含有较少非线性不可约特征标核的有限幂零群

Finite Nilpotent Groups with Few Nonlinear Irreducible Characters

摘要: 有限群不可约特征标核的性质对群结构有重要影响。本文分类了非线性不可约特征标核个数至多为3的有限幂零群。

Abstract: The properties of irreducible character kernels heavily influence the structure of finite groups. Finite nilpotent groups having at most three nonlinear irreducible characters are classified.

1. 引言

设G为有限群，符号$Irr\left(G\right)$ 和$Ir{r}_1\left(G\right)$ 分别表示群G的不可约特征标和非线性不可约特征标组成的集合。近年来，针对非线性不可约及非线性非忠实不可约特征标的研究在揭示群性质与结构方面取得了显著进展。这些研究深入探索了这些特征标如何影响群的本质属性，推动了相关领域的知识拓展。Berkovich和Zhmud在[1]中用符号$Kern\left(G\right)$ 表示群G的非线性不可约特征标核组成的集合，并提出了如何刻画满足条件$\left|Kern\left(G\right)\right|\le 3$ 的群结构的问题。2008年，钱国华和王燕鸣[2]分类了$Kern\left(G\right)$ 中元素具有包含关系的链的有限p-群。2012年，Doostie和Saeidi [3]刻画了$\left|Kern\left(G\right)\right|\le 3$ 的有限p-群G的结构。2023年，李璞金和张勤海[4]使用不同的方法也分类了$\left|Kern\left(G\right)\right|\le 3$ 的有限p-群，并且他们给出了任意有限群G，集合$Kern\left(G\right)$ 的一些性质。

此外，从另一个角度，群G的非线性非忠实不可约特征标的数量也影响着集合$Kern\left(G\right)$ 的阶。例如，若群G仅含有0个非线性非忠实不可约特征标，即G的其余非线性不可约特征标均为忠实特征标，则G满足$Kern\left(G\right)=\left\{1\right\}$ ，我们称之J₀-群并对这类群进行了刻画。此外，由于群G的所有非线性非忠实不可约特征标核的交为1，因此这进一步限定了G的性质。特别地，在2014年，Saeidi [5]研究了仅含有一个非线性非忠实不可约特征标的可解群，探讨了这类群的特殊性质。同理，如果群G含有2，3个非线性非忠实不可约特征标，则$\left|Kern\left(G\right)\right|\le 3$ ，本文将继续探讨含有较少非线性不可约特征标核的有限群的结构。具体地，本文刻画了非线性不可约特征标核的个数至多为3的有限幂零群的结构，主要定理及证明见下文。

2. 相关引理

引理1 [1] 设G是有限群，G是J₀-群当且仅当$G^{\prime }$ 是G的唯一的极小正规子群，且下列结论成立：

(1) G是一个p-群，$Z\left(G\right)$ 循环，其中p是素数；

(2) G是Frobenius群；

(3) G是不可解群。

引理2 [1] 设p-群G只含有3个非线性不可约特征标当且仅当下列条件之一成立：

(1) $\left|G\right|=2^5$ ，$z_0=2$ ，$\left|G^{\prime }\right|=4$ ，$z_1=6$ ；

(2) G是16阶二面体群、16阶广义四元数群或16阶半二面体群；

(3) G是$2^{2m}$ 阶特殊2-群，其中m是正整数，$z_1=0$ 且$\left|Z\left(G\right)\right|=4$ 。

引理3 [2] 设G是有限非交换p-群，则下列条件等价：

(1) $Kern\left(G\right)$ 是一个具有包含关系的链；

(2) 如果$N⊲G$ ，$N<G^{\prime }$ ，则$N\in Kern\left(G\right)$ ；

(3) G是下列群之一

(ⅰ) G是极大类群；

(ⅱ) $G^{\prime }$ 是G的唯一的极小正规子群；

(4) $Kern\left(G\right)\subseteq N\left(G\right)且N\left(G\right)=\left\{\underset{H\in T}{\cap }|T\subseteq Kern\left(G\right)\right\}$ 。

