三维可压缩向列型液晶系统解的衰减率的改进

An Improvement on Decay Rates for Solutions to the 3D System of Compressible Nematic Liquid Crystal

摘要: 本文的主要目的在于提高三维可压缩向列型液晶系统解的最高阶(S阶)空间导数的衰减率。如果初值的$H^S\left(S\ge 3\right)$ 和范数都是有界的，并且其$H^3$ 范数足够小，则应用纯能量法，我们给出了解的最高阶空间导数$L^2$ 范数的最优衰减率为${\left(1+t\right)}_{}^{-\left(\frac{S}{2}+\frac{\alpha }{2}\right)}$ ，而在魏，李和姚的研究中其衰减率仅为${\left(1+t\right)}_{}^{-\left(\frac{S-1}{2}+\frac{\alpha }{2}\right)}$ 。

Abstract: Abstract: The major objective of this thesis lies in improving the decay rates for the highest order (S-order) of spatial derivative of the solutions to the 3D system of compressible nematic liquid crystal. If the norms of both $H^S\left(S\ge 3\right)$ and for the initial value are bounded, as well as the norm of $H^3$ for that is small enough, with applying pure energy method, we give that the optimal decay rates for the highest order of spatial derivative of the solutions in norm of $L^2$ are ${\left(1+t\right)}_{}^{-\left(\frac{S}{2}+\frac{\alpha }{2}\right)}$ , while that is just ${\left(1+t\right)}_{}^{-\left(\frac{S-1}{2}+\frac{\alpha }{2}\right)}$ in Wei, Li and Yao’s study.

1. 引言

液晶是一种介于液体和固体之间的物质。当固体熔化时，如果能量增加足以改变位置序，但分子的形状又可以阻止取向序的立即崩溃，就会形成液晶。液晶既像液体一样具有流动性，又像固体一样各向异性，这两大关键属性使得液晶主要应用于可切换显示和光电器件等。特别地，液晶的研究和制造技术对显示器的质量和性能有着重要的影响。此外，液晶材料在生物医学、光学、热控制等领域有广泛的应用前景。而向列型又是液晶中常见的一种类型，向列型液晶是具有相同取向顺序的分子的聚集体，由细长的棒状分子组成。

本文，我们将深入研究如下三维可压缩向列型液晶系统([1])：

$\{\begin{array}{l}{\varphi }_t+div\left(\varphi r\right)=0,\left(t,x\right)\in {ℝ}^{+}\times {ℝ}^3,\\ {\left(\varphi r\right)}_t+\text{div}\left(\varphi r\otimes r\right)-{\beta }_1\Delta r-\left({\beta }_1+{\beta }_2\right)\nabla \text{div}r+\nabla P\left(\varphi \right)=-\Delta h\cdot \nabla h,\left(t,x\right)\in {ℝ}^{+}\times {ℝ}^3,\\ h_t+r\cdot \nabla h-\Delta h+g\left(h\right)=0,\left(t,x\right)\in {ℝ}^{+}\times {ℝ}^3\\ \left(\varphi ,r,h\right)\left(0,x\right)=\left({\varphi }_0,r_0,h_0\right)\left(x\right),x\in {ℝ}^3,\end{array}$ (1.1)

其中，$x=\left(x_1,x_2,x_3\right)$ ，$r,\varphi ,h$ 分别为流体速度，流体密度和分子排列方向场。压力$P=P\left(\varphi \right)$ 是$\tilde{\varphi }$ 的某邻域内的光滑函数，其中当$\tilde{\varphi }>0$ 时，$P^{\prime }\left(\tilde{\varphi }\right)>0$ 。$g\left(h\right)=\frac{1}{{ϵ}^2}\left({\left|h\right|}^2-1\right)h$ ($ϵ$ 为常数)。${\beta }_1$ 和${\beta }_2$ 表示流体的剪切粘性系数和体积粘性系数，满足${\beta }_1>0$ 和${\beta }_1+\frac{2}{3}{\beta }_2\ge 0$ 。由于$\tilde{\varphi }$ 是一个正常数，为简单起见，设$\tilde{\varphi }=1$ 。初始方向场满足$\left|h_0\left(x\right)\right|=1$ ，并且$\underset{\left|x\right|\to +\infty }{\lim }{h}_0\left(x\right)={\varpi }_0$ ，其中${\varpi }_0$ 是一个固定向量满足$\left|{\varpi }_0\right|=1$ 。

在20世纪60年代，Ericksen [2]和Leslie [3]建立了向列型液晶系统。向列型液晶系统是Navier-Stokes方程组与调和映照热流的强耦合，为描述分子构型中缺陷在流速影响下的运动提供了一个工具。当在稳态附近给定一个小扰动时，系统解的衰减率有效刻画了随着时间的增加，系统的解将以多快的速度衰减到稳态。因此，本文将致力于改进向列型液晶系统解的衰减率。以下我们仅介绍与本文相关的一些结果。对于三维不可压缩系统，Dai，Qing和Schonbek [4]利用基本能量估计和Ladyzhenskaya能量估

