附件传动点啮合齿轮齿面方程构建及三维建模方法研究

doi:10.12677/mos.2024.136517

期刊菜单

附件传动点啮合齿轮齿面方程构建及三维建模方法研究
Research on the Construction of Tooth Equation and Three-Dimensional Modeling Method for Attachment Drive Point Meshing Gears

DOI: 10.12677/mos.2024.136517, PDF, HTML, XML,
作者: 付征宇, 李寒松：南京航空航天大学机电学院，南京
关键词: 刀具齿面方程；样条函数；砂轮截形；砂轮运动轨迹；Tool Tooth Equation； Spline Function； Wheel Truncation； Wheel Trajectory

摘要: 通过对砂轮磨削原理进行分析，将传动点啮合齿轮齿面的建模分为四大部分：标准直齿轮轮廓定义、砂轮截形定义、砂轮运动轨迹定义以及最后建立点啮合齿面模型。在对砂轮截形和砂轮运动轨迹设计时，采用样条曲线的方法，将设计的标准齿廓按照一定偏移量进行偏移，该偏移符合样条曲线偏移函数。并且，本研究通过自主编写仿真软件，使得直齿轮建模更加快速。通过对传动点啮合齿轮齿面方程的构建及建模方法的研究表明将样条曲线运用于砂轮截形、砂轮运动轨迹的设计，使得砂轮加工的直齿轮满足要求，并且自主仿真软件的应用使得直齿轮三维模型的建立更快速，即可以提高直齿轮加工的效率。

Abstract: By analyzing the principle of grinding wheel, the modeling of transmission point meshing gear tooth surface is divided into four major parts: the definition of standard spur gear profile, the definition of grinding wheel cut-off shape, the definition of grinding wheel movement trajectory, and finally the establishment of point meshing tooth surface model. In the design of the grinding wheel cross-section and grinding wheel trajectory, the method of spline curve is adopted, and the designed standard tooth profile is offset according to a certain amount of offset, which conforms to the offset function of the spline curve. Moreover, this study makes spur gear modeling faster by writing simulation software independently. The study on the construction of gear equations and modeling methods for transmission point meshing gears shows that applying the spline curve to the design of grinding wheel truncation and grinding wheel trajectory makes the spur gears processed by the grinding wheel meet the requirements, and the application of independent simulation software makes the establishment of three-dimensional model of spur gears faster; that is to say, it can improve the efficiency of the processing of spur gears.

文章引用：付征宇, 李寒松. 附件传动点啮合齿轮齿面方程构建及三维建模方法研究[J]. 建模与仿真, 2024, 13(6): 5691-5701. https://doi.org/10.12677/mos.2024.136517

1. 引言

随着现代工业技术的飞速发展，齿轮传动作为一种高效、精确的传动方式，被广泛应用于各种机械设备中。齿轮传动的性能优劣直接影响到整个机械系统的运行效率和稳定性。因此，对齿轮齿面的精确建模和性能分析一直是机械设计和制造领域的研究热点[1]。

附件传动是机械设备中的重要组成部分，其性能的好坏直接关系到设备的运行效果和寿命。在附件传动中，点啮合齿轮的齿面形状和精度对于传动的平稳性和效率具有至关重要的作用。因此，构建点啮合齿轮齿面的精确方程，以及实现其三维建模，对于附件传动的设计和优化具有重要意义[2]。

近年来，随着计算机技术和数值计算方法的不断进步，齿轮齿面方程构建和三维建模方法得到了快速发展。传统的齿轮设计方法主要依赖于经验公式和实验数据，难以满足高精度、高效率的设计要求。而现代数值计算方法，如有限元法、边界元法等，为齿轮齿面的精确建模提供了有力工具[3]。

同时，三维建模技术的发展也为齿轮设计的可视化和实际应用提供了便利。通过三维建模软件，可以直观地展示齿轮齿面的形状和结构，有助于设计人员更好地理解齿轮的工作原理和性能特点。此外，三维建模还可以用于齿轮的虚拟装配和性能仿真，为实际生产提供有力支持。然而，附件传动点啮合齿轮齿面方程构建和三维建模仍然面临一些挑战。如何建立更好的齿轮齿面方程，如何实现齿轮齿面的快速三维建模和性能分析，是当前亟待解决的问题。

