指数函数族非回归参数的Hausdorff维数

Hausdorff Dimension of Non-Recurrent Parameters in the Exponential Family

摘要: 本文主要探讨指数函数族中一类特殊参数——非回归参数的Hausdorff维数问题，这一研究是在邱维元关于指数函数族逃逸参数的Hausdorff维数为2的重要发现基础上进行的自然延伸与深化。本文旨在证明，在给定的一个固定区域内，指数函数族中非回归且非逃逸参数的集合具有的Hausdorff维数严格小于某个给定的正数。

Abstract: This paper primarily delves into the Hausdorff dimension of a special class of parameters within the exponential family—the non-recurrent parameters. This investigation constitutes a natural extension and deepening of Qiu’s seminal finding that the Hausdorff dimension of escaping parameters of the exponential family is 2. The objective of this paper is to prove that, within a given fixed region, the Hausdorff dimension of the set of non-escaping non-recurrent parameters in the exponential function family is strictly less than a specified positive number.

1. 引言

指数函数$E_{\lambda }\left(z\right)=\lambda {\text{e}}^z\left(\lambda \in ℂ\backslash \left\{0\right\}\right)$ 被认为是最简单的一类超越函数，它的研究在超越动力系统里面备

受关注。先前的研究学者们对于指数函数的参数空间已经进行了大量的探索。参考文献[1]-[5]对指数函数逃逸参数的构造进行了研究，其中参考文献[5]还揭示了Karpińska悖论在指数函数动力平面和参数空间上的普遍性。参考文献[6] [7]研究了三角函数逃逸参数的构造，得到与指数函数逃逸参数类似的结果。此外，参考文献[8]通过构造指数函数逃逸的遍历参数，给我们提供了一个新的视角。然而非逃逸的非回归参数的构造如何，研究相对较少。尽管参考文献[9] [10]涉及了非逃逸的非回归参数，但他们都是针对Lebesgue测度进行的研究。在本文中，我们将利用复分析中的迭代函数理论、Hausdorff维数的估算等方法，研究指数函数非逃逸的非回归参数的Hausdorff维数。我们将具体讨论振荡参数和有界参数的Hausdorff维数。总之，本文的研究不仅是对指数函数逃逸参数的有力补充和深化，也为理解更一般动力系统的复杂性和稳定性提供了新的视角和工具。

2. 符号和基础知识

2.1. 符号

在本文中用$D\left(z,r\right)$ 表示以点z为圆心，r为半径的圆盘；用$D_{\lambda }{E}_{\lambda }\left(z\right)$ 表示指数函数关于$\lambda$ 求导；定义$G_k\left(\lambda \right):=E_{\lambda }^k\left(0\right)$ 。

2.2. Hausdorff维数

为了定量地描述包括非整数值在内的维数，1919年Hausdorff从测量的角度引进了Hausdorff维数的定义。设$h:\left[0,\epsilon \right)\to \left[0,\infty \right)$ 是一个单调增函数，右连续且满足$h\left(0\right)=0$ 。定义

${\mathscr{H}}^h\left(A\right):=\underset{\delta \to 0}{\lim }\inf \left\{{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }h}\left(diam\left(A_j\right)\right):A\subset {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\cup }}{A}_j},diam\left(A_j\right)<\delta \right\}$

称${\mathscr{H}}^h\left(A\right)$ 为集合A在度规函数h下的Hausdorff测度。特别地，设$0\le s\le \infty$ ，当$h^s\left(t\right)=t^s$ 时，则称${\mathscr{H}}^{h^s}\left(A\right)$ 为集合A的s维Hausdorff测度。如果存在$s_0\ge 0$ 使得：当$s<s_0$ 时，${\mathscr{H}}^{h^s}\left(A\right)=\infty$ ；当$s>s_0$ 时，${\mathscr{H}}^{h^s}\left(A\right)=0$ ，则称$s_0$ 为集合A的Hausdorff维数，记为$HD\left(A\right)$ 。

2.3. 非回归参数

整函数奇异值的轨道行为在复动力系统中至关重要。指数函数$E_{\lambda }\left(z\right)=\lambda {\text{e}}^z\left(\lambda \in ℂ\backslash \left\{0\right\}\right)$ 有唯一的奇异值0，所以考虑0的迭代轨道。

定义1 指数函数$E_{\lambda }$ 的后临界集合被定义为

$P\left(E_{\lambda }\right)=\overline{{\displaystyle \underset{n\ge 0}{\cup }{E}_{\lambda }^n}\left(0\right)}$ ，

如果存在一个$\Delta >0$ ，使得

$P\left(E_{\lambda }\right)\cap D\left(0,\Delta \right)=\left\{0\right\}$ ，

则称$E_{\lambda }$ 是$\Delta$ -非回归的。我们称这时的$\lambda$ 为$\Delta$ -非回归参数。

非回归参数有以下三种：

• 逃逸参数：$ℐ=\left\{\lambda :\underset{k\to \infty }{\lim }{E}_{\lambda }^k\left(0\right)=\infty \right\}$ ；