计得到${\Vert r\Vert }_{L^2}$ 和${\Vert \nabla \left(h-{\varpi }_0\right)\Vert }_{L^2}$ 的衰减估计分别是${\left(1+t\right)}_{}^{-\frac{1}{4}}$ 和${\left(1+t\right)}_{}^{-\frac{3}{8}}$ 。接下来，Dai和Schonbek [5]研究了$H^m\left(m\ge 0\right)$ 的最优衰减率。特别是对任意的$m\ge 0$ ，他们建立了${\Vert {\nabla }^m\left(r,h-{\varpi }_0\right)\Vert }_{L^2}$ 衰减率为${\left(1+t\right)}_{}^{-\left(\frac{m}{2}+\frac{3}{4}\right)}$ 。对于三维可压缩系统，当$g\left(h\right)={\left|\nabla h\right|}^{2}h$ 时，在$\left({\varphi }_0-1,r_0,\nabla h_0\right)$ 属于$H^S\left(S\ge 3\right)$ ，${\Vert \left({\varphi }_0-1,r_0,\nabla h_0\right)\Vert }_{H^3}\le {\varsigma }_0$ 以及${\Vert \left({\varphi }_0-1,r_0,h_0-{\varpi }_0\right)\Vert }_{L^1}$ 和${\Vert h_0-{\varpi }_0\Vert }_{L^2}$ 有界的情况下，Gao，Tao和Yao [6]用傅里叶分解的方法得到全局解的结论如下：

$\begin{array}{l}{\Vert {\nabla }^m\left(\varphi -1,r\right)\left(t\right)\Vert }_{H^{S-m}}^2\le {\left(1+t\right)}_{}^{-\frac{3+2m}{2}},m=0,1,\cdots ,S-1,\\ {\Vert {\nabla }^n\left(h-{\varpi }_0\right)\left(t\right)\Vert }_{L^2}^2\le {\left(1+t\right)}_{}^{-\frac{3+2n}{2}},n=0,1,\cdots ,S+1.\end{array}$ (1.2)

在正则度低于$H^S\left(S\ge 3\right)$ 的$H^2$ 空间中，Xu等[7]利用谱分析得到了具有小初值的光滑解的存在性。更进一步，在初始値在$L^1$ 有界的条件下，得到了${\Vert \left(\varphi -1,r,h\right)\Vert }_{L^p}$ 和${\Vert \nabla \left(\varphi -1,r\right)\left(t\right)\Vert }_{H^1}+{\Vert \nabla h\left(t\right)\Vert }_{H^2}$ 的衰減率分別为

${\left(1+t\right)}_{}^{-\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{p}\right)}\left(2\le p\le 6\right)$ 和${\left(1+t\right)}_{}^{-\frac{5}{4}}$ 。为了得到Navier-Stokes (N-S)方程的最优衰减率，2012年，Guo和Wang [8]利用纯能量方法，用${\dot{H}}^{-\alpha }$ 代替$L^p$ ，克服了“$L^p-L^2$ ”方法中随时间演化保持解的$L^p$ 范数的困难，从而在$\left({\varphi }_0-1,r_0\right)\in H^S\left(S\ge 3\right)\cap {\dot{H}}^{-\alpha }\left(0\le \alpha <\frac{3}{2}\right)$ 和${\Vert \left({\varphi }_0-1,r_0\right)\Vert }_{H^{[\frac{S}{2}]+2}}^{}\le {\varsigma }_0$ 的条件下，得到了N-S方程解的衰减率：

${\Vert {\nabla }^m\left(\varphi -1,r\right)\left(t\right)\Vert }_{H^{S-m}}^2\le C{\left(1+t\right)}^{-\left(m+\alpha \right)},-\alpha <m\le S-1.$ (1.3)

受[8]的方法论的启发，Liu [9]和Wei，Li和Yao [1]将[8]的N-S方程的结果推广到液晶系统上来。当$g\left(h\right)={\left|\nabla h\right|}^{2}h$ 时，假设$\left({\varphi }_0-1,r_0\right)\in H^S\cap {\dot{H}}^{-\alpha }$ ，$h_0-{\varpi }_0\in H^{S+1}\cap {\dot{H}}^{-\alpha +1}\left(S\ge 3,0\le \alpha <\frac{3}{2}\right)$ 且 ${\Vert \left({\varphi }_0-1,r_0\right)\left(t\right)\Vert }_{H^3}+{\Vert \left(h_0-{\varpi }_0\right)\left(t\right)\Vert }_{H^4}\le {\varsigma }_0$ ，Liu [9]得到

${\Vert {\nabla }^m\left(\varphi -1,r\right)\left(t\right)\Vert }_{H^{S-m}}+{\Vert {\nabla }^m\left(h-{\varpi }_0\right)\left(t\right)\Vert }_{H^{S-m+1}}\le C{\left(1+t\right)}_{}^{-\frac{m+\alpha }{2}},-\alpha <m\le S-1.$ (1.4)

此外，Liu [10]还研究了Besov空间中的衰减率。假设$\left({\varphi }_0-1\right)\in {\tilde{B}}^{\frac{1}{2},\frac{3}{2}}\cap {\dot{B}}_{2,\infty }^{-\mu }$ ，$r_0\in {\dot{B}}^{\frac{1}{2}}\cap {\dot{B}}_{2,\infty }^{-\mu }$ ，$\left(h_0-{\varpi }_0\right)\in {\tilde{B}}^{\frac{1}{2},\frac{3}{2}}\cap {\dot{B}}_{2,\infty }^{-\mu +1}$ 和${\Vert \left({\varphi }_0-1,h_0-{\varpi }_0\right)\Vert }_{{\tilde{B}}^{\frac{1}{2},\frac{3}{2}}}^{}+{\Vert r_0\Vert }_{{\dot{B}}^{\frac{1}{2}}}^{}\le {\varsigma }_0$ ，Liu [10]得到了如下的衰减结果：