针对这些问题，本研究旨在探讨附件传动点啮合齿轮齿面方程的构建方法及三维建模技术。通过深入研究齿轮齿面的几何特征和啮合原理，建立更加精确的齿轮齿面方程。同时，结合现代数值计算方法和三维建模软件，实现齿轮齿面的快速三维建模和性能分析。本研究不仅有助于提升附件传动的设计水平和制造质量，还为相关领域的研究提供有益的参考和借鉴。

2. 理论模型的建立

齿轮作为机械运动的关键部件，其具有较高的精度、良好的啮合轮廓等将拥有更好的机械运动特性。因此，高效、高精度的设计齿轮是非常重要的。目前，针对齿轮加工方法主要分为两类：成形法和展成法[4]。展成法主要包括滚齿、插齿等多种方式，适用于大规模生产，特点是加工效率高、精度较好。成形法则包括铣齿、成形磨齿等方式，适用于单件和小批量生产，特点是加工精度较低。本文主要研究方法是通过成形磨齿的方式，采用砂轮磨削加工直齿轮(如图1)，并在此基础上考虑直齿轮点啮合面的建模。

图1即为砂轮磨削直齿轮的示意图，图中坐标轴原点处于直齿轮中心，z_g与直齿轮的轴线平行且与砂轮磨削方向平行，y_g对应被磨削齿槽的中心位置。在加工时，砂轮磨削方向将始终与齿轮轴线方向平行，而且加工砂轮刀运动轨迹将在x_gy_g平面中。

根据以上磨削原理，可知影响直齿轮齿形的因素包括：一是砂轮的截形形状(如图1)，二是砂轮的运动轨迹。砂轮截形和砂轮运动轨迹对直齿轮的齿形有巨大影响。砂轮截形的修整精度直接影响到齿轮齿形的加工质量，而砂轮运动轨迹则决定了齿轮齿形的磨削量和磨削效果。因此，为了能高效地制作高精度的直齿轮，对砂轮截形的设计和砂轮的运动轨迹的设计至关重要。设计包括四个方面：标准直齿轮轮廓、砂轮截形、砂轮运动轨迹、点啮合齿面模型。

Figure 1. Schematic diagram of grinding wheel for gear grinding

图1. 砂轮磨削齿轮示意图

3. 标准直齿轮轮廓

3.1. 刀具齿面方程建立

普通滚齿刀主要用于加工直齿轮或斜齿轮，其齿形通常为渐开线形状。滚齿刀的齿形设计需要符合齿轮的齿形，以便在滚齿过程中能够精确地切削出齿形。齿形设计涉及到一系列的参数和几何关系，包括齿数、模数、齿宽、齿形、齿顶高等。齿条刀具主要用于加工齿条，齿条是一种直线运动的齿轮，其齿形通常也为渐开线形状。齿条刀具的齿形设计同样涉及到一系列的参数和几何关系，包括齿数、模数、齿宽、齿深、齿顶高等。普通滚齿刀具或齿条刀具齿廓中半个轮廓分为三个部分：AB、BC、CD。AB段为齿顶直线段，描述该段的变量为l₁；BC段为齿顶圆弧，描述其齿面变量为l₂；定义α为压力角，p为齿距，x为径向变位量，ρ为齿顶圆角半径，h_ac为齿根高，h_fc为齿顶高。建立出刀具齿廓齿面方程如下：

1) AB段

① 齿面方程

$r_{c}^{A B} l_{1} = [\begin{matrix} \begin{matrix} l_{1} \\ - h_{f c} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}], l \in [0, a]$ (1)

式中，a为O₁至y_c轴的距离， $a = \frac{p}{4} - \frac{ρ}{\cos α} - (h_{f c} - ρ) \tan α$ 。

② 齿面单位法向量

$n_{c}^{A B} = [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}]$ (2)

2) BC段

① 齿面方程

$r_{c}^{B C} (l_{2}) = [\begin{matrix} \begin{matrix} a + ρ \cos l_{2} \\ - b + ρ \sin l_{2} \\ 0 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}], l_{2} \in [\frac{3}{2} π, 2 π - α]$ (3)

式中，b为O₁至x_c轴距离， $b = h_{f c} - ρ - x$ 。

② 齿面单位法向量

$n_{c}^{B C} (l_{2}) = [\begin{matrix} \cos l_{2} \\ \sin l_{2} \\ 0 \end{matrix}]$ (4)