引理4 [3] 设G是p-群，令$\left|Kern\left(G\right)\right|=t$ ，则下列结论成立：

(1) $t=1$ 当且仅当$\left|G^{\prime }\right|=p$ ，以及$Z\left(G\right)$ 循环；

(2) $t=2$ 当且仅当下列陈述之一成立：

(ⅰ) G是极大类$p^4$ 阶群；

(ⅱ) $\left|G^{\prime }\right|=2$ ，$Z\left(G\right)\cong C_2\times C{}_{2^r}\left(r\ge 1\right)$ ，且当$r\ge 1$ 时，成立$G^{\prime }\le \Phi \left(Z\left(G\right)\right)$ ，

$\Phi \left(Z\left(G\right)\right)$ 是$Z\left(G\right)$ 的Frattini子群。

引理5 [4] 如果$\left|Kern\left(G\right)\right|=m$ ，$\left|N\left(G\right)\right|=n$ ，称有限群为K(m, n)-群，其中符号$N\left(G\right)$ 表示G不含$G^{\prime }$ 的正规子群组成的集合。

引理6 [6] 令G为$p^n$ 阶群，$n\ge 2$ 。称群G为极大类p-群，如果G的幂零类$c\left(G\right)=n-1$ 。

3. 主要定理及证明

定理1 设G是幂零群，则$\left|Kern\left(G\right)\right|=2$ 当且仅当以下情况之一发生：

(1) G是$p^4$ 阶群，且$c\left(G\right)=3$ 。

(2) G是2-群，$\left|G^{\prime }\right|=2$ 且$Z\left(G\right)\cong C_2\times C{}_{2^r}\left(r\ge 1\right)$ ，且当$r\ge 1$ ，成立$G^{\prime }\le \Phi \left(Z\left(G\right)\right)$ 。

(3) $G=H\times K$ ，H是一个J₀-p-群，且K是q阶循环群，$p,q$ 是不同素数。

$Kern\left(G\right)=\left\{1,K\right\}=N\left(G\right)$ ，G为K(2, 2)-群。

证明：G是$\left|Kern\left(G\right)\right|=2$ 的幂零群，如果G是一个p-群，根据引理4可得(1)，(2)。反之，G是一个幂零群。设G是一个非可换幂零群且$G=H\times K$ ，G非可换，则H和K不可能均可换，不妨设H不可换，任取$\phi \in Irr\left(H\right)$ ，可以得到$1_K\times \phi$ 是G的非线性非忠实不可约特征标，即$ker\left(1_K\times \phi \right)\ne 1$ ，且

$ker{\chi }_1=ker\left(1_K\times \phi \right)=K\times ker\phi \in Kern\left(G\right)$

由于$\left|Kern\left(G\right)\right|=2$ ，则此时$Kern\left(G\right)=\left\{ker\left(1_K\times \phi \right),ker{\chi }_2\right\}$ 。

接下来考虑K不可换和K可换。

(Ⅰ) 若K不可换，则任取$\psi \in Irr\left(K\right)$ ，可以得到$ker\left(1_H\times \phi \right)\ne 1$ ，且

$ker{\chi }_2=ker\left(1_H\times \psi \right)=H\times ker\psi \in Kern\left(G\right)$

又由$G=H\times K$ ，得到G的非线性不可约特征标$ker\left(\phi \times \psi \right)\in Kern\left(G\right)$ ，且$H\ne ker\phi$ ，则此时$Kern\left(G\right)=\left\{ker{\chi }_1=K\times ker\phi ,ker{\chi }_2=ker\psi \times H,ker\left(\phi \times \psi \right)\right\}$ 。即$\left|Kern\left(G\right)\right|=3$ ，与$\left|Kern\left(G\right)\right|=2$ 矛盾，故此种情况不存在。

