{{\Vert u\Vert }_E=r}{\inf }J\left(u\right)$ 不可能在$\partial B\left(r\right)$ 上达到。因此，$J\left(u\right)$ 在$B\left(r\right)$ 中存在唯一临界点$u_{loc}\left(x\right)$ 且满足$J\left(u_{loc}\right)=\underset{{\Vert u\Vert }_E<r}{\inf }J\left(u\right)$

引理3 当时${\Vert f\Vert }_{E^{*}}\to 0$ ，${\Vert u_{loc}\left(x\right)\Vert }_E\to 0$ 。

证明：因为$u_{loc}\left(x\right)$ 是$J\left(u\right)$ 的临界点，所以$\forall \phi \in E$ ，有$J^{\prime }\left(u_{loc}\right)\phi =0$ ，

即：${\langle u_{loc},\phi \rangle }_E-\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}{\mu }_{loc}^{2^{*}-1}\phi \text{d}x-\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}f\phi \text{d}x=0.$

取$\phi =u_{loc}$ ，则有

${\Vert u_{loc}\Vert }_E{}^2-\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}{\mu }_{loc}^{2^{*}}\text{d}x-\underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}f\text{}\text{}{u}_{loc}\text{d}x=0.$

于是

$J\left(u_{loc}\right)=\frac{1}{N}{\Vert u_{loc}\Vert }_E{}^2-\frac{N+2}{2N}\cdot \underset{\Omega }{{\displaystyle \int }}f\text{}{u}_{loc}\text{d}x.$

因为$J\left(u_{loc}\right)\le 0$ ，所以

${\Vert u_{loc}\Vert }_E^2\le \frac{N+2}{2}\cdot {\Vert f\left(x\right)\Vert }_{E^{*}}\cdot {\Vert u_{loc}\Vert }_E$

从而

${\Vert u_{loc}\Vert }_E\le \frac{N+2}{2}{\Vert f\left(x\right)\Vert }_{E^{*}}$

因此，当${\Vert f\left(x\right)\Vert }_{E^{*}}\to 0$ 时，${\Vert u_{loc}\Vert }_E\to 0$ 。

3. 主要定理及其证明

定理1：假设$f\left(x\right)$ 满足$\left(f\right)$ ，那么对充分小的${\Vert f\left(x\right)\Vert }_{E^{*}}$ ，方程(1)存在一个正解$u_{loc}\left(x\right)$ 。

此外，当${\Vert f\left(x\right)\Vert }_{E^{*}}\to 0$ 时，${\Vert u_{loc}\Vert }_E\to 0$ 。

证明：由引理1、引理2和引理3可得证。

NOTES

^*通讯作者。