${\Vert \left(\varphi -1,r,\nabla \left(h-{\varpi }_0\right)\right)\left(t\right)\Vert }_{{\dot{B}}^m}^2\le C{\left(1+t\right)}^{-\left(m+\mu \right)}.$ (1.5)

这里$-\mu <m\le \frac{1}{2}$ 。当$g\left(h\right)=\frac{1}{{ϵ}^2}\left({\left|h\right|}^2-1\right)h$ ，将[9]中的条件$0\le \alpha <\frac{3}{2}$ 限制为$0\le \alpha \le \frac{1}{2}$ 时，Wei，Li和Yao [1]得出衰减率：

${\Vert {\nabla }^m\left(\varphi -1,r,\nabla h\right)\left(t\right)\Vert }_{H^{S-m}}\le C{\left(1+t\right)}_{}^{-\frac{m+\alpha }{2}},m=0,1,\cdots ,S-1.$ (1.6)

很容易发现，在[9]和[1]中解的最高阶(S阶)空间导数的衰减率仅与次高阶(S-1阶)的衰减率相同，这并不是最优的。后来，在[8]的基础上，为了提高N-S方程解最高阶空间导数的衰减率，Gao，Li和Yao [11]不再利用动量方程引起的密度耗散，而是进一步采用加权能量法得到，即

${\Vert {\nabla }^S\left(\varphi -1,r\right)\left(t\right)\Vert }_{L^2}^2\le C{\left(1+t\right)}^{-\left(S+\alpha \right)},$ (1.7)

这优化了[8]中的结果。

受[8]和[11]的启发，本文的创新是利用加权能量法来提高系统(1.1)的解的最高阶空间导数的衰减率，从而克服[1]利用纯能量方法得到解的最高阶(S阶)和次高阶(S-1阶)空间导数的衰减率相同的问题。在本文中，我们在[1]的基础上考虑了$0\le \alpha \le \frac{1}{2}$ 的情况。对于[9]和[1]中$\frac{1}{2}<\alpha <\frac{3}{2}$ 的情况，可以通过与本文中类似的方法得到相应的结论。

我们先介绍下面这个定理，它在后面的部分起着至关重要的作用。

定理1.1：([1])假设$\left({\varphi }_0-1,r_0,h_0-{\varpi }_0\right)\in H^S\times H^S\times H^{S+1}\left(S\ge 3\right)$ ，若存在一个固定向量${\varpi }_0$ 和一个常数${\varsigma }_0>0$ ，使得

${\Vert {\varphi }_0-1\Vert }_{H^3}+{\Vert r_0\Vert }_{H^3}+{\Vert h_0-{\varpi }_0\Vert }_{H^4}\le {\varsigma }_0,$ (1.8)

则对于所有的$t\ge 0$ ，系统存在一个全局解$\left(\varphi ,r,h\right)\left(t\right)$ 满足

$\begin{array}{l}{\Vert \left(\varphi -1,r,\nabla h\right)\left(t\right)\Vert }_{H^S}^2+C{\displaystyle {\int }_0^t\left({\Vert \nabla \left(\varphi -1\right)\left(\tau \right)\Vert }_{H^{S-1}}^2+{\Vert \left(\nabla r,\nabla \nabla h\right)\left(\tau \right)\Vert }_{H^S}^2\right)\text{d}\tau }\\ \le C{\Vert \left({\varphi }_0-1,r_0,\nabla h_0\right)\Vert }_{H^S}^2.\end{array}$ (1.9)

若进一步要求$\left({\varphi }_0-1,r_0,\nabla h_0\right)\in {\dot{H}}^{-\alpha }\left(0\le \alpha \le \frac{1}{2}\right)$ ，则对任意时间$t\ge 0$ ，可得

${\Vert \varphi \left(t\right)-1\Vert }_{{\dot{H}}^{-\alpha }}^2+{\Vert r\left(t\right)\Vert }_{{\dot{H}}^{-\alpha }}^2+{\Vert \nabla h\left(t\right)\Vert }_{{\dot{H}}^{-\alpha }}^2\le C_0$ (1.10)

和

${\Vert {\nabla }^j\left(\varphi -1,r,\nabla h\right)\left(t\right)\Vert }_{H^{S-j}}^2\le C_0{\left(1+t\right)}^{-\left(j+\alpha \right)},j=0,1,\cdots ,S-1.$ (1.11)

本文的主要结论如下：

定理1.2：若定理1.1的条件满足，则有如下的衰减率：

${\Vert {\nabla }^S\left(\varphi -1,r,\nabla h\right)\left(t\right)\Vert }_{L^2}^2\le C{\left(1+t\right)}^{-\left(S+\alpha \right)}$ (1.12)

注1：与N-S方程相比，该系统中不仅由液晶分子方向场方程的出现增加了计算复杂度，还需要克服项$\Delta h\cdot \nabla h$ 引起的困难。

注2：与[1]相比，本文提高了系统(1.1)解的S阶空间导数的$L^2$ 范数的衰减率，从${\left(1+t\right)}^{-\left(S-1+\alpha \right)}$ 改进到${\left(1+t\right)}^{-\left(S+\alpha \right)}$ 。