(Ⅱ) 若K可换，已知$K\times ker\phi \in Kern\left(G\right)$ ，不妨设$Kern\left(G\right)=\left\{K\times ker\phi ,ker{\chi }_2\right\}$ ，任取K的非主不可约特征标$\alpha$ ，得$ker{\chi }_2=ker\left(\alpha \times \phi \right)\in Kern\left(G\right)$ ，则此时

$Kern\left(G\right)=\left\{K\times ker\phi ,ker{\chi }_2=ker\left(\alpha \times \phi \right)\right\}$ 。

接下来讨论$ker\left(\alpha \times \phi \right)=1$ 和$ker\left(\alpha \times \phi \right)\ne 1$ 两种情况。

(ⅰ) 若$ker\left(\alpha \times \phi \right)=1$

设G是幂零群。且$\left(\left|H\right|,\left|K\right|\right)=1$ ，则有$ker\left(\alpha \times \phi \right)=ker\alpha \times ker\phi =1$ ，迫使$ker\alpha =1$ ，$ker\phi =1$ ，则可得$\phi$ 是H唯一的非线性不可约特征标。若否，令${\phi }^{\prime }\in Irr\left(H\right)$ 且${\phi }^{\prime }\ne \phi$ 。由$K\le ker\left(\phi \times 1_k\right)$ ，$K\le ker\left({\phi }^{\prime }\times 1_k\right)$ ，得$ker\left(\phi \times 1_k\right)\ne 1$ ，$ker\left({\phi }^{\prime }\times 1_k\right)\ne 1$ ；由$G=H\times K$ ，有$\phi \times \alpha ,{\phi }^{\prime }\times \alpha$ 是群G的非线性不可约特征标，此时

$ker\left(\phi \times 1_k\right)\in Kern\left(G\right)$ ，$ker\left({\phi }^{\prime }\times 1_k\right)\in Kern\left(G\right)$

$ker\left(\phi \times \alpha \right)\in Kern\left(G\right)$ ，$ker\left({\phi }^{\prime }\times \alpha \right)\in Kern\left(G\right)$ 。

若$ker{\phi }^{\prime }\ne ker\phi$ ；则

$ker\left(\phi \times 1_k\right)\ne ker\left({\phi }^{\prime }\times 1_k\right)$ ，$ker\left({\phi }^{\prime }\times \alpha \right)\ne ker\left(\phi \times \alpha \right)$ 。

即$\left|Kern\left(G\right)\right|=4$ ，与$\left|Kern\left(G\right)\right|=2$ ，矛盾。故只能有$ker\phi =ker{\phi }^{\prime }=1$ ，因此$\phi$ 是H唯一的非线性不可约特征标且忠实。且K任意的非主不可约特征标也是忠实的。若否，存在K的非主不可约特征标$\beta$ 是非忠实的，且$\beta \ne \alpha$ 。则可以得到$\beta \times \phi$ 是群G的非线性不可约特征标，$ker\left(\beta \times \phi \right)\in Kern\left(G\right)$ ，此时

$Kern\left(G\right)=\left\{K\times ker\phi ,ker\left(\alpha \times \phi \right),ker\left(\beta \times \phi \right)\right\}$ 。

即$\left|Kern\left(G\right)\right|=3$ ，与$\left|Kern\left(G\right)\right|=2$ ，矛盾。

综上可得，H的非线性不可约特征标均忠实，即$\left|Kern\left(H\right)\right|=1$ ，H是J₀-群，且K任意的非主不可约特征标也是忠实的，即$K\cong C_q$ ，q是素数。又因为G是幂零群，$\left(\left|H\right|,\left|K\right|\right)=1$ ，它的阶至少有两个不同的素数，及引理1可得H是一个J₀-p-群，且K是q阶循环群，$p,q$ 是不同素数；此时$Kern\left(G\right)=\left\{1,K\right\}=N\left(G\right)$ ；G是K(2, 2)-群。

