q-Abel-Zeilberger算法与q-超调和数恒等式

q-Abel-Zeilberger Algorithm and q-Hyperharmonic Numbers Identities

摘要: 本文将Abel引理与q-Zeilberger算法相结合来研究q-非超几何和式。对一类含有q-超调和数的相关和式，得到了一些新的q-模拟恒等式。

Abstract: This article combines Abel’s lemma with q-Zeilberger algorithm to study q-non-hypergeometric sums. For a class of related sum of q-hyperharmonic numbers, some new q-analogous identities are obtained.

1. 引言

对于正整数n，经典调和数的定义为

$H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}.$ (1.1)

为了方便，约定$H_0=0$ 。近些年来，调和数恒等式的发现与证明受到研究者的广泛关注，相关恒等式可见[1]-[5]。

经典调和数有多种扩展形式。例如，对正整数$n,r$ ，Conway和Guy [6]定义了调和数的如下扩展，称为r阶超调和数

$H\left(n,r\right)={\displaystyle \sum _{t=1}^{n}H\left(t,r-1\right)},$ (1.2)

其中$H\left(n,0\right)=\frac{1}{n}$ 。同理，约定当$n\le 0$ 或$r<0$ 时，有$H\left(n,r\right)=0$ 。

本论文主要研究q-调和数(即调和数的q-模拟)的相关恒等式。恒等式的q-模拟及其组合证明是组合数学的研究热点，它的快速发展对理论物理学，计算机科学的发展起到了重要的推动作用。

定义1 对于正整数n，两种常见的q-调和数定义如下[7]：

$H_q\left(n\right)={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{\left[k\right]}},{\tilde{H}}_q\left(n\right)={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{q^k}{\left[k\right]}}.$(1.3)

其中$\left[k\right]=\frac{1-q^k}{1-q}$ ，同时约定$H_q\left(0\right)={\tilde{H}}_q\left(0\right)=0$ ，注意当$q\to 1$ 时，$\left[k\right]\to k$ 。

Mansour和Shattuck [8]给出了如下的$q$ -超调和数。

定义2 对正整数$n,r$ ，r阶q-超调和数定义为

$H_q\left(n,r\right)={\displaystyle \sum _{t=1}^n{q}^t{H}_q\left(t,r-1\right)},$ (1.4)

其中$H_q\left(n,0\right)=\frac{1}{q\left[n\right]}$ ，$H_q\left(n,1\right)=\frac{1}{q}{\tilde{H}}_q\left(n\right).$

定义3 q-二项式系数$\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]$ 定义如下：

$\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]=\frac{{\left(q;q\right)}_n}{{\left(q;q\right)}_k{\left(q;q\right)}_{n-k}},$ (1.5)

其中${\left(a;q\right)}_n=\left(1-a\right)\left(1-aq\right)\left(1-a{q}^2\right)\cdots \left(1-a{q}^{n-1}\right)$ ，约定${\left(a;q\right)}_0=1$ 。

注意当$k>n$ 或$k<0$ 时，$\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]=0$ 。

给定一个恒等式，寻找其q-模拟恒等式是十分重要的。例如，对超调和数恒等式：

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n-1}\left(\begin{array}{c}k\\ m\end{array}\right)}H\left(k,2\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ m+1\end{array}\right)H\left(n,2\right)-\left(\begin{array}{c}n+1\\ m+2\end{array}\right)\left(H_{n+1}-\frac{1}{m+2}\right),n\ge 1.$ (1.6)

有如下$q$ -模拟恒等式[9]

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n-1}{q}^{k-m}\left[\begin{array}{c}k\\ m\end{array}\right]}{H}_q\left(k,2\right)=\left[\begin{array}{c}n\\ m+1\end{array}\right]H_q\left(n,2\right)-q^{m+1}\left[\begin{array}{c}n+1\\ m+2\end{array}\right]\left(H_q\left(n+1,1\right)-\frac{q^{m+1}}{\left[m+2\right]}\right),n\ge \text{1}\text{.}$ (1.7)

目前，对超几何和式，可采用经典的超几何算法(如Gosper算法和Zeilberger算法)进行处理。注意到调和数及q-调和数是非超几何项，因此相关和式需采用其他方法。例如，Chen，Hou和Jin [10]将Abel引理与Gosper算法，Zeilberger算法相结合，提出了Abel-Zeilberger算法并给出了大量调和数相关恒等式的新证明。Xu [11]和Chu [12]等将Abel引理用于研究q-级数相关等式。沿着该思路，本文将Abel引理与$q$ -Zeilberger算法相结合(称为q-Abel-Zeilberger算法)来研究含有q-非超几何项的相关和式。特别是，对如下和式的$q$ -模拟，得到了相关q-恒等式。

$S\left(n,m,r\right)={\displaystyle \sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)}{\left(-1\right)}^k{k}^{m}H\left(k,r\right).$ (1.8)