注3：对于本文中$g\left(h\right)=\frac{1}{{ϵ}^2}\left({\left|h\right|}^2-1\right)h\left(\frac{1}{2}<\alpha <\frac{3}{2}\right)$ 和$g\left(h\right)={\left|\nabla h\right|}^{2}h\left(0\le \alpha <\frac{3}{2}\right)$ 的情况，通过使用类似于本文的过程，也可以得到与定理1.2中相同的结果。

本文剩余部分内容如下：在第二节中，我们展示了一些符号，重写了系统(1.1)，并给出了一些必要的不等式；在第3节中，我们首先建立引理3.1中解的空间导数S阶的加权时间可积性，这是引理3.2的预备引理，然后我们给出了引理3.2，从而完成了定理1.2的证明。

2. 准备工作

首先，我们介绍了一些符号解释，然后将系统(1.1)重新写为(2.1)和(2.2)。最后我们引入一些不等式，这些不等式将在本文后面的证明中广泛使用。

定义：为了方便起见，我们使用符号$y\lesssim x$ 表示$y\le Cx$ ，其中$C>0$ 是一个与时间t无关的常数，而C在不同的地方可能为不同的正数。用$C_0$ 和$C_{\epsilon }$ 分别用于强调对初始值和$\epsilon$ 的依赖。$y~x$ 表示存在某个正常数$C_1$ 使得$C_{1}x\le y\le \frac{1}{C_1}x$ 。$L^p\left({ℝ}^3\right)\left(1\le p<\infty \right)$ ，$H^q\left({ℝ}^3\right)\left(q\in R\right)$ 和${\dot{H}}^{\alpha }\left({ℝ}^3\right)\left(\alpha \in R\right)$ 分别表示范数为${\Vert \cdot \Vert }_{L^p}$ 的勒贝格空间、范数为${\Vert \cdot \Vert }_{L^p}$ 的索伯列夫空间和范数为${\Vert \cdot \Vert }_{{\dot{H}}^{\alpha }}\left({\Vert n\Vert }_{{\dot{H}}^{\alpha }}={\Vert {\nabla }^{\alpha }n\Vert }_{L^2}\right)$的齐次索伯列夫空间。此外，我们定义${\Vert \left(n,m\right)\Vert }_Z\stackrel{\text{def}}{=}{\Vert n\Vert }_Z+{\Vert m\Vert }_Z$。

定义$\phi =\varphi -1$ ，系统(1.1)可表述为：

$\{\begin{array}{l}{\phi }_t+divr=B_1,\\ r_t-{\beta }_1\Delta r-\left({\beta }_1+{\beta }_2\right)\nabla divr+\nabla \phi =B_2,\\ h_t-\Delta h=B_3,\end{array}$ (2.1)

其中，

$\{\begin{array}{l}{B}_1=-\phi \text{div}r-r\cdot \nabla \phi ,\\ B_2=-r\cdot \nabla r-f_2\left(\phi \right)\left[{\beta }_1\Delta r+\left({\beta }_1+{\beta }_2\right)\nabla \text{div}r\right]-f_3\left(\phi \right)\nabla \phi -f_1\left(\phi \right)\left(\Delta h\cdot \nabla h\right),\\ B_3=-r\cdot \nabla h-g\left(h\right),\end{array}$ (2.2)

和

$f_1\left(\phi \right)=\frac{1}{\phi +1},f_2\left(\phi \right)=\frac{\phi }{\phi +1},f_3\left(\phi \right)=\frac{P^{\prime }\left(\phi +1\right)}{\phi +1}-1.$ (2.3)

在定理1.2的条件下，根据[1]中的(2.1)和(3.12)，可以得出，对于正常数$\varsigma \ll 1$ ，

${\Vert \phi \left(t\right)\Vert }_{H^3}+{\Vert r\left(t\right)\Vert }_{H^3}+{\Vert \left(h-{\varpi }_0\right)\left(t\right)\Vert }_{H^4}\le \varsigma .$ (2.4)

通过结合和Sobolev不等式，很容易得出

${\Vert \left(\phi ,r,\nabla \left(h-{\varpi }_0\right)\right)\left(t\right)\Vert }_{L^{\infty }}\le \varsigma .$ (2.5)

然后，对于任何常数$m\ge 1$ ，可以通过[1]中的(2.3)和本文得到

$\left|f_1\left(\phi \right)\right|\le C,\left|f_2\left(\phi \right)\right|\le C\left|\phi \right|,\left|f_3\left(\phi \right)\right|\le C\left|\phi \right|,\left|f_1^{\left(m\right)}\left(\phi \right)\right|\le C,\left|f_2^{\left(m\right)}\left(\phi \right)\right|\le C,\left|f_3^{\left(m\right)}\left(\phi \right)\right|\le C.$ (2.6)

引理2.1：如果${\Vert \phi \Vert }_{L^{\infty }}\le 1$ ，$2\le p\le \infty$ ，函数$f\left(\phi \right)$ 是光滑的，并且其余各阶导数都是有界的，那么对于任意正整数n，可得

${\Vert {\nabla }^{n}f\left(\phi \right)\Vert }_{L^p}\lesssim {\Vert {\nabla }^n\phi \Vert }_{L^p}.$ (2.7)