(ⅱ) 若$ker\left(\alpha \times \phi \right)\ne 1$

可以断言出$\phi$ 是H唯一的非线性不可约特征标，由于群的所有非线性不可约特征标核之交为1，故$ker\phi =1$ 。此时

$ker\left(\alpha \times \phi \right)=ker\alpha \times ker\phi =ker\alpha \ne 1$ ，$Kern\left(G\right)=\left\{K,ker\left(\alpha \times \phi \right)\right\}$

即K的非主线性不可约特征标非忠实，由于$1\ne ker\alpha \subseteq ker\left(\alpha \times \phi \right)$ 且$ker\alpha ⊲K$ ，所以$ker\left(\alpha \times \phi \right)$ 包含K中的非单位元，则$ker\left(\alpha \times \phi \right)\cap K\ne 1$ 。但由于$\left|Kern\left(G\right)\right|=2$ ，G的所有非线性不可约特征标核之交为1，故$ker\left(\alpha \times \phi \right)\cap K=1$ ，矛盾。所以K的非主线性不可约特征标忠实，即$ker\alpha =1$ ，此时$ker\left(\alpha \times \phi \right)=1$ ，矛盾。因此这种情况不存在。

定理2 设G是幂零群，则$\left|Kern\left(G\right)\right|=3$ 当且仅当以下情况之一发生

(1) G是p⁵阶极大类p-群，且$c\left(G\right)=4$ 。

(2) $G=H\times K$ ，$\left|Kern\left(G\right)\right|=3$ ，则有下列情况发生

(ⅰ) H和K不可换，K为J₀-p-群，H为J₀-q-群，$p,q$ 是不同的素数；$Kern\left(G\right)=\left\{1,H,K\right\}=N\left(G\right)$ ；G为K(3, 3)-群。

(ⅱ) $1\in Kern\left(G\right)$ ，K为J₀-p-群，H为$q^2$ 阶循环群，$p,q$ 是不同的素数；$Kern\left(G\right)=\left\{1,H,N\right\}=N\left(G\right)$ ，其中$1\ne N<H$ ；G为K(3, 3)-群。

证明(1)因为G是幂零群，故考虑G是p-群时。设G是有限p-群，由引理3知G是极大类群或$G^{\prime }$ 是G的唯一的极小正规子群，根据引理1知若G是G的唯一的极小正规子群当且仅当G是J₀-群，即G的所有非线性不可约特征标均忠实，$\left|Kern\left(G\right)\right|=1$ ，与$\left|Kern\left(G\right)\right|=3$ 矛盾。故G是极大类p-群。由引理6知$c\left(G\right)=4$ 。

(2) 因为$\left|Kern\left(G\right)\right|=3$ ，所以G不可换，则H和K不可能均可换。不妨设K不可换，任取$\psi \in Irr\left(K\right)$ ，由$H\le ker\left(1_H\times \psi \right)$ ，可以得到$1_H\times \psi$ 是群G的非线性非忠实不可约特征且$ker\left(1_H\times \psi \right)=H\times ker\psi \in Kern\left(G\right)$ 。

接下来分别对H不可换和H可换进行讨论。

(Ⅰ) 若H不可换，则任取$\phi \in Irr\left(H\right)$ ，由$K\le ker\left(1_K\times \phi \right)$ ，得到$ker\left(1_K\times \phi \right)\ne 1$ ，且$ker\left(1_K\times \phi \right)=K\times ker\phi \in Kern\left(G\right)$ 。又由$G=H\times K$ 得到$ker\left(\psi \times \phi \right)\in Kern\left(G\right)$ ，且G幂零及$\left(\left|K\right|,\left|H\right|\right)=1$ ，有$ker\left(\psi \times \phi \right)=ker\psi \times ker\phi \in Kern\left(G\right)$ 且$ker\psi \ne K,ker\phi \ne H$ 。此时有$Kern\left(G\right)=\left\{H\times ker\psi ,K\times ker\phi ,ker\left(\psi \times \phi \right)\right\}$ 。

接下来讨论$ker\left(\psi \times \phi \right)$ 。

(ⅰ) 若$ker\left(\psi \times \phi \right)=1$ ，由于G是幂零群，$\left(\left|K\right|,\left|H\right|\right)=1$ ，则

$ker\left(\psi \times \phi \right)=ker\psi \times ker\phi =1$ .