3) CD段

① 齿面方程

$r_{c}^{C D} (l_{3}) = [\begin{matrix} \begin{matrix} l_{3} \\ (l_{3} - \frac{p}{4}) \tan (\frac{π}{2} - α) + x \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}], l_{3} \in [\frac{p}{4} - (h_{f c} - ρ) \tan α - ρ \sin α \tan α ， \frac{p}{4} + h_{a c} \tan α]$ (5)

② 齿面单位法向量

$n_{c}^{C D} = [\begin{matrix} \sin (\frac{π}{2} - α) \\ - \cos (\frac{π}{2} - α) \\ 0 \end{matrix}]$ (6)

3.2. 啮合方程

如图2所示为齿条刀具与齿轮啮合坐标系，图中坐标系O_g和O_f是相对于坐标系I刚性固结的。当齿轮逆时针运动 $\emptyset$ 弧度时，齿条刀具则在I坐标系向x_c负轴方向运动 $r_{p g} \emptyset$ 的距离。图2中， $r_{p g}$ 为齿轮分度半径。根据啮合原理可推导出齿条刀具与齿轮啮合方程如公式7所示，该式给出齿面方程参数 $l_{i} (i = 1, 2, 3)$ 与齿轮转角 $\emptyset^{j} (j = A B, B C, C D)$ 之间的关系。

$f (l_{i}, \emptyset^{j}) = n_{c x}^{j} r_{c y}^{j} + n_{c y}^{j} (r_{p g} \emptyset^{j} - r_{c x}^{j}), i = 1, 2, 3, j = A B, B C, C D$ (7)

Figure 2. Rack and pinion tool and gear meshing coordinate system

图2. 齿条刀具与齿轮啮合坐标系

3.3. 坐标变换矩阵

通过坐标变换，将刀具齿面方程由坐标系O_f变化至O_g下，其变换矩阵如下：

$r_{g}^{j} (l_{i}, \emptyset^{j}) = M_{g c} (\emptyset^{j}) r^{j} (l_{i}), i = 1, 2, 3, j = A B, B C, C D$ (8)

式中， $M_{g c} (\emptyset^{j}) = [\begin{matrix} \begin{matrix} \cos \emptyset^{j} & \sin \emptyset^{j} \\ - \sin \emptyset^{j} & \cos \emptyset^{j} \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & - r_{p g} (\emptyset^{j} \cos \emptyset^{j} - \sin \emptyset^{j}) \\ 0 & r_{p g} (\emptyset^{j} \sin \emptyset^{j} + \cos \emptyset^{j}) \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \end{matrix}], j = A B, B C, C D$ 。

3.4. 齿轮齿面方程

结合变换至O_g下的刀具齿面方程和啮合方程，可以求解得到齿轮齿面方程。其中，刀具齿顶直线段AB包络出齿轮齿根圆弧AB段，刀具齿顶圆弧BC段包络出齿轮齿根过度曲线BC段，刀具CD包络出齿轮渐开线CD段。齿轮AB、BC、CD段齿面方程如下：

1) AB段

① 齿面方程：

$r_{g}^{A B} (l_{1}) = [\begin{matrix} l_{1} \cos \emptyset^{A B} + (x - h_{f c}) \sin \emptyset^{A B} - r_{p g} (\emptyset^{A B} \cos \emptyset^{A B} - \sin \emptyset^{A B}) \\ - l_{1} \sin \emptyset^{A B} + (x - h_{f c}) \cos \emptyset^{A B} + r_{p g} (\emptyset^{A B} \sin \emptyset^{A B} + \cos \emptyset^{A B}) \\ 0 \end{matrix}]$ (9)

式中， $\emptyset^{A B} = l_{1} / r_{p g}$ 。

② 齿面单位法向量：

$n_{g}^{A B} (l_{1}) = [\begin{matrix} \sin \emptyset^{A B} \\ \cos \emptyset^{A B} \\ 0 \end{matrix}]$ (10)

2) BC段

① 齿面方程：

$r_{g}^{B C} (l_{2}) = [\begin{matrix} (a + ρ \cos l_{2}) \cos \emptyset^{B C} + (- b + ρ \sin l_{2}) \sin \emptyset^{B C} - r_{p g} (\emptyset^{B C} \cos \emptyset^{B C} - \sin \emptyset^{B C}) \\ - (a + ρ \cos l_{2}) \sin \emptyset^{B C} + (- b + ρ \sin l_{2}) \cos \emptyset^{B C} + r_{p g} (\emptyset^{B C} \sin \emptyset^{B C} + \cos \emptyset^{B C}) \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ (11)

