微元法在多元积分学中的灵活应用

The Flexible Application of the Differential Element Method in Multivariate Integration Studies

摘要: 微元法是分析解决物理问题的常用方法，是一种从部分到整体的思维方法，通过将问题分解为众多微小的“元过程”，运用熟悉的物理规律解决问题，从而使问题简单化。微元法中“元”的寻找是解决问题的关键，对一些特殊的积分区域，如圆柱面，圆柱体，球体，本文打破常规的微元分割，找到灵活的“微元(——弧棒，柱壳，球壳)”，实现积分运算的简化。

Abstract: The differential element method is a commonly used method for analyzing and solving physical problems. It is a way of thinking that moves from part to whole by breaking down problems into numerous small “element processes” and applying familiar physical laws to solve them, simplifying the problem. The search for “elements” in the differential element method is the key to solving problems. For some special integration regions, such as cylindrical surfaces, cylinders, and spheres, this article breaks away from conventional finite element segmentation and finds flexible “differential elements” (arc rods, cylindrical shells, spherical shells) to simplify integration operations.

1. 引言

运动和变化是绝对的，也是无处不在的，微积分就是解决运动和变化的物理过程，微元法是用微积分解决实际问题的主要方法，它的主要思路是：将一个复杂问题分解为若干个微小部分，将一个连续的变化过程分割成无数非常小的离散的部分，以常代变，每个微小的局部遵循相同的物理规律，然后通过积分将这些微小的部分累积起来，得到整体的结果[1]。

微元法的应用非常广泛，例如在几何学中计算不规则区域的面积，不规则立体的体积，在物理学中可以解决变力做功，水压力，不均匀物体的质量，通过曲面指定侧的通量[2]等。

对于微元法的研究，大部分老师停留在方法剖析及思政元素挖掘：李灵晓，黄元元，王锋叶[3]，李继猛[4]，薛长峰[5]，总结了微元法解决问题的步骤；梁东颖，晁绵涛[6]，通过对所求量求导的方法寻找微元；路璐等[7]讨论了定积分应用的思政教学设计。对于寻找非常规形式的新的“微元”，到目前为止，研究得不多。

下面章节中，本文将给出一些新的微元，实现积分运算的灵活性及简化。

2. 主要结果

微元法中元的选择是关键，既要保证能便利的求出物理量，又希望能尽可能的运算简便，下面讨论几种特殊区域特殊分割下的特殊微元的取法。

命题一 设曲面Σ是母线平行于z轴的柱面$x=\phi \left(y\right)$ ，介于$z=0$ 与$z=g\left(x,y\right)\ge 0$ 之间的部分，则${\displaystyle \underset{\sum }{\iint }f\left(x,y\right)\text{d}S}={\displaystyle {\int }_{l}f\left(x,y\right)g\left(x,y\right)\text{d}s}$ 。其中$f\left(x,y\right),g\left(x,y\right)$ 连续，$x=\phi \left(y\right)$ 有连续导数，l是Σ在xOy面的投影曲线。

分析 从物理意义理解，${\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }f\left(x,y\right)\text{d}S}$ 表示以$f\left(x,y\right)$ 为密度的曲面片Σ的质量，整个柱面可看成垂直于xOy面的一个个细棒的累加，即Σ在xOy的投影曲线l分解成一个个小弧段$\text{d}s$ ，整个曲面的质量看作底是$\text{d}s$ 高为$g\left(x,y\right)$ ，密度为$f\left(x,y\right)$ 的不均匀细棒质量的叠加。

证明 设曲面Σ在yOz面的投影区域$D_{yz}=\left\{\left(y,z\right)|a\le y\le b,0\le z\le g\left(\phi \left(y\right),y\right)\right\}$ ，则

左端：$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }f\left(x,y\right)\text{d}S}={\displaystyle \underset{D_{yz}}{\iint }f\left(\phi \left(y\right),y\right)}\sqrt{1+{{\phi }^{\prime }}^2\left(y\right)}\text{d}y\text{d}z\\ ={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(\phi \left(y\right),y\right)}\sqrt{1+{{\phi }^{\prime }}^2\left(y\right)}\text{d}y{\displaystyle {\int }_0^{g\left(\phi \left(y\right),y\right)}\text{d}z}\\ ={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(\phi \left(y\right),y\right)}\sqrt{1+{{\phi }^{\prime }}^2\left(y\right)}g\left(\phi \left(y\right),y\right)\text{d}y\end{array}$

右端：${\displaystyle {\int }_{l}f\left(x,y\right)g\left(x,y\right)\text{d}s}={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(\phi \left(y\right),y\right)g\left(\phi \left(y\right),y\right)}\sqrt{1+{{\phi }^{\prime }}^2\left(y\right)}\text{d}y$