这使得$ker\psi =1$ ，$ker\phi =1$ ，即K和H的非线性不可约特征标$\psi ,\phi$ 是忠实的，可以断言K和H的非线性不可约特征标均忠实。若否，设${\psi }^{\prime }\in Irr\left(K\right)$ 且$\psi \ne {\psi }^{\prime }$ ，由于$H\le ker\left(\psi \times 1_H\right)$ ，$H\le ker\left({\psi }^{\prime }\times 1_H\right)$ ，则可得$ker\left(\psi \times 1_H\right)\ne 1$ ，$ker\left({\psi }^{\prime }\times 1_H\right)\ne 1$ ；由$G=H\times K$ ，可以得到$\psi \times \phi ,{\psi }^{\prime }\times \phi$ 是G的非线性不可约特征标，此时

$ker\left(\psi \times \phi \right)\in Kern\left(G\right)$ ，$ker\left({\psi }^{\prime }\times \phi \right)\in Kern\left(G\right)$

$ker\left(\psi \times 1_H\right)\in Kern\left(G\right)$ ，$ker\left({\psi }^{\prime }\times 1_H\right)\in Kern\left(G\right)$ 。

当$ker\psi \ne ker{\psi }^{\prime }$ ，有$\left|Kern\left(G\right)\right|=4$ ，与$\left|Kern\left(G\right)\right|=3$ 矛盾；故只能有$ker\psi =ker{\psi }^{\prime }$ 且$ker\psi =1$ ，即K的任意非线性不可约特征标均忠实。同理可证，H的任意非线性不可约特征标均忠实。故K为J₀-群，H为J₀-群，且G幂零，由引理1可得K为J₀-p-群，H为J₀-q-群，$p,q$ 是不同的素数；此时$Kern\left(G\right)=\left\{1,H,K\right\}=N\left(G\right)$ ；G为K(3, 3)-群。

(ii) 若$ker\left(\psi \times \phi \right)\ne 1$ ，可以断言K和H任意的非线性不可约特征标均忠实。若否，设${\psi }^{\prime }\in Irr\left(K\right)$ 且$\psi \ne {\psi }^{\prime }$ ，由于$H\le ker\left(\psi \times 1_H\right)$ ，$H\le ker\left({\psi }^{\prime }\times 1_H\right)$ ，则可得$ker\left(\psi \times 1_H\right)\ne 1$ ，$ker\left({\psi }^{\prime }\times 1_H\right)\ne 1$ ；又由$G=H\times K$ ，可以得到$\psi \times \phi ,{\psi }^{\prime }\times \phi$ 是G的非线性不可约特征标，此时

$ker\left(\psi \times \phi \right)\in Kern\left(G\right)$ ，$ker\left({\psi }^{\prime }\times \phi \right)\in Kern\left(G\right)$

$ker\left(\psi \times 1_H\right)\in Kern\left(G\right)$ ，$ker\left({\psi }^{\prime }\times 1_H\right)\in Kern\left(G\right)$

