基于复合泊松过程的新疆火车站客流量分析

Passenger Flow Analysis of Xinjiang Railway Station Based on Compound Poisson Process

摘要: 本文利用客流量分析系统研究了新疆火车站在t时间内客流量的数学模型。火车依参数为λ的泊松过程进入车站，每辆火车承载的乘客数量作为一族独立同分布的随机变量，在t时间内火车站的客流量是一个复合泊松过程。根据随机过程的相关知识分析新疆火车站在t时间内客流量的数字特征，所得结论可对新疆客运提供一定的借鉴与参考。

Abstract: This paper studies the mathematical model of the passenger flow of Xinjiang Railway Station in t time by using the passenger flow analysis system. The train enters the station according to the Poisson process with parameter λ, and the number of passengers carried by each train is regarded as an independent and equally distributed random variable . The passenger flow of the railway station in time t is a compound Poisson process. According to the relevant knowledge of stochastic processes, the numerical characteristics of passenger flow at Xinjiang Railway Station in t time are analyzed, and the conclusions can provide some references for passenger transport at Xinjiang Prefecture.

1. 引言

火车站客流量是衡量火车站规模大小的重要指标。反映为火车站在一定时间内，乘客到达和离开的人数总量，一般以人次为单位。

地处中国西部的新疆铁路车站为出入新疆的旅客提供了便利的服务。通过对新疆火车站客流量的数据统计预测方法的介绍，进行客流量的科学预测，可为新疆火车站的各类消费服务，资源，车辆调度，安全保障提供可靠依据。

2. 基本假设

定义1：称计数过程，为具有参数的泊松过程，如果满足下列条件[1]：

(1)

(2) 是独立平稳增量过程

(3)

(4)

定义2：设为参数是的泊松过程，如果，其中为独立同分布随机序列且与独立，则称为复合泊松过程[2]。

3. 主要结论

3.1. 火车到站为一个泊松过程

设为内火车进站的数量，显然只能取非负整数值，且，具有如下性质：

(1) 是独立平稳增量过程，其中的大小只与区间的长度有关，而与时间起点无关。且在不相同的时间间隔内到达的车辆数是相互独立的。

(2) 在同一时刻车辆到达车站数量为两辆或两辆以上的概率为0。

3.2. 火车站客流量为一个复合泊松过程

时间t内，火车站客流量是一个复合泊松过程。

令表示一辆到站火车的载客量，假设是具有相同分布的泊松分布的随机变量，其中。

3.3. 火车站到站乘客消费量为一个二重复合泊松过程

时间t内，火车站内到站乘客的消费量可看作一个二重复合泊松过程， [3]。

其中是一个复合泊松过程。令表示一辆火车到站时的载客数量。令表示一辆火车上的一位乘客的消费量。假定是满足相同分布的泊松分布的随机变量序列。

3.4. 复合泊松过程的数字特征

定理1 [1]-[5]：若是参数为的泊松过程，则复合泊松过程具有如下数字特征：

(1) 特征函数为

(2) 矩母函数为

(3) 均值函数为

(4) 方差函数为

证明：(1) 时间内新疆火车站客流量。本文根据特征函数的性质来分析新疆火车站的数字特征。

的特征函数为。其中是随机变量的特征函数；是单位时间内火车到站的平均个数；

(1)

由于与，是相互独立的，则：

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }E\left[\frac{\exp \left(iu{\displaystyle \sum _{k=1}^n{X}_k}\right)}{N\left(t\right)=n}\right]}\cdot {\text{e}}^{-\lambda t}{\frac{\left(\lambda t\right)}{n!}}^n\\ ={\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }E\left[\exp \left(iu{\displaystyle \sum _{k=1}^n{X}_k}\right)\right]}\cdot {\text{e}}^{-\lambda t}{\frac{\left(\lambda t\right)}{n!}}^n\end{array}$

$\begin{array}{c}={{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left[g_X\left(u\right)\right]}}^n\cdot {\text{e}}^{-\lambda t}{\frac{\left(\lambda t\right)}{n!}}^n\\ ={\text{e}}^{-\lambda t}{{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{\left[\lambda t{g}_X\left(u\right)\right]}{n!}}}^n\\ =\exp \left\{\lambda t\left[g_X\left(u\right)-1\right]\right\}.\end{array}$ (2)

(2) 同理可得矩母函数${\phi }_{Y\left(t\right)}\left(u\right)=\exp \left\{\lambda t\left[{\phi }_X\left(u\right)-1\right]\right\}$ 。

(3) 由特征函数与矩的关系可得数学期望为：

$E\left[Y\left(t\right)\right]={-j\frac{\text{d}{g}_Y\left(u\right)}{\text{d}u}|}_{u=0}=-j\lambda t{\frac{\text{d}{g}_X\left(u\right)}{\text{d}u}{\text{e}}^{\lambda t\left[g_X\left(u\right)-1\right]}|}_{u=0}$ . (3)