式中， $\emptyset^{B C} = \frac{a \sin l_{2} + b \cos l_{2}}{r_{p g} \sin l_{2}}$ 。

② 齿面单位法向量：

$n_{g}^{B C} (l_{2}) = [\begin{matrix} cos (l_{2} - \emptyset^{B C}) \\ sin (l_{2} - \emptyset^{B C}) \\ 0 \end{matrix}]$ (12)

3) CD段

① 齿面方程：

$r_{g}^{C D} (l_{3}) = [\begin{matrix} \begin{matrix} l_{3} \cos \emptyset^{C D} + ((l_{3} - \frac{p}{4}) \tan (\frac{π}{2} - α) + x) \sin \emptyset^{C D} - r_{p g} (\emptyset^{C D} \cos \emptyset^{C D} - \sin \emptyset^{C D}) \\ - l_{3} \sin \emptyset^{C D} + ((l_{3} - \frac{p}{4}) \tan (\frac{π}{2} - α) + x) \cos \emptyset^{C D} + r_{p g} (\emptyset^{C D} \sin \emptyset^{C D} + \cos \emptyset^{C D}) \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}]$ (13)

式中， $\emptyset^{C D} = \frac{((l_{3} - \frac{p}{4}) \tan (\frac{π}{2} - α) + x \tan (\frac{π}{2} - α) + l_{3}}{r_{p g}}$ 。

② 齿面单位法向量：

$n_{g}^{C D} (l_{3}) = [\begin{matrix} - \sin (\frac{π}{2} - α - \emptyset^{C D}) \\ \cos (\frac{π}{2} - α - \emptyset^{C D}) \\ 0 \end{matrix}]$ (14)

综上所述，通过对刀具、刀具与直齿轮齿面啮合及齿轮齿面的设计即可得出该直齿轮的标准齿廓。刀具的设计主要是对刀具的齿廓设计，使其满足设计直齿轮齿面设计的磨削要求，设计满足公式1~6。为了提高刀具加工直齿轮轮廓的精度，需对刀具齿廓与直齿轮齿廓啮合面的设计，设计满足公式7~14。

4. 砂轮截形

砂轮截形是指砂轮在被截断时形成的断面形状[5]。砂轮截形的种类取决于砂轮的类型和截断方式，不同的截形适用于不同的磨削加工需求。本研究通过将标准直齿轮齿廓沿着其法向量的方向偏移一定距离来得到砂轮截形的形状，其中偏移距离的大小由样条曲线的偏移函数来定义。样条曲线是通过插值相应的控制顶点得到，因此为了定义样条曲线偏移函数，需首先定义相应的控制顶点。得到控制顶点后，在此基础上进行插值求得关于偏移量的样条曲线的偏移函数，进一步将原标准齿轮沿着其法向方向偏移，其中偏移距离满足偏移函数，从而得到砂轮截形曲线。

控制点的位置由两个因素决定：齿廓偏移点和偏移量。通过对直齿轮的特点进行分析，得出齿廓偏移点的定义方法：在标准渐开线齿廓上选取七个样本点P₁~P₇，其中P₁~P₄在r_b与r_s之间等距分布，P₄~P₇在r_s与r_a之间等距分布，r_b为基圆半径，r_s为P₄点到齿轮轴线之间的距离，即为齿廓线在P₄点对应的半径值，r_a为齿顶圆半径。此外，本研究对偏移量定义为控制顶点相对于标准齿廓的偏移距离，用∆P来表示。其中Z_g与齿轮轴线重合，y_g为标准齿轮单个齿槽的对称中心，坐标原点O_g为齿轮端面中心点。整个砂轮截形对应的∆P为一个沿齿高方向变化的函数，在此可用贝齐尔函数进行拟合，对于给定齿廓偏移点和偏移量，设为表1所示。

Table 1. Offset of tooth profile sampling points

表1. 齿廓样点的偏移量

	P₁	P₂	P₃	P₄	P₅	P₆	P₇
对应半径rh	Rh₁	Rh₂	Rh₃	Rh₄	Rh₅	Rh₆	Rh₇
对应偏移量∆P	∆P₁	∆P₂	∆P₃	∆P₄	∆P₅	∆P₆	∆P₇