因此，${\displaystyle \underset{\sum }{\iint }f\left(x,y\right)\text{d}S}={\displaystyle {\int }_{l}f\left(x,y\right)g\left(x,y\right)\text{d}s}$ 。

同理，若曲面Σ是柱面$y=\psi \left(x\right)$ ，介于$z=0$ 与$z=g\left(x,y\right)$ 之间的部分，则${\displaystyle \underset{\sum }{\iint }f\left(x,y\right)\text{d}S}={\displaystyle {\int }_{l}f\left(x,y\right)g\left(x,y\right)\text{d}s}$ 。其中$f\left(x,y\right),g\left(x,y\right)$ 连续，$y=\psi \left(x\right)$ 有连续导数，l是Σ在xOy面的投影曲线。

总结：计算曲面积分${\displaystyle \underset{\sum }{\iint }f\left(x,y\right)\text{d}S}$ 时，若积分曲面是母线平行于z轴的柱面，直接计算时，有时需要将曲面分前后或左右两片，向xOz或yOz坐标面投影，较复杂，如果按命题一转化成Σ在xOy面的投影曲线上的曲线积分，会使计算简便。

例1 计算${\displaystyle \underset{\sum }{\iint }x}\text{d}S$ ，其中Σ是圆柱面$x^2+y^2=1$ 介于平面$z=0$ 及$z=x+2$ 之间的部分。

解 【常规解法】将Σ分成Σ₁和Σ₂前后两片。

${\Sigma }_1:y=\sqrt{1-x^2}$ ，${\Sigma }_2:y=-\sqrt{1-x^2}$ ，其在xOz面的投影区域为$D_{xz}=\left\{\left(x,z\right)|-1\le x\le 1,0\le z\le x+2\right\}$ ，于是

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }x}\text{d}S={\displaystyle \underset{{\Sigma }_1}{\iint }x}\text{d}S+{\displaystyle \underset{{\Sigma }_2}{\iint }x}\text{d}S\\ ={\displaystyle \underset{D_{xz}}{\iint }x}\sqrt{1+y_x^2}\text{d}x\text{d}z+{\displaystyle \underset{D_{xz}}{\iint }x}\sqrt{1+y_x^2}\text{d}x\text{d}z\\ =2{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}x\text{d}x}{\displaystyle {\int }_0^{x+2}\sqrt{1+{\left(\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\right)}^2}}\text{d}z\\ =2{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x\left(x+2\right)}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}\end{array}$

利用奇偶对称性化简，

上式$=4{\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}$ ，令$x=\sin t$ ，

上式$=4{\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}=4{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2}t}{\cos t}\cos t\text{d}t}=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\pi$ 。

【按命题一】Σ在xOy面的投影$l:x^2+y^2=1$ ，于是有${\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }x}\text{d}S={\displaystyle {\int }_{l}x\left(x+2\right)\text{d}s}$ ，

积分弧段l关于y轴对称，所以${\displaystyle {\int }_{l}2x}\text{d}s=0$ ，变量x，y地位对称，由轮换对称性${\displaystyle {\int }_l{x}^2}\text{d}s=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_l\left(x^2+y^2\right)\text{d}s}=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_l\text{d}s}=\pi$ 。

以上两种运算看出，用命题一的方法运算较简便。

命题二 设Ω是圆柱体$x^2+y^2\le R^2$ 介于$z=0$ 与$z=g\left(x,y\right)$ 之间的部分，则${\displaystyle \underset{\Omega }{\iiint }f\left(x,y\right)\text{d}v}={\displaystyle {\int }_0^R\text{d}r}{\displaystyle {\oint }_{l}f\left(x,y\right)g\left(x,y\right)\text{d}s}$ ，其中$f\left(x,y\right),g\left(x,y\right)$ 连续，l是xOy面上的圆周：$x^2+y^2=r^2$ 。

证明 三重积分${\displaystyle \underset{\Omega }{\iiint }f\left(x,y\right)\text{d}v}$ 表示以被积函数$f\left(x,y\right)$ 为密度的不均匀立体Ω的质量，采用“柱壳法”，在半径为r处，取厚度为dr的薄圆柱面Σ，整个立体质量可看作一个个薄圆柱面质量的叠加，即${\displaystyle \underset{\Omega }{\iiint }f\left(x,y\right)\text{d}v}={\displaystyle {\int }_0^R\text{d}r}{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }f\left(x,y\right)\text{d}S}$ ，再结合命题一，知结论成立。