因为证明类似于[12]中的引理A.2，所以这里省略了证明过程。

引理2.2：([13])整数$n>0$ ，定义运算：

$\left[{\nabla }^n,{\alpha }_1\right]{\alpha }_2={\nabla }^n\left({\alpha }_1{\alpha }_2\right)-{\alpha }_1{\nabla }^n{\alpha }_2,$ (2.8)

则有

${\Vert \left[{\nabla }^n,{\alpha }_1\right]{\alpha }_2\Vert }_{L^p}\lesssim {\Vert \nabla {\alpha }_1\Vert }_{L^{p_1}}{\Vert {\nabla }^{n-1}{\alpha }_2\Vert }_{L^{p_2}}+{\Vert {\alpha }_2\Vert }_{L^{p_3}}{\Vert {\nabla }^n{\alpha }_1\Vert }_{L^{p_4}}.$ (2.9)

当$n\ge 0$ 时，有

${\Vert {\nabla }^n\left({\alpha }_1{\alpha }_2\right)\Vert }_{L^p}\lesssim {\Vert {\alpha }_1\Vert }_{L^{p_1}}{\Vert {\nabla }^n{\alpha }_2\Vert }_{L^{p_2}}+{\Vert {\alpha }_2\Vert }_{L^{p_3}}{\Vert {\nabla }^n{\alpha }_1\Vert }_{L^{p_4}},$ (2.10)

这里$p_2,p_4,p\in \left(1,+\infty \right)$ 并且满足$\frac{1}{p}=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}=\frac{1}{p_3}+\frac{1}{p_4}$ 。

引理2.3：([14])若$0\le n,\xi \le \chi$ ，则有

${\Vert {\nabla }^{\xi }h\Vert }_{L^p}\lesssim {\Vert {\nabla }^{\chi }h\Vert }_{L^2}^{\vartheta }{\Vert {\nabla }^{n}h\Vert }_{L^2}^{1-\vartheta },$ (2.11)

其中$\vartheta \in \left[0,1\right]$ 和$\xi$ 满足

$\frac{1}{p}-\frac{\xi }{3}=\left(\frac{1}{2}-\frac{\chi }{3}\right)\vartheta +\left(\frac{1}{2}-\frac{n}{3}\right)\left(1-\vartheta \right).$

当$p=\infty$ 时，需要$0<\vartheta <1,n\le \xi +1$ 和$\chi \ge \xi +2$ 。

3. 定理1.2的证明

现在，根据定理1.1的(1.11)，首先提供$\left(\phi ,r,\nabla h\right)$ 的S阶空间导数时间可积性的预备引理3.1。

引理3.1：对于任意固定常数$0<\lambda <1$ ，根据定理1.1，可得

${\left(1+t\right)}^{S+\alpha +\lambda -1}{\Vert {\nabla }^{S-1}\left(\phi ,r,\nabla h\right)\Vert }_{H^1}^2+C{\displaystyle {\int }_0^t{\left(1+\tau \right)}^{S+\alpha +\lambda -1}}\left({\Vert {\nabla }^S\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{H^1}^2+{\Vert {\nabla }^S\phi \Vert }_{L^2}^2\right)\text{d}\tau \lesssim {\left(1+t\right)}^{\lambda }.$ (3.1)

证明：在[1]中的不等式(2.4)，(2.43)和(2.87)中取$k=S-1$ ，我们得到

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^{S-1}\left(\phi ,r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2+C{\Vert {\nabla }^S\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2\lesssim \varsigma {\Vert {\nabla }^S\left(\phi ,r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2,$ (3.2)

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^S\left(\phi ,r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2+C{\Vert {\nabla }^{S+1}\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2\lesssim \varsigma \left({\Vert {\nabla }^S\phi \Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\nabla }^{S+1}\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2\right),$ (3.3)

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{R^3}{\nabla }^{S-1}}r\cdot {\nabla }^S\phi \text{d}x+C{\Vert {\nabla }^S\phi \Vert }_{L^2}^2\lesssim {\Vert {\nabla }^{S}r\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\nabla }^{S+1}\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2.$ (3.4)

将(3.4)乘以常数$\delta$ (足够小)的结果加到(3.2)和(3.4)，另外，考虑$\varsigma$ 的小性，可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}A\left(t\right)+C\left({\Vert {\nabla }^S\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{H^1}^2+\delta {\Vert {\nabla }^S\phi \Vert }_{L^2}^2\right)\le 0,$ (3.5)

其中$A\left(t\right)$ 表示为

$A\left(t\right)=\underset{A_1\left(t\right)}{\underbrace{{\Vert {\nabla }^{S-1}\left(\phi ,r,\nabla h\right)\Vert }_{H^1}^2}}+\underset{A_2\left(t\right)}{\underbrace{\delta {\displaystyle {\int }_{R^3}{\nabla }^{S-1}}r\cdot {\nabla }^S\phi \text{d}x}}\stackrel{\text{def}}{=}{A}_1\left(t\right)+A_2\left(t\right).$(3.6)

基于$\delta$ 足够小，很明显

$A\left(t\right)�A_1\left(t\right)={\Vert {\nabla }^{S-1}\left(\phi ,r,\nabla h\right)\Vert }_{H^1}^2.$ (3.7)