因为${-j\frac{\text{d}{g}_Y\left(u\right)}{\text{d}u}|}_{u=0}=E\left[X_1\right],g_Y\left(0\right)=1$ ，所以$E\left[Y\left(t\right)\right]=\lambda tE\left[X_1\right]$ 。

(4) 均方值为：

$\begin{array}{c}E\left[Y^2\left(t\right)\right]={-\frac{{\text{d}}^2{g}_Y\left(u\right)}{\text{d}{u}^2}|}_{u=0}\\ ={-\left\{{\left[\lambda t\frac{\text{d}{g}_X\left(u\right)}{du}\right]}^2{\text{e}}^{\lambda t\left[g_X\left(u\right)-1\right]}+\lambda t\frac{{\text{d}}^2{g}_X\left(u\right)}{\text{d}{u}^2}{\text{e}}^{\lambda t\left[g_X\left(u\right)-1\right]}\right\}|}_{u=0}\\ ={\left(\lambda t\right)}^2{E}^2\left[X\right]+\lambda tE\left[X^2\right].\end{array}$ (4)

故$\mathrm{var}\left[Y\left(t\right)\right]=E^2\left[Y\left(t\right)\right]+\lambda tE\left[Y^2\left(t\right)\right]=\lambda tE\left[X_1^2\right]$ 。

3.5. 新疆火车站客流量的特性

t时间内新疆火车站客流量$Y\left(t\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{N\left(t\right)}X\left(n\right)}$ 是一个复合泊松过程。火车进出车站为一个参数为$\lambda$ 的泊松过程，而每辆火车的载客量为随机变量$\left\{X_n,n=1,2,\cdots \right\}$ 。

① $X_n=1$ 时，$Y\left(t\right)=N\left(t\right)$ ，$Y\left(t\right)$ 退化为一个齐次泊松过程。

② $X_n=n$ (n为任意的自然数)，有$Y\left(t\right)=nN\left(t\right)$ ，此时，复合泊松过程$Y\left(t\right)$ 可看作一个广义泊松过程。

从中可见单一的泊松过程是复合泊松过程的一种特殊情况，在实际情况中，由于进出火车站的每辆火车的载客量不同，存在旅客是否按时上车和其他因素的影响，所以$\left\{X_n,n=1,2,\cdots \right\}$ 取为随机变量是合理的。

定理2 [1]：t时间内新疆火车站客流量$Y\left(t\right)$ 是一个复合泊松过程，有：$Y\left(t\right)$ 是独立增量过程。

证明：设$0\le t_0<t_1<t_2$ ，由$\left\{N\left(t\right),t\ge 0\right\}$ 和$X_n,\left(n=1,2,\cdots \right)$ 相互独立，则$\forall x_1,x_2\in R$ ，都有：

$\begin{array}{c}P\left\{Y\left(t_1\right)-Y\left(t_0\right)<x_1,Y\left(t_2\right)-Y\left(t_1\right)<x_2\right\}\\ =P\left\{{\displaystyle \underset{0\le i_0\le i_1\le i_2}{\cup }\left\{N\left(t_0\right)=i_0,N\left(t_1\right)=i_1,N\left(t_2\right)=i_2\right\},Y\left(t_1\right)-Y\left(t_0\right)<x_1,Y\left(t_2\right)-Y\left(t_1\right)<x_2}\right\}\\ ={\displaystyle \sum _{0\le i_0\le i_1\le i_2}P\left\{N\left(t_0\right)=i_0,N\left(t_1\right)=i_1,{\displaystyle \sum _{n=i_0+1}^{i_1}{X}_n<x_1},N\left(t_1\right)=i_1,N\left(t_2\right)=i_2,{\displaystyle \sum _{n=i_1+1}^{i_2}{X}_n<x_2}\right\}}\end{array}$

$\begin{array}{c}={\displaystyle \sum _{0\le i_0\le i_1\le i_2}P\left\{N\left(t_1\right)-N\left(t_0\right)=i_1-i_0,{\displaystyle \sum _{n=i_0+1}^{i_1}{X}_n<x_1},N\left(t_2\right)-N\left(t_1\right)=i_2-i_1,{\displaystyle \sum _{n=i_1+1}^{i_2}{X}_n<x_2}\right\}}\\ ={\displaystyle \sum _{0\le i_0\le i_1\le i_2}P\left\{N\left(t_1\right)-N\left(t_0\right)=i_1-i_0,{\displaystyle \sum _{n=i_0+1}^{i_1}{X}_n<x_1}\right\}}\cdot P\left\{N\left(t_2\right)-N\left(t_1\right)=i_2-i_1,{\displaystyle \sum _{n=i_1+1}^{i_2}{X}_n<x_2}\right\}\\ ={\displaystyle \sum _{0\le i_0\le i_1}P\left\{N\left(t_1\right)-N\left(t_0\right)=i_1-i_0,{\displaystyle \sum _{n=i_0+1}^{i_1}{X}_n<x_1},\right\}}\cdot {\displaystyle \sum _{0\le i_1\le i_2}P\left\{N\left(t_2\right)-N\left(t_1\right)=i_2-i_1,{\displaystyle \sum _{n=i_1+1}^{i_2}{X}_n<x_2}\right\}}\\ =P\left\{Y\left(t_1\right)-Y\left(t_0\right)<x_1,\right\}\cdot P\left\{Y\left(t_2\right)-Y\left(t_1\right)<x_2\right\}.\end{array}$ (5)