• 有界参数：$ℬ=\left\{\lambda :\overline{\underset{k\to \infty }{\lim }}{E}_{\lambda }^k\left(0\right)<\infty \right\}$ ；

• 振荡参数：$\mathcal{O}=\left\{\lambda :\underset{k\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}{E}_{\lambda }^k\left(0\right)<\infty ,\underset{k\to \infty }{\overline{\lim }}{E}_{\lambda }^k\left(0\right)=\infty \right\}$ 。

2.4. 引理

引理1 设$1<t<2$ ，m是一个确定的常数，则

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{{\left(1+{\left(\frac{n}{m}\right)}^2\right)}^{\frac{t}{2}}}}<\infty$ 。

证明：首先，容易得到

。

接下来只需证明

。

因为

当$1<t<2$ 时，有

设$f\left(s\right)=\frac{1}{s^{\frac{t}{2}}}\frac{1}{\sqrt{s-1}}$ ，因为

$\underset{s\to 1^{+}}{\lim }{\left(s-1\right)}^{\frac{1}{2}}f\left(s\right)=\underset{s\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{s^{\frac{t}{2}}}=1.$

通过瑕积分收敛可以得到

□

参考文献[10]中提供了一个工具，这个工具可以很好地控制参数空间上的扩张。下面两个引理都来自参考文献[10]。

引理2 设${\lambda }_0$ 是非回归的，那么当$r>0$ 足够小时，存在一个全纯移动(holomorphic motion)

$h:D\left({\lambda }_0,r\right)\times P\left(E_{{\lambda }_0}\right)\to ℂ$

使得$h_{{\lambda }_0}$ 是单位映射，$h$ 关于$\lambda$ 解析，关于$z$ 是单射。对于任意$\lambda \in D\left({\lambda }_0,r\right)$ ，有

$h_{\lambda }\circ E_{{\lambda }_0}=E_{\lambda }\circ h_{\lambda }$

对$z\in P\left(E_{{\lambda }_0}\right)$ 成立。此外，存在一个常数$\alpha >0$ 使得

$\left|h_{\lambda }\left(z\right)-z\right|\le \alpha \left|\lambda -{\lambda }_0\right|$

对任意的$z\in P\left(E_{{\lambda }_0}\right)$ 以及$\lambda \in D\left({\lambda }_0,r\right)$ 成立。

引理3 设${\lambda }_0$ 是非回归的。对于任意的$\epsilon >0$ ，存在$N_1>0$ ，$\delta >0$ 以及足够小的$r>0$ ，使得对任意的${\lambda }_1,{\lambda }_2\in D\left({\lambda }_0,r\right)$ ，如果$\left|G_j\left({\lambda }_i\right)-h_{{\lambda }_i}\left(G_j\left({\lambda }_0\right)\right)\right|\le \delta$ 对于$i=1,2$ 以及所有的$0\le j\le k,k\ge N_1$ 成立，那么

$\left|\frac{{G^{\prime }}_j\left({\lambda }_1\right)}{{G^{\prime }}_j\left({\lambda }_2\right)}-1\right|\le \epsilon .$

3. 振荡参数

在这一节我们将证明，对于一个常数M，在竖直线$l_M=\left\{z:\mathrm{Re}z=M\right\}$ 处发生无穷次跳跃的振荡参数的Hausdorff维数小于某个给定的正数。

定义$J_{os}:=\left\{\lambda :\lambda 是振荡的,且\mathrm{Re}\left(E_{\lambda }^k\left(0\right)\right)>\Delta 对所有的k>0都成立\right\}$ 。根据非回归参数的定义，可得$J_{os}$ 中每一个元素都是$\Delta$ -非回归的。设$M>\Delta$ ，定义

$J_{os}\left(M\right):=\left\{\lambda \in J_{os}:\exists N>0以及一列k_i\ge N,使得\mathrm{Re}{E}_{\lambda }^{k_i}\left(0\right)>M且\mathrm{Re}{E}_{\lambda }^{k_i+1}\left(0\right)\le M\right\}$ 。

那么对任意的$M>\Delta$ ，有

$J_{\text{os}}\left(M\right)\subset J_{os}$ 并且$$ ${\displaystyle \underset{M>\Delta }{\cup }{J}_{os}}\left(M\right)\supset J_{os}$ 。

定理1 设$M>\Delta$ 是一个常数，$\Delta >0$ 足够大，那么对于任意的$\delta >0$ ，有$HD\left(J_{\text{os}}\left(M\right)\right)<1+\delta$ 。

证明：设$t=1+\delta$ 。对于一个固定的常数$M>\Delta$ ，定义

$J_{k_i}\left(M\right):=\left\{\lambda \in J_{os}:\mathrm{Re}{E}_{\lambda }^{k_i}\left(0\right)>M,\mathrm{Re}{E}_{\lambda }^{k_i+1}\left(0\right)\le M\right\}.$