例2 计算${\displaystyle \underset{\Omega }{\iiint }\left(x^2+y^2\right)\text{d}v}$ ，其中Ω是圆柱体$x^2+y^2\le R^2$ 介于$z=0$ 与$z=1+x^2+y^2$ 之间的部分。

分析 本题可采用三重积分在柱坐标下的计算[8]，下面用命题二的方法求解。

解 记xOy面上的圆周$l:x^2+y^2=r^2$ ，有

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{\Omega }{\iiint }\left(x^2+y^2\right)\text{d}v}={\displaystyle {\int }_0^R\text{d}r}{\displaystyle {\oint }_l\left(x^2+y^2\right)\cdot \left(1+x^2+y^2\right)\text{d}s}\\ ={\displaystyle {\int }_0^R\text{d}r}{\displaystyle {\oint }_l{r}^2\cdot \left(1+r^2\right)\text{d}s}\\ ={\displaystyle {\int }_0^R{r}^2\cdot \left(1+r^2\right)\cdot 2\pi r\text{d}r}\\ =\left(\frac{R^4}{2}+\frac{R^6}{3}\right)\pi .\end{array}$

说明：本题若用柱坐标，是不能将三重积分的被积函数x² + y²用R²来代替的，这也是本题的一个易错点，但是按命题二转化后，等号右边的曲线积分是可以将曲线方程代入被积函数的。

命题三 设Ω是球体$x^2+y^2+z^2\le R^2$ ，则${\displaystyle \underset{\Omega }{\iiint }f\left(x,y,z\right)\text{d}v}={\displaystyle {\int }_0^R\text{d}r}{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }f\left(x,y,z\right)\text{d}S}$ ，其中$f\left(x,y,z\right)$ 在Ω上连续，$\Sigma :x^2+y^2+z^2=r^2$ 。

证明 三重积分${\displaystyle \underset{\Omega }{\iiint }f\left(x,y,z\right)\text{d}v}$ 表示密度为$f\left(x,y,z\right)$ 的不均匀立体Ω的质量，用“球壳法”，在半径为r处取球面元$\Sigma :x^2+y^2+z^2=r^2$ ，该不均匀球面的质量为${\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }f\left(x,y,z\right)\text{d}S}$ ，整个不均匀球体可看作一个个不均匀球壳(“元”)的叠加，于是

${\displaystyle \underset{\Omega }{\iiint }f\left(x,y,z\right)\text{d}v}={\displaystyle {\int }_0^R\text{d}r}{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }f\left(x,y,z\right)\text{d}S}$ 。

例3 计算${\displaystyle \underset{\Omega }{\iiint }\left(x^2+y^2+z^2\right)\text{d}v}$ ，其中Ω是球体$x^2+y^2+z^2\le R^2$ 。

分析 本题是易错题，有些同学常把重积分与线面积分弄混淆，线面积分的被积函数定义在线上或面上，可以将线或面的方程代入被积函数，重积分的被积函数定义在区域内，没办法代入，但若按命题三，将三重积分转化成先曲面积分再定积分，其中的曲面积分是可以将曲面方程代入的。

解 在半径为r处取球面元$\Sigma :x^2+y^2+z^2=r^2$ ，原式转化为

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{\Omega }{\iiint }\left(x^2+y^2+z^2\right)\text{d}v}={\displaystyle {\int }_0^R\text{d}r}{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }\left(x^2+y^2+z^2\right)\text{d}S}\\ ={\displaystyle {\int }_0^R\text{d}r}{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }{r}^2}\text{d}S={\displaystyle {\int }_0^R{r}^2\cdot \pi r^2\text{d}}r=\frac{\pi R^5}{5}.\end{array}$

说明：本题的特点是被积函数含$x^2+y^2+z^2$ ，积分区域是球体，可选择在球坐标下计算[9]。

3. 结束语

在高等数学教材中，用微元法解决问题时，常选用的分割：将大曲边梯形分割为一个个小曲边梯形；对平面薄片，直角坐标下用平行于坐标轴的直线分割为一个个小矩形，极坐标下分割为一个个小环扇形；将空间立体在直角坐标，柱坐标，球坐标下分割成一个个小的长方体，扇环柱体，扇环球体；曲面积分按“一投影，二代入，三定号”的方法转化成二重积分，最终，重积分再转化成一个个定积分，这是通用方法，但有时计算量会很大。

本文通过对圆柱形曲面片，圆柱体，球体的“另类”分割方式，实现积分运算的简化，使解题更加灵活高效，通过这样的思考和训练，提升了同学们的发散性思维和创新思维，给同学们种下一颗多元化思考，多角度解决问题的种子，使同学们在遇到其它数学或科学问题时，能够不拘泥于教材，打破常规，别出心裁的解决问题。

NOTES

^*通讯作者。