对于固定常数$\lambda \in \left(0,1\right)$ ，将(3.5)乘以${\left(1+t\right)}^{S+\lambda +\alpha -1}$ ，并使用(3.7)和(1.11)，可以得到

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[{\left(1+t\right)}^{S+\lambda +\alpha -1}A\left(t\right)\right]+C{\left(1+t\right)}^{S+\lambda +\alpha -1}\left({\Vert {\nabla }^S\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{H^1}^2+\delta {\Vert {\nabla }^S\phi \Vert }_{L^2}^2\right)\\ \lesssim {\left(1+t\right)}^{S+\lambda +\alpha -2}A\left(t\right)\\ \lesssim {\left(1+t\right)}^{\lambda -1}.\end{array}$ (3.8)

对(3.8)在$\left[0,t\right]$ 上进行积分，推导出

$\begin{array}{l}{\left(1+t\right)}^{S+\lambda +\alpha -1}A\left(t\right)+C{\displaystyle {\int }_0^t{\left(1+\tau \right)}^{S+\lambda +\alpha -1}}\left({\Vert {\nabla }^S\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{H^1}^2+\delta {\Vert {\nabla }^S\phi \Vert }_{L^2}^2\right)\text{d}\tau \\ \le C{\displaystyle {\int }_0^t{\left(1+\tau \right)}^{\lambda -1}}\text{d}\tau +A\left(0\right)\\ \lesssim {\left(1+t\right)}^{\lambda }.\end{array}$ (3.9)

将(3.9)和(3.7)结合起来，得到(3.1)。

接下来，我们将利用引理3.1中耗散项的S阶空间导数的加权时间可积性来构造解的S阶空间导数的衰减率。

引理3.2：根据定理1.1，对于$0<\lambda <1$ ，我们得到

${\left(1+t\right)}^{S+\alpha }{\Vert {\nabla }^S\left(\phi ,r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2+C{\left(1+t\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_0^t{\left(1+\tau \right)}^{S+\lambda +\alpha }}{\Vert {\nabla }^{S+1}\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2\text{d}\tau \le C.$ (3.10)

证明：将${\nabla }^S$ 作用到(2.1)-1和(2.1)-2，${\nabla }^{S+1}$ 作用到(2.1)-3，然后分别乘以${\nabla }^S\phi$ 、${\nabla }^{S}r$ 和${\nabla }^{S+1}h$ 。通过将它们相加并在${ℝ}^3$ 上积分，得到

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^S\left(\phi ,r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2+{\beta }_1{\Vert {\nabla }^{S+1}r\Vert }_{L^2}^2+\left({\beta }_1+{\beta }_2\right){\Vert {\nabla }^S\text{div}r\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\nabla }^{S+1}\nabla h\Vert }_{L^2}^2\\ ={\displaystyle {\int }_{R^3}{\nabla }^S}{B}_1\cdot {\nabla }^S\phi \text{d}x+{\displaystyle {\int }_{R^3}{\nabla }^S}{B}_2\cdot {\nabla }^{S}r\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{R^3}{\nabla }^{S+1}}{B}_3\cdot {\nabla }^{S+1}h\text{d}x\\ \stackrel{\text{def}}{=}{\displaystyle \sum _{i=1}^3{E}_i}.\end{array}$ (3.11)

根据(2.2)-1和[11]中的(4.17)和(4.18)，我们得出

$E_1\le \epsilon {\Vert {\nabla }^{S+1}r\Vert }_{L^2}^2+C_{\epsilon }{\left(1+t\right)}_{}^{-\left(1+\frac{\alpha }{2}\right)}{\Vert {\nabla }^S\left(\phi ,r\right)\Vert }_{L^2}^2.$ (3.12)

对于$E_2$ ，通过使用分部积分和(2.2)-2，我们很容易得到

$\begin{array}{l}{E}_2={\displaystyle {\int }_{R^3}{\nabla }^{S-1}}\left(r\cdot \nabla r\right)\cdot {\nabla }^{S+1}r\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{R^3}{\nabla }^{S-1}}\left[f_2\left(\phi \right)\left({\beta }_1\Delta r+\left({\beta }_1+{\beta }_2\right)\nabla \text{div}r\right)\right]\cdot {\nabla }^{S+1}r\text{d}x\\ +{\displaystyle {\int }_{R^3}{\nabla }^{S-1}}\left(f_3\left(\phi \right)\nabla \phi \right)\cdot {\nabla }^{S+1}r\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{R^3}{\nabla }^{S-1}}\left(f_1\left(\phi \right)\Delta h\cdot \nabla h\right)\cdot {\nabla }^{S+1}r\text{d}x\stackrel{\text{def}}{=}{\displaystyle \sum _{i=1}^4{E}_{2i}}.\end{array}$ (3.13)

根据[11]中的(4.20)~(4.24)和(4.26)，可得

$E_{21}+E_{22}+E_{23}\le \left(\epsilon +\varsigma \right){\Vert {\nabla }^{S+1}r\Vert }_{L^2}^2+C_{\epsilon }{\left(1+t\right)}^{-\left(1+\alpha \right)}{\Vert {\nabla }^S\left(\phi ,r\right)\Vert }_{L^2}^2+C_{\epsilon }{\left(1+t\right)}^{-\left(S+2\alpha +1\right)}.$ (3.14)