其中 $r_{b} = r_{h 1} < r_{h 2} < \dots < r_{h 6} < r_{h 7} = r_{a}$ 。

贝齐尔曲线方程表示为：

$p (t) = \sum_{j = 0}^{n} b_{j} B_{j}, t \in [0, 1]$ (15)

可写为矩阵形式：

$p (t) = [\begin{matrix} \begin{matrix} B_{0, n} (t) & B_{1, n} (t) \end{matrix} & \begin{matrix} \dots & B_{n, n} (t) \end{matrix} \end{matrix}] [\begin{matrix} \begin{matrix} b_{0} \\ b_{1} \end{matrix} \\ \begin{matrix} ⋮ \\ b_{n} \end{matrix} \end{matrix}], t \in [0, 1]$ (16)

其中，基函数：

$B_{j, n} (t) = C_{j}^{n} t^{j} {(1 - t)}^{n - j}, j = 0, 1, \dots, n$ (17)

称为伯恩斯基函数，b_j为控制顶点。贝齐尔曲线具有整体控制性质，本研究采用三次或四次，现以三次为例。采用四个控制顶点的贝齐尔曲线函数是一段三次多项式，即j = 3，得到此基函数为：

$[\begin{matrix} \begin{matrix} B_{0, 3} (t) & B_{1, 3} (t) \end{matrix} & \begin{matrix} B_{2, 3} (t) & B_{3, 3} (t) \end{matrix} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & t \end{matrix} & \begin{matrix} t^{2} & t^{3} \end{matrix} \end{matrix}]$ (18)

其中， $M_{3} = [\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 0 \\ - 3 & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & - 6 \\ - 1 & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 & 0 \\ - 3 & 1 \end{matrix} \end{matrix}]$ 。

根据公式16~18得到曲线方程为：

$p (t) = [\begin{matrix} \begin{matrix} 1 - 3 t + 3 t^{2} - t^{3} & 3 t - 6 t^{2} + 3 t^{3} \end{matrix} & \begin{matrix} 3 t^{2} - 3 t^{3} & t^{3} \end{matrix} \end{matrix}] [\begin{matrix} \begin{matrix} b_{0} \\ b_{1} \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{2} \\ b_{3} \end{matrix} \end{matrix}], t \in [0, 1]$ (19)

取P1~P4和P4~P7分别为两组控制顶点，分别得到曲线方程为：

P1~P4段为：

$p_{1} (t) = [\begin{matrix} r_{h} (t) \\ Δ p (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 - 3 t + 3 t^{2} - t^{3} & 3 t - 6 t^{2} + 3 t^{3} & \begin{matrix} 3 t^{2} - 3 t^{3} & t^{3} \end{matrix} \end{matrix}]$

得到 $Δ p (r h)$ 为：

$\begin{matrix} Δ p (r_{h}) = (- Δ p_{1} + 3 Δ p_{2} - 3 Δ p_{3} + Δ p_{4}) \times {(\frac{r_{h} - r_{b}}{r_{s} - r_{b}})}^{3} + (3 Δ p_{1} - 6 Δ p_{2} + 3 Δ p_{3}) \\ \times {(\frac{r_{h} - r_{b}}{r_{s} - r_{b}})}^{2} + (- 3 Δ p_{1} + 3 Δ p_{2}) \times (\frac{r_{h} - r_{b}}{r_{s} - r_{b}}) + Δ p_{1}, r_{h} \in [r_{b}, r_{s}] \end{matrix}$ (20)

P4~P7段为：

$p_{2} (t) = [\begin{matrix} r_{h} (t) \\ Δ p (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 - 3 t + 3 t^{2} - t^{3} & 3 t - 6 t^{2} + 3 t^{3} & \begin{matrix} 3 t^{2} - 3 t^{3} & t^{3} \end{matrix} \end{matrix}] [\begin{matrix} \begin{matrix} r_{h 4} \\ r_{h 5} \end{matrix} & \begin{matrix} Δ p_{4} \\ Δ p_{5} \end{matrix} \\ \begin{matrix} r_{h 6} \\ r_{h 7} \end{matrix} & \begin{matrix} Δ p_{6} \\ Δ p_{7} \end{matrix} \end{matrix}], t \in [0, 1]$