2. 基础知识

引理2.1 (Abel引理)对于两个任意的序列$\left\{a_k\right\},\left\{b_k\right\}$ ，有

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_k\right)b_k}={\displaystyle \sum _{k=m}^{n-1}{a}_{k+1}\left(b_k-b_{k+1}\right)}+a_n{b}_n-a_m{b}_m.$ (2.1)

利用差分算子可将上式改写为

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n-1}{b}_k\Delta a_k=-{\displaystyle \sum _{k=m}^{n-1}{a}_{k+1}\Delta b_k+a_n{b}_n-a_m{b}_m}}.$ (2.2)

注：$\Delta$ 是关于k的差分算子。

Zeilberger算法用来处理定和问题。给定一个$q$ -超几何项$F\left(n,k\right)$ ，其中$\frac{F\left(n,k+1\right)}{F\left(n,k\right)}$ 都是关于$q^n,q^k$ 的有理函数，$q$ -Zeilberger试着求出多项式$a_0\left(q^n\right),\cdots ,a_d\left(q^n\right)$ 和有理函数$R\left(q^n,q^k\right)$ ，使得

$a_0\left(q^n\right)F\left(n,k\right)+a_1\left(q^n\right)F\left(n+1,k\right)\cdots +a_d\left(q^n\right)F\left(n+d,k\right)=\Delta R\left(q^n,q^k\right)F\left(n,k\right).$ (2.3)

对该斜递推关系关于k求和，就可得到如下和式的递推关系

$S\left(n\right)={\displaystyle \sum _{k}F\left(n,k\right)}.$ (2.4)

有关超几何算法的更多细节，可见参考文献[13]。

对给定和式$S\left(n\right)={\displaystyle \sum _{k}F\left(n,k\right)b_k}$ ，其中$F\left(n,k\right)$ 和$\Delta b_k$ 均是q-超几何项，q-Abel-Zeilberger算法的基本步骤如下：

1) 对超几何项$F\left(n,k\right)$ ，利用$q$ -Gosper算法或$q$ -Zeilberger算法得到其不定和或斜递推关系。

$a_0\left(q^n\right)F\left(n,k\right)+a_1\left(q^n\right)F\left(n+1,k\right)+\cdots +a_d\left(q^n\right)F\left(n+d,k\right)=\Delta G\left(n,k\right),$ (2.5)

其中$G\left(n,k\right)=R\left(q^n,q^k\right)F\left(n,k\right).$

2) 在上述关系式两端同乘$b_k$ 并对变量k求和，得到

$a_0\left(q^n\right)S\left(n\right)+a_1\left(q^n\right)S\left(n+1\right)+\cdots +a_d\left(q^n\right)S\left(n+d\right)={\displaystyle \sum _k\Delta G\left(n,k\right)b_k}.$ (2.6)

3) 对等式右端利用Abel引理可得

$a_0\left(q^n\right)S\left(n\right)+a_1\left(q^n\right)S\left(n+1\right)+\cdots +a_d\left(q^n\right)S\left(n+d\right)=-{\displaystyle \sum _{k}G\left(n,k+1\right)\Delta b_k+W\left(n\right)}.$ (2.7)

注意到由于$\Delta b_k$ 为$q$ -超几何项，因此右端和式由$q$ -非超几何和式转化为$q$ -超几何和式。此外，多数情况下，余项$W\left(n\right)=0$ 。

4) 令$T\left(n\right)={\displaystyle \sum _{k}G\left(n,k+1\right)\Delta b_k}$ ，若可利用$q$ -Zeilberger算法找到$T\left(n\right)$ 的闭形式，则可得到$S\left(n\right)$ 满足的递推关系。

3. 主要结论

对如下和式：

${\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(-1\right)}^k\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)k^m{H}_k^{(p)}}.$

对给定参数$\left(n,m,p\right)$ ，该和式的对应恒等式已被多人发现和证明。本文将上式中广义调和数$H_k^{\left(p\right)}$ ，替换为超调和数$H\left(k,r\right)$ ，研究下列和式的$q$ -模拟恒等式。

${\displaystyle \sum _{k=1}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)}{\left(-1\right)}^k{k}^{m}H\left(k,r\right).$

定理3.1 对于非负整数m，n且$n>m+1$ ，有

$S_q\left(n,m,2\right)={\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(-1\right)}^k{q}^{\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)-n\left(k+1\right)}\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}k\\ m\end{array}\right]H_q\left(k,2\right)}=\frac{{\left(-1\right)}^m{q}^{-\left(\begin{array}{c}m+1\\ 2\end{array}\right)+n-m-2}\left(1-q^{m+1}\right)}{\left[n-m\right]\left(1-q^{n-m-1}\right)}.$ (3.1)

证明. 令

$F\left(n,k\right)={\left(-1\right)}^k{q}^{\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)-n\left(k+1\right)}\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}k\\ m\end{array}\right].$ (3.2)