根据Holder不等式，(2.10)、(2.6)、(2.7)、(2.11)、带$\epsilon$ 的Young不等式和(2.4)，可得

$\begin{array}{c}{E}_{24}\lesssim {\Vert {\nabla }^{S-1}\left(f_1\left(\phi \right)\Delta h\cdot \nabla h\right)\Vert }_{L^2}{\Vert {\nabla }^{S+1}r\Vert }_{L^2}\\ \lesssim {\Vert {\nabla }^{S-1}\left(f_1\left(\phi \right)\right)\Vert }_{L^6}{\Vert \Delta h\cdot \nabla h\Vert }_{L^3}{\Vert {\nabla }^{S+1}r\Vert }_{L^2}+{\Vert f_1\left(\phi \right)\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{S-1}\left(\Delta h\cdot \nabla h\right)\Vert }_{L^2}{\Vert {\nabla }^{S+1}r\Vert }_{L^2}\\ \lesssim {\Vert {\nabla }^{S-1}\left(f_1\left(\phi \right)\right)\Vert }_{L^6}{\Vert \Delta h\Vert }_{L^3}{\Vert \nabla h\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{S+1}r\Vert }_{L^2}\\ +\left({\Vert f_1\left(\phi \right)\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{S-1}\Delta h\Vert }_{L^6}{\Vert \nabla h\Vert }_{L^3}+{\Vert f_1\left(\phi \right)\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert \Delta h\Vert }_{L^3}{\Vert {\nabla }^{S-1}\nabla h\Vert }_{L^6}\right){\Vert {\nabla }^{S+1}r\Vert }_{L^2}\\ \lesssim {\Vert {\nabla }^S\phi \Vert }_{L^2}{\Vert {\nabla }^{2}h\Vert }_{H^1}^2{\Vert {\nabla }^{S+1}r\Vert }_{L^2}+\left({\Vert {\nabla }^{S+2}h\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla h\Vert }_{H^1}+{\Vert {\nabla }^{2}h\Vert }_{H^1}{\Vert {\nabla }^{S+1}h\Vert }_{L^2}\right){\Vert {\nabla }^{S+1}r\Vert }_{L^2}\\ \le \left(\epsilon +\varsigma \right){\Vert {\nabla }^{S+1}\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2+C_{\epsilon }{\left(1+t\right)}^{-\left(1+\alpha \right)}{\Vert {\nabla }^S\left(\phi ,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2.\end{array}$ (3.15)

从(3.13)~(3.15)推断出

$E_2\le \left(\epsilon +\varsigma \right){\Vert {\nabla }^{S+1}\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2+C_{\epsilon }{\left(1+t\right)}^{-\left(1+\alpha \right)}{\Vert {\nabla }^S\left(\phi ,r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2+C_{\epsilon }{\left(1+t\right)}^{-\left(S+2\alpha +1\right)}.$ (3.16)

对于$E_3$ ，通过(2.2)-3和分部积分知

$E_3={\displaystyle {\int }_{R^3}{\nabla }^S}\left(r\cdot \nabla h\right)\cdot {\nabla }^{S+2}h\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{R^3}{\nabla }^S}\left(g\left(h\right)\right)\cdot {\nabla }^{S+2}h\text{d}x\stackrel{\text{def}}{=}{E}_{31}+E_{32}.$ (3.17)

借助Holder不等式，(2.10)，(2.11)，带$\epsilon$ 的Young不等式和(1.11)，可知

$\begin{array}{c}{E}_{31}\lesssim \left({\Vert {\nabla }^{S}r\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla h\Vert }_{L^{\infty }}+{\Vert {\nabla }^{S+1}h\Vert }_{L^2}{\Vert r\Vert }_{L^{\infty }}\right){\Vert {\nabla }^{S+2}h\Vert }_{L^2}\\ \lesssim \left({\Vert {\nabla }^{S}r\Vert }_{L^2}{\Vert {\nabla }^{2}h\Vert }_{H^1}+{\Vert {\nabla }^{S+1}h\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla r\Vert }_{H^1}\right){\Vert {\nabla }^{S+2}h\Vert }_{L^2}\\ \le \epsilon {\Vert {\nabla }^{S+1}\nabla h\Vert }_{L^2}^2+C_{\epsilon }{\left(1+t\right)}^{-\left(1+\alpha \right)}{\Vert {\nabla }^S\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2.\end{array}$ (3.18)

考虑$g\left(h\right)$ 和$\left|{\varpi }_0\right|=1$ 的表达式，此外，使用Holder不等式，(2.10)，(2.11)和(2.4)，有