得到 $Δ p (r h)$ 为：

$\begin{matrix} Δ p (r_{h}) = (- Δ p_{4} + 3 Δ p_{5} - 3 Δ p_{6} + Δ p_{7}) \times {(\frac{r_{a} - r_{h}}{r_{a} - r_{s}})}^{3} + (3 Δ p_{7} - 6 Δ p_{5} + 3 Δ p_{6}) \\ \times {(\frac{r_{a} - r_{h}}{r_{a} - r_{s}})}^{2} + (- 3 Δ p_{4} + 3 Δ p_{5}) \times (\frac{r_{a} - r_{h}}{r_{a} - r_{s}}) + Δ p_{4}, r_{h} \in [r_{b}, r_{s}] \end{matrix}$ (21)

假设标准齿轮齿廓图4所示齿轮坐标系X_gy_g平面可以表示为 $C_{s} (h) = {[x_{g} y_{g}]}^{T}$ ，那么相应新定义齿廓的方程可以表示为：

$C_{P} (h) = [\begin{matrix} x_{p} \\ y_{p} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x_{g} \pm Δ p \times n_{g x}^{C D} \\ y_{g} - Δ p \times n_{g y}^{C D} \end{matrix}]$ (22)

式中上下符号分别对应左右侧齿廓， $Δ p$ 为公式20、公式21中的表达式。

5. 砂轮运动轨迹

砂轮运动轨迹是指在磨削或修整过程中，砂轮相对于被加工工件或磨床台面所遵循的路径[6]。这一轨迹通常由多个因素决定，包括砂轮的尺寸、形状、磨削或修整工具的类型、被加工工件的几何形状以及所需的加工精度等。砂轮运动轨迹的精确控制对于保证加工质量、提高生产效率至关重要。

类似于砂轮截形的设计，采用同样的方法对砂轮运动轨迹进行定义。对于标准直齿轮而言，砂轮的运动轨迹为平行于直齿轮轴线并且通过砂轮中心O_w的直线，为了更方便定义砂轮运动轨迹，将标准砂轮径向运动轨迹平移到Z_g轴，如图3所示，表示y_gZ_g平面。对于砂轮运动轨迹偏移点的定义如下：七个样点P₁~P₇沿齿宽方向等距分布，此外，对于偏移量的定义为沿着y_g轴向方向进行偏移，表示为 $Δ l$ ，如图3所示，定义 $Z_{g} = 0$ 为前端面， $Z_{g} = F$ 为后端面，F为直齿轮齿宽。相同于齿廓的定义计算方法，对于砂轮运动轨迹的偏移点和偏移量，设为表2所示。

Table 2. Offset of grinding wheel movement trajectory sample points

表2. 砂轮运动轨迹样点的偏移量

	P₁	P₂	P₃	P₄	P₅	P₆	P₇
对应f	0	F/6	2F/6	3F/6	4F/6	5F/6	F
对应偏移量∆l	∆11	∆12	∆13	∆14	∆15	∆16	∆17

其中f代表径向线是的点的Z_g坐标值。根据齿廓定义算法，同理可得，P₁~P₄段为：

$p_{1} (t) = [\begin{matrix} f (t) \\ Δ l (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 - 3 t + 3 t^{2} - t^{3} & 3 t - 6 t^{2} + 3 t^{3} & \begin{matrix} 3 t^{2} - 3 t^{3} & t^{3} \end{matrix} \end{matrix}] [\begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ F / 6 \end{matrix} & \begin{matrix} Δ l_{1} \\ Δ l_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 F / 6 \\ 3 F / 6 \end{matrix} & \begin{matrix} Δ l_{3} \\ Δ l_{4} \end{matrix} \end{matrix}], t \in [0, 1]$ (23)

得到 $Δ l (f)$ 为：

$\begin{matrix} Δ l (f) = \frac{8}{F^{3}} (- Δ l_{3} + 3 Δ l_{5} - 3 Δ l_{6} + Δ l_{7}) {(f - \frac{F}{2})}^{3} + \frac{4}{F^{2}} (3 Δ l_{4} - 6 Δ l_{5} + 3 Δ l_{6}) {(f - \frac{F}{2})}^{2} \\ + \frac{2}{F} (- 3 Δ l_{4} + 3 Δ l_{5}) (f - \frac{F}{2}) + Δ l_{4}, f \in [\frac{F}{2}, F] \end{matrix}$ (24)