若$ker\psi \ne ker{\psi }^{\prime }$ ，有$\left|Kern\left(G\right)\right|=4$ ，与$\left|Kern\left(G\right)\right|=3$ 矛盾；故只能有$ker\psi =ker{\psi }^{\prime }$ 且$ker\psi =1$ ，即K的任意非线性不可约特征标均忠实。同理可证，H的任意非线性不可约特征标均忠实。因此对$\forall \psi \in Irr\left(K\right)$ ，$\forall \psi \in Irr\left(K\right),\forall \phi \in Irr\left(H\right)$ ，有$ker\psi =1$ ，$ker\phi =1$ ，此时$ker\left(\phi \times \psi \right)=ker\phi \times ker\psi =1$ 与$ker\left(\psi \times \phi \right)\ne 1$ ，矛盾。故此种情况不存在。

(Ⅱ) H可换，已知$H\times ker\phi \in Kern\left(G\right)$ ，不妨设

$Kern\left(G\right)=\left\{ker{\chi }_1=H\times ker\psi ,ker{\chi }_2,ker{\chi }_3\right\}$

其中${\chi }_1,{\chi }_2,{\chi }_3\in Irr\left(G\right)$ ，接下来分别讨论$1\in Kern\left(G\right)$ 和$1\notin Kern\left(G\right)$ 。

(ⅰ) 若$1\in Kern\left(G\right)$ ，不妨设$ker{\chi }_2=1$ 。因为H可换，设$\lambda$ 是H的非主线性不可约特征标，记${\chi }_2=\lambda \times \psi$ ，可得$\lambda \times \psi$ 是G的非线性忠实不可约特征标，则

$ker\left(\lambda \times \psi \right)=ker\lambda \times ker\psi =1$ ，有$ker\lambda =1$ ，$ker\psi =1$ ，

可得H存在非主忠实线性特征标$\lambda$ ；对$\forall \psi \in Irr\left(K\right)$ ，K的非线性不可约特征标均忠实。若否，设${\psi }^{\prime }\in Irr\left(K\right)$ 且$\psi \ne {\psi }^{\prime }$ ，由于$H\le ker\left(\psi \times 1_H\right)$ ，$H\le ker\left({\psi }^{\prime }\times 1_H\right)$ ，则可得$ker\left(\psi \times 1_H\right)\ne 1$ ，$ker\left({\psi }^{\prime }\times 1_H\right)\ne 1$ ；由$G=H\times K$ ，可以得到$\psi \times \phi ,{\psi }^{\prime }\times \phi$ 是G的非线性不可约特征标，此时

$ker\left(\psi \times \phi \right)\in Kern\left(G\right)$ ，$ker\left({\psi }^{\prime }\times \phi \right)\in Kern\left(G\right)$

$ker\left(\psi \times 1_H\right)\in Kern\left(G\right)$ ，$ker\left({\psi }^{\prime }\times 1_H\right)\in Kern\left(G\right)$ 。

若$ker\psi \ne ker{\psi }^{\prime }$ ，有$\left|Kern\left(G\right)\right|=4$ ，与$\left|Kern\left(G\right)\right|=3$ 矛盾；故只能有$ker\psi =ker{\psi }^{\prime }$ 且$ker\psi =1$ ，故K的任意非线性不可约特征标均忠实，即$\left|Kern\left(K\right)\right|=1$ ，K是J₀-群，由引理1可得K为J₀-p-群。因为$\left|Kern\left(G\right)\right|=3$ ，所以H一定存在非主非忠实不可约特征标，且H的非主非忠实不可约特征标的核均相等。若否，设H的非主非忠实不可约特征标均${\alpha }_1,{\alpha }_2$ ，有$ker{\alpha }_1\ne ker{\alpha }_2$ ，则可以得到${\alpha }_1\times \psi ,{\alpha }_2\times \psi$ 是G的非线性非忠实不可约特征标，即

$1\ne ker\left({\alpha }_1\times \psi \right)\in Kern\left(G\right)$ ，$1\ne ker\left({\alpha }_2\times \psi \right)\in Kern\left(G\right)$ 。

又$ker\left({\alpha }_1\times \psi \right)=ker{\alpha }_1\times ker\psi$ ，$ker\left({\alpha }_2\times \psi \right)=ker{\alpha }_2\times ker\psi$ ，