同理，$\forall 0\le t_1<t_2<\cdots <t_n,\forall x_1,x_2,\cdots ,x_n\in R$ ，有：

$\begin{array}{c}P\left\{Y\left(t_1\right)-Y\left(t_0\right)<x_1,\right\}\cdot P\left\{Y\left(t_2\right)-Y\left(t_1\right)<x_2\right\}\\ =P\left\{Y\left(t_1\right)-Y\left(t_0\right)<x_1,Y\left(t_2\right)-Y\left(t_1\right)<x_2,\mathrm{...},Y\left(t_n\right)-Y\left(t_{n-1}\right)<x_n\right\}\\ =P\left\{Y\left(t_1\right)-Y\left(t_0\right)<x_1\right\}\cdot P\left\{Y\left(t_2\right)-Y\left(t_1\right)<x_2\right\}\cdot \mathrm{...}\cdot P\left\{Y\left(t_n\right)-Y\left(t_{n-1}\right)<x_n\right\}.\end{array}$ (6)

即得$\left\{Y\left(t\right),t\ge 0\right\}$ 是独立增量过程。

定理3 [1]：$t$ 时间内新疆火车站客流量$Y\left(t\right)$ 是一个复合泊松过程，$Y\left(t\right)$ 是平稳增量过程。

证明：$\left\{Y\left(t\right),t\ge 0\right\}$ 是平稳增量过程，只需证$0\le s<t$ ，$Y\left(t\right)-Y\left(s\right)$ 的特征函数是$t-s$ 的函数。

$\begin{array}{c}\phi \left(u\right)=E\left({\text{e}}^{iu\left(Y\left(t\right)-Y\left(s\right)\right)}\right)\\ =E\left[E\left(\frac{{\text{e}}^{iu\left(Y\left(t\right)-Y\left(s\right)\right)}}{N\left(t\right)-N\left(s\right)}\right)\right]\\ ={\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }E\left(\frac{{\text{e}}^{iu\left(Y\left(t\right)-Y\left(s\right)\right)}}{N\left(t\right)-N\left(s\right)=k}\right)}\cdot P\left\{N\left(t\right)-N\left(s\right)=k\right\}\\ ={\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }E\left(\frac{{\text{e}}^{iu{\displaystyle \sum _{l=N\left(s\right)+1}^{N\left(t\right)}{x}_l}}}{N\left(t\right)-N\left(s\right)=k}\right)}\cdot P\left\{N\left(t\right)-N\left(s\right)=k\right\}\\ ={\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }E\left({\text{e}}^{iu{\displaystyle \sum _{j=1}^k{x}_j}}\right)}\cdot P\left\{N\left(t\right)-N\left(s\right)=k\right\}\\ ={\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{g}^k\left(u\right)}\frac{{\left(\lambda \left(t-s\right)\right)}^k}{k!}{\text{e}}^{-\lambda \left(t-s\right)}\\ ={\text{e}}^{-\lambda \left(t-s\right)}\cdot {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\left(\lambda g\left(u\right)\left(t-s\right)\right)}^k}{k!}}\\ ={\text{e}}^{-\lambda \left(t-s\right)}{\text{e}}^{\lambda g\left(u\right)\left(t-s\right)}\\ ={\text{e}}^{\lambda \left(t-s\right)\left(g\left(u\right)-1\right)}.\end{array}$ (7)

其中$g\left(u\right)$ 是$X_n,\left(n=1,2,\cdots \right)$ 的特征函数，以上即可得到$\left\{Y\left(t\right),t\ge 0\right\}$ 是平稳增量过程。

4. 结束语

本文通过对复合泊松过程的相关知识进行分析，将新疆火车站在t时间内的客流量看做一个复合泊松过程模型，在给定参数λ的情况下，得到t时间内新疆火车站客流量的概率分布，从而预测新疆火车站客流量以及到站乘客消费总额。通过上述分析，可为车站工作人员对旅客等候时间的消费服务以及火车进出车站安排等提供参考依据。