定义后的砂轮运动轨迹参数方程在y_gZ_g平面是的参数方方程为：

$C_{l} (f) = [\begin{matrix} y_{l} \\ z_{l} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \pm Δ l \\ f \end{matrix}]$ (25)

式中上下符号分别对应为y_g轴正方向和负方向， $Δ f$ 为公式23和公式24中的表达式。

Figure 3. Schematic diagram of grinding wheel trajectory

图3. 砂轮运动轨迹示意图

6. 点啮合齿面模型

结合砂轮磨削齿轮的加工过程可知，定义后的齿面由砂轮截形后的截形 $C_{p} (h)$ 沿着经过齿向的径向线 $C_{l} (f)$ 扫掠得到[7]。此外，考虑到 $C_{p} (h) = [x_{p} y_{p} 0]$ 与 $C_{l} (f) = [0 y_{l} z_{l}]$ 分别为 $x_{g} y_{g}$ 平面与 $y_{g} z_{g}$ 平面的平面曲线，其中 $C_{p} (h)$ 为扫掠轮廓线， $C_{l} (f)$ 为导线，且扫掠过程中 $C_{p} (h)$ 的方位不变，则扫掠后的曲线方程为：

$r (h, f) = [\begin{matrix} x_{p} \\ y_{p} + y_{l} \\ z_{l} \end{matrix}]$ (26)

结合公式22和公式26，可得齿面方程为：

$r (h, f) = [\begin{matrix} x_{g} \mp Δ p \times n_{g x}^{C D} \\ y_{g} - Δ p \times n_{g y}^{C D} \pm Δ l (f) \\ z_{g} \end{matrix}]$ (27)

7. 实验仿真

根据上述理论分析过程，编写相关齿面建模软件，该软件定义相关参数即可自行完成建模。

砂轮截形线：

给定的直齿轮参数，代入到公式9~14可以得到标准齿廓线，代入到公式20~21，即可以得到样条曲线偏移函数，即得到标准齿廓线任意点的偏移量，进一步将偏移量代入公式22，即可得到最终定义得到的砂轮截形，如图4所示。

砂轮进给轨迹：

给出的径向样点偏移量，代入公式23~24，即可得到样条曲线偏移函数，即得到标准径向线任意点的偏移量，进一步将偏移量代入公式25，即可得到最终定义得到的砂轮进给轨迹，如图5所示。

Figure 4. MATLAB calculation of the truncated line of the grinding wheel

图4. MATLAB计算得到的砂轮截线

Figure 5. Trajectory line of the grinding wheel calculated by MATLAB

图5. MATLAB计算得到的砂轮运动轨迹线

8. 结论

1) 本研究采用样条偏移函数来定义砂轮截形和砂轮运动轨迹曲线，可以实现点啮合齿面的二阶连续，使直齿轮加工满足设计要求。

2) 通过对砂轮磨削齿轮原理分析得出啮合齿轮方程，结合本文直齿轮仿真软件可以使直齿轮建模效率更高。

参考文献

[1]	郝宁达. 内啮合曲线构型齿轮齿面成形磨削方法及温度场分析[D]: [硕士学位论文]. 重庆: 重庆交通大学, 2024.
[2]	王硕. 考虑齿面误差的齿轮副齿面磨损动态演变机制研究[D]: [硕士学位论文]. 西安: 西安工业大学, 2024.
[3]	邓发云, 张祺. 新型圆弧齿线圆柱齿轮数学模型及其模态分析[J]. 机械传动, 2018, 42(1): 22-26+32.
[4]	丁文锋, 赵俊帅, 张洪港, 等. 齿轮高效精密磨削加工及表面完整性控制技术研究进展[J]. 机械工程学报, 2024, 60(7): 350-373.
[5]	阳智麾, 宁样城, 李勇, 等. 基于标准砂轮的立铣刀精确螺旋槽磨削位姿算法研究[J]. 工具技术, 2024, 58(5): 72-78.
[6]	李明, 高作斌, 雷贤卿. 基于砂轮轴斜置的导辊螺旋挡边磨削分析[J]. 农业装备与车辆工程, 2023, 61(12): 84-88.
[7]	刘国政. 延伸外摆线准双曲面齿轮啮合特性分析[J]. 汽车实用技术, 2024, 49(13): 90-94+160.

为你推荐

友情链接