且$ker\psi =1$ ，$ker{\alpha }_1\ne ker{\alpha }_2$ ，故$ker\left({\alpha }_1\times \psi \right)\ne ker\left({\alpha }_2\times \psi \right)$ ，与$\left|Kern\left(G\right)\right|=3$ 矛盾，因此$ker{\alpha }_1=ker{\alpha }_2$ 。此时令H的线性不可约特征标的核组成的集合为$\left\{H,ker\lambda ,ker\alpha \right\}$ ，根据群的每个正规子群可表为若干个特征标核子群的交，因此有以下几种情况：$H\cap ker\lambda =1$ ，$H\cap ker\alpha =ker\alpha$ ，$ker\lambda \cap ker\alpha =1$ 。故可知H仅有一个非平凡子群，即$ker\alpha$ 。由于H可换，$ker\lambda =1$ ，有忠实不可约特征标。根据定理$\lambda \in Irr\left(G\right)$ ，$Z\left(\lambda \right)/ker\lambda =Z\left(H/ker\lambda \right)$ ，所以有$H=Z\left(H\right)$ ，且H循环，则$\left|H\right|=q^2$ ，其中q是素数，此时有$Kern\left(G\right)=\left\{1,H,ker{\chi }_3\right\}$ 。已知$ker\alpha$ 是H仅有的非平凡子群，令$N=ker\alpha$ 。则由H的线性不可约特征标$\alpha$ 和K的非线性不可约特征标$\psi$ 的乘积，可得$\alpha \times \psi$ 是G的非线性非忠实不可约特征标且$ker\psi =1$ ，即$ker\left(\alpha \times \psi \right)=ker\alpha \in Kern\left(G\right)$ 。

综上可得，K为J₀-p-群，其中H是$q^2$ 阶循环群，$p,q$ 是不同的素数；$Kern\left(G\right)=\left\{1,H,N\right\}=N\left(G\right)$ ，其中$1\ne N<H$ ；此时G为K(3, 3)-群。

(ⅱ) 若$1\notin Kern\left(G\right)$ ，$\left|Kern\left(G\right)\right|=3$ ，此时

$Kern\left(G\right)=\left\{ker{\chi }_1=H\times ker\psi ,ker{\chi }_2,ker{\chi }_3\right\}$ 。

先确定K的非线性不可约特征标核的个数。

若K的非线性不可约特征标核互不相同的个数大于等于2时，记集合为$\Omega =\left\{ker{\psi }_1,ker{\psi }_2\right\}$ ，${\psi }_1,{\psi }_2\in Irr\left(K\right)$ ，先取H的主特征标$1_H$ ，由$H\le ker\left({\psi }_i\times 1_H\right)$ ，$i=1,2$ ，得到$ker\left({\psi }_i\times 1_H\right)\ne 1$ ，此时有$ker\left({\psi }_i\times 1_H\right)=ker{\psi }_i\times H\in Kern\left(G\right)$ ，$i=1,2$ 。$Kern\left(G\right)=\left\{ker{\psi }_1\times H,ker{\psi }_2\times H\right\}$ ，此时可确定$\left|Kern\left(G\right)\right|=2$ 。其次取H非主线性不可约特征标$\alpha$ ，可以得到${\psi }_1\times \alpha ,{\psi }_2\times \alpha$ 是群G的非线性不可约特征标，则$ker\left({\psi }_i\times \alpha \right)\in Kern\left(G\right)$ ，$i=1,2$ 。即$\left|Kern\left(G\right)\right|\ge 4$ ，与$\left|Kern\left(G\right)\right|=3$ 矛盾。因此，K的非线性不可约特征标核的个数为1，令$\psi$ 是K的非线性不可约特征标，根据群的所有非线性不可约特征标核之交为1，故$ker\psi =1$ 。