$\begin{array}{c}{E}_{32}=\frac{1}{{ϵ}^2}{\displaystyle {\int }_{R^3}{\nabla }^S}\left[\left({\left|h\right|}^2-1\right)h\right]\cdot {\nabla }^{S+2}h\text{d}x\\ =\frac{1}{{ϵ}^2}{\displaystyle {\int }_{R^3}{\nabla }^S}\left[\left(h-{\varpi }_0\right)\left(h+{\varpi }_0\right)h\right]\cdot {\nabla }^{S+2}h\text{d}x\\ \lesssim {\Vert {\nabla }^S\left[\left(h-{\varpi }_0\right)\left(h+{\varpi }_0\right)h\right]\Vert }_{L^2}{\Vert {\nabla }^{S+2}h\Vert }_{L^2}\\ \lesssim {\Vert {\nabla }^S\left[\left(h-{\varpi }_0\right)\left(h+{\varpi }_0\right)\right]\Vert }_{L^3}{\Vert h\Vert }_{L^6}{\Vert {\nabla }^{S+2}h\Vert }_{L^2}+{\Vert {\nabla }^{S}h\Vert }_{L^6}{\Vert h-{\varpi }_0\Vert }_{L^6}{\Vert h+{\varpi }_0\Vert }_{L^6}{\Vert {\nabla }^{S+2}h\Vert }_{L^2}\\ \lesssim {\Vert {\nabla }^S\left(h-{\varpi }_0\right)\Vert }_{L^6}{\Vert h+{\varpi }_0\Vert }_{L^6}{\Vert h\Vert }_{L^6}{\Vert {\nabla }^{S+2}h\Vert }_{L^2}+{\Vert {\nabla }^S\left(h+{\varpi }_0\right)\Vert }_{L^6}{\Vert h-{\varpi }_0\Vert }_{L^6}{\Vert h\Vert }_{L^6}{\Vert {\nabla }^{S+2}h\Vert }_{L^2}\\ +{\Vert {\nabla }^{S}h\Vert }_{L^6}{\Vert h-{\varpi }_0\Vert }_{L^6}{\Vert h+{\varpi }_0\Vert }_{L^6}{\Vert {\nabla }^{S+2}h\Vert }_{L^2}\\ \lesssim \varsigma \left|\right|{\nabla }^{S+1}h|{|}_{L^2}{\Vert \nabla \left(h-{\varpi }_0\right)\Vert }_{L^2}{\Vert {\nabla }^{S+2}h\Vert }_{L^2}\\ \lesssim \varsigma {\Vert {\nabla }^{S+2}h\Vert }_{L^2}^{\frac{S+1}{S+2}}{\Vert h-{\varpi }_0\Vert }_{L^2}^{\frac{1}{S+2}}{\Vert {\nabla }^{S+2}h\Vert }_{L^2}^{\frac{1}{S+2}}{\Vert h-{\varpi }_0\Vert }_{L^2}^{\frac{S+1}{S+2}}{\Vert {\nabla }^{S+2}h\Vert }_{L^2}\\ \lesssim \varsigma {\Vert h-{\varpi }_0\Vert }_{L^2}{\Vert {\nabla }^{S+2}h\Vert }_{L^2}^2\\ \lesssim \varsigma {\Vert {\nabla }^{S+1}\nabla h\Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (3.19)

其中运用了${\nabla }^k\left(h-{\varpi }_0\right)={\nabla }^k\left(h+{\varpi }_0\right)={\nabla }^{k}h$ ，对于$\forall k\in N^{+}$ 。根据(3.17)~(3.19)，我们得到

$E_3\lesssim \left(\epsilon +\varsigma \right){\Vert {\nabla }^{S+1}\nabla h\Vert }_{L^2}^2+C_{\epsilon }{\left(1+t\right)}^{-\left(1+\alpha \right)}{\Vert {\nabla }^S\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2.$ (3.20)

将(3.12)，(3.16)和(3.20)代入(3.11)，并借助$\epsilon$ 和$\varsigma$ 的小性，可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^S\left(\phi ,r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2+C{\Vert {\nabla }^{S+1}\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2\lesssim {\left(1+t\right)}^{-1}{\Vert {\nabla }^S\left(\phi ,r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2+{\left(1+t\right)}^{-\left(S+\alpha +1\right)}.$ (3.21)

将(3.21)乘以${\left(1+t\right)}^{S+\lambda +\alpha }$ ，得到

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[{\left(1+t\right)}^{S+\lambda +\alpha }{\Vert {\nabla }^S\left(\phi ,r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2\right]+C{\left(1+t\right)}^{S+\lambda +\alpha }{\Vert {\nabla }^{S+1}\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2\\ \lesssim {\left(1+t\right)}^{S+\lambda +\alpha -1}{\Vert {\nabla }^S\left(\phi ,r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2+{\left(1+t\right)}^{\lambda -1}.\end{array}$ (3.22)

将(3.22)从0到t的积分且使用(3.1)，得到

$\begin{array}{l}{\left(1+t\right)}^{S+\lambda +\alpha }{\Vert {\nabla }^S\left(\phi ,r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2+C{\displaystyle {\int }_0^t{\left(1+\tau \right)}^{S+\lambda +\alpha }}{\Vert {\nabla }^{S+1}\left(r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2\text{d}\tau \\ \le {\Vert {\nabla }^S\left({\phi }_0,r_0,\nabla h_0\right)\Vert }_{L^2}^2+C{\displaystyle {\int }_0^t{\left(1+\tau \right)}^{S+\lambda +\alpha -1}}{\Vert {\nabla }^S\left(\phi ,r,\nabla h\right)\Vert }_{L^2}^2\text{d}\tau +C{\displaystyle {\int }_0^t{\left(1+\tau \right)}^{\lambda -1}}\text{d}\tau \\ \lesssim {\left(1+t\right)}^{\lambda }.\end{array}$ (3.23)

将(3.23)乘以${\left(1+t\right)}^{-\lambda }$ ，我们最终推导出(3.10)。

借助引理3.2，我们可以快速推导出定理1.2。

基金项目

国家自然科学基金(项目编号：12101345)；山东省自然科学基金(项目编号：ZR2021QA017)。

NOTES

^*通讯作者。