回顾$G_k\left(\lambda \right):=E_{\lambda }^k\left(0\right)$ ，接下来证明，当$k\ge 2$ 时，

$\left|{\left(G_k\right)}^{\prime }\left(\lambda \right)\right|\ge {\displaystyle \prod _{j=2}^k\left|E_{\lambda }^j\left(0\right)\right|}$ ， (1)

即证明

$\left|D_{\lambda }\left(E_{\lambda }^k\left(0\right)\right)\right|\ge {\displaystyle \prod _{j=2}^k\left|E_{\lambda }^j\left(0\right)\right|}$ 。

上述不等式可以利用数学归纳法证明。当$k=2$ 时，

$\left|D_{\lambda }\left(E_{\lambda }^2\left(0\right)\right)\right|=\left|{\text{e}}^{\lambda }+\lambda {\text{e}}^{\lambda }\right|\ge \left|E_{\lambda }^2\left(0\right)\right|.$

假设$\left|D_{\lambda }\left(E_{\lambda }^k\left(0\right)\right)\right|\ge {\displaystyle \prod _{j=2}^k\left|E_{\lambda }^j\left(0\right)\right|}$ 成立，那么

$\begin{array}{c}\left|D_{\lambda }\left(E_{\lambda }^{k+1}\left(0\right)\right)\right|=\left|D_{\lambda }\left(\lambda {\text{e}}^{E_{\lambda }^k(0)}\right)\right|\\ =\left|{\text{e}}^{E_{\lambda }^k(0)}+\lambda {\text{e}}^{E_{\lambda }^k(0)}{D}_{\lambda }\left(E_{\lambda }^k\left(0\right)\right)\right|\\ =\left|e^{E_{\lambda }^k(0)}+E_{\lambda }^{k+1}\left(0\right)D_{\lambda }\left(E_{\lambda }^k\left(0\right)\right)\right|\\ \ge {\displaystyle \prod _{j=2}^{k+1}\left|E_{\lambda }^j\left(0\right)\right|}.\end{array}$

设$\lambda \in J_{k_i}\left(M\right)$ ，那么

$\left|E_{\lambda }^{k_i+1}\left(0\right)\right|=\left|\lambda {\text{e}}^{E_{\lambda }^{k_i}(0)}\right|=\left|\lambda \right|{\text{e}}^{Re{E}_{\lambda }^{k_i}(0)}>\left|\lambda \right|{\text{e}}^M.$ (2)

但是$\mathrm{Re}{E}_{\lambda }^{k_i}\left(0\right)>M,\mathrm{Re}{E}_{\lambda }^{k_i+1}\left(0\right)\le M$ ，所以

$\mathrm{Im}{E}_{\lambda }^{k_i+1}\left(0\right)\ge \frac{\left|\lambda \right|{\text{e}}^M}{2}$ 。 (3)

依据(1)和(2)以及引理1，对任意的$\lambda \in J_{k_i}\left(M\right)$ ，有

(4)

其中

因此，当$\Delta$ 足够大时，。

对任意的，(3)表明始终可以找到一个常数以及一个使得

。

考虑集合

用一系列来自集合的矩形覆盖集合，其中是长度为1且互不重叠的矩形所组成的集合。

设，是的一个邻域。设是集合中的一个矩形，且，。 那么存在，当时，在满足引理2和引理3的条件(其中的逆分支被适当的选取)，即对任意的$\epsilon >0$ ，，当时，有

。

这表明对任意的，当时，

。 (5)

因此，通过(4)，(5)可得，当时，

观察发现，当，时，上述不等式右边趋向于0。根据Hausdorff维数的定义，可以得到。又因为，所以。 □

4. 有界参数

在这一节我们将证明，在某一个固定区域中，非回归有界参数的Hausdorff维数小于某个给定的正数。

首先定义，如果对所有的有，且0在迭代下有一个有界迭代轨道。

定理2 设$\Delta >0$ 足够大，那么对于任意的，有。

证明：设，和上文相同，回顾。根据(1)式和引理1得出，对任意的，

(6)

其中

。

因此，当足够大时，。

对于任意的，都可以找到一个，使得

。

对于这个有界集，始终存在，使得

。

下面这部分与第三节讨论类似。设，是${\lambda }_0$ 的一个邻域。设，。那么存在，当时，在上满足引理2和引理3的条件(其中的逆分支被适当的选取)，即对任意的，，当时，有

。

这表明对任意的，当时，

(7)

因此，通过(6)，(7)可得，当时，

当，上述不等式右边趋向于0。根据Hausdorff维数的定义，可以得到。□

致 谢

作者衷心感谢崔巍巍提供的宝贵意见，同时我们也衷心感谢山西省基础研究计划(202103021224069)的支持。

NOTES

^*通讯作者。