H可换，接下来考虑H的线性特征标核的个数。

(a) 若H的线性特征标核互不相同的个数为4，则设H的线性特征标的核组成的集合$\Omega =\left\{ker\left(1_H\right),ker{\alpha }_1,ker{\alpha }_2,ker{\alpha }_3\right\}$ ，显然${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 中至多有一个是忠实的，不妨设${\alpha }_3$ 是忠实的，则有

$\{\begin{array}{l}ker\left(1_H\times \psi \right)=H\times ker\psi \in Kern\left(G\right)\\ ker\left({\alpha }_i\times \psi \right)\in Kern\left(G\right),i=1,2,3\end{array}$ 。

此时$\left|Kern\left(G\right)\right|>3$ 与$\left|Kern\left(G\right)\right|=3$ 矛盾。同理，H的线性特征标核的个数不可能大于5。

接下来考虑H的线性特征标核互不相同的个数为2和3。

(b) 若H的线性特征标核互不相同的个数为2，则设H的线性特征标的核组成的集合$\Omega =\left\{ker\left(1_H\right),ker\alpha \right\}$ ，则有

$\{\begin{array}{l}ker\left(1_H\times \psi \right)=H\times ker\psi \in Kern\left(G\right)\\ ker\left(\psi \times \alpha \right)\in Kern\left(G\right)\end{array}$ 。

与$\left|Kern\left(G\right)\right|=3$ 矛盾。

(c) 若H的线性特征标核互不相同的个数为3，记为$\Omega =\left\{ker\left(1_H\right),ker\alpha ,ker\beta \right\}$ 。接下来分两种情况讨论：① H无忠实不可约特征标；② H有忠实不可约特征标。

① H无忠实不可约特征标

设H的线性特征标核组成的集合为$\Omega =\left\{H,ker\alpha \ne 1,ker\beta \ne 1\right\}$ ，使得$ker\alpha \cap ker\beta =1$ 。所以可知H有两个非平凡子群，记为$A,B$ 且$A\cap B=1$ ，所以$\left|H\right|=pq$ ，不妨设$\left|A\right|=p$ ，$\left|B\right|=q$ ，$p\ne q$ ，显然$H=AB$ ；$A\cap B=1$ ；$A⊲H,B⊲H$ ，所以$H=A\times B$ ，因为$A,B$ 分别是p阶循环群和q阶循环群，所以，$A,B$ 中的所有非主线性特征标均忠实，又因为$\left(p,q\right)=1$ ，所以H有忠实特征标，矛盾。

② H有忠实不可约特征标

设H的线性特征标核组成的集合为$\Omega =\left\{ker\left(1_H\right),ker\alpha \ne 1,ker\beta =1\right\}$ ，则H仅有一个非平凡子群，所以$\left|H\right|=q^2$ ，H为$q^2$ 阶循环群，q是素数。断言$ker\left(\alpha \times \psi \right)\ne ker\left(\beta \times \psi \right)$ ，$\psi \in Irr\left(K\right)$ ，若否，令$ker\left(\alpha \times \psi \right)=ker\left(\beta \times \psi \right)$ ，则$ker\alpha \times ker\psi =ker\beta \times ker\psi$ ，有$ker\alpha =ker\beta$ ，矛盾。故$ker\left(\alpha \times \psi \right)\ne ker\left(\beta \times \psi \right)$ 。此时

$Kern\left(G\right)=\left\{H,ker\left(\alpha \times \psi \right),ker\left(\beta \times \psi \right)\right\}$ 。

由于$ker\beta =1$ ，$ker\psi =1$ ，则$ker\left(\beta \times \psi \right)=1$ ，即$1\in Kern\left(G\right)$ ，矛盾。故此种情况不存在。

由此便完成了定理2的证明。

基金项目

国家自然科学基金(12201553)；云南民族大学教学研究项目(2022JG-032)。

NOTES

^*通讯作者。