则由$q$ -Gosper算法可知

$F\left(n,k\right)=G\left(n,k+1\right)-G\left(n,k\right),$ (3.3)

其中

$G\left(n,k\right)=-\frac{q^n\left(q^m-q^k\right)}{q^k(q^m-q^n)}F\left(n,k\right).$ (3.4)

注意到求和范围等价于从0到$+\infty$ ，因此对(3.3)式两边同乘$H_q\left(k,2\right)$ 并对k从0到$+\infty$ 求和，利用Abel引理可得(注意其余项为零)

$\begin{array}{l}{S}_q\left(n,m,2\right)={\displaystyle \sum _{k=0}^n\Delta G\left(n,k\right)}{H}_q\left(k,2\right)\\ \text{ = }-{\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }G\left(n,k+1\right)q^k{\tilde{H}}_q\left(k+1\right)}\\ \text{ =}-T\left(n\right).\end{array}$(3.5)

令

$F_1\left(n,k\right)=G\left(n,k+1\right)q^k.$ (3.6)

则由$q$ -Gosper算法可知

$F_1\left(n,k\right)=G_1\left(n,k+1\right)-G_1\left(n,k\right).$ (3.7)

其中

$G_1\left(n,k\right)=-\frac{q^n\left(q^m-q^k\right)}{\left(q^{m+1}-q^n\right)q^k}{F}_1\left(n,k\right).$ (3.8)

注意到求和范围等价于从0到$+\infty$ 求，因此对(3.7)式两边同乘${\tilde{H}}_q\left(k+1\right)$ 并对k从0到$+\infty$ 求和，进一步利用Abel引理可得(注意其余项为零)

$\begin{array}{l}T\left(n\right)={\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }\Delta G_1}\left(n,k\right){\tilde{H}}_q\left(k+1\right)\\ =-{\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }{G}_1\left(n,k+1\right)\frac{\left(1-q\right)q^{k+2}}{1-q^{k+2}}}\\ \text{ =}-Z\left(n\right).\end{array}$ (3.9)

设

$F_2\left(n,k\right)=G_1\left(n,k+1\right)\frac{\left(1-q\right)q^{k+2}}{1-q^{k+2}},$ (3.10)

由q-Zeilberger算法可知

$\left(q^{m+1}-q^n\right)F_2\left(n,k\right)-\left(q^m-q^{n+1}\right)F_2\left(n+1,k\right)=G_2\left(n,k+1\right)-G_2\left(n,k\right).$ (3.11)

其中

$G_2\left(n,k\right)=-\frac{q^n\left(q^{k+2}-1\right)\left(q^m-q^k\right)}{q^{k+1}\left(q^{k+1}-q^n\right)}{F}_2\left(n,k\right).$ (3.12)

对(3.11)式两边k从0到$+\infty$ 求和，得到

$\left(q^{m+1}-q^n\right)Z\left(n\right)-\left(q^m-q^{n+1}\right)Z\left(n+1\right)=0.$ (313)

由初始值

$Z\left(m+2\right)=\frac{{\left(-1\right)}^m{q}^{-\left(\begin{array}{c}m+1\\ 2\end{array}\right)}\left(q^{m+1}-1\right)}{q^2-1},$ (3.14)

得

$S_q\left(n,m,2\right)=Z\left(n\right)=\frac{{\left(-1\right)}^m{q}^{-\left(\begin{array}{c}m+1\\ 2\end{array}\right)+n-m-2}\left(1-q^{m+1}\right)}{[n-m]\left(1-q^{n-m-1}\right)}.$ (3.15)

特别的，当$m=0,1,2$ ，可以得到

$1=\left[\begin{array}{l}k\\ 0\end{array}\right],\left[k\right]=\left[\begin{array}{l}k\\ 1\end{array}\right],{\left[k\right]}^2=\left[\begin{array}{l}k\\ 1\end{array}\right]+q\left(q+1\right)\left[\begin{array}{l}k\\ 2\end{array}\right],$ (3.16)

${\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(-1\right)}^k{q}^{\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)-n\left(k+1\right)}\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]H_q\left(k,2\right)}=\frac{q^{n-2}}{\left[n\right]\left[n-1\right]},n>1,$ (3.17)

${\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(-1\right)}^k{q}^{\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)-n\left(k+1\right)}\left[k\right]\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}{H}_q\left(k,2\right)=-\frac{q^{n-4}\left(1+q\right)}{\left[n-1\right]\left[n-2\right]},n>2,$ (3.18)

${\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(-1\right)}^k{q}^{\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)-n\left(k+1\right)}{\left[k\right]}^2\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]H_q\left(k,2\right)}=\frac{\left(1+q\right)\left(-q^{2n+1}-q^{2n}+q^{n+1}+q^n\right)}{\left(1-q\right)q^6\left[n-1\right]\left[n-2\right]\left[n-3\right]}\text{, }n>3.$ (3.19)

运用同样的方法，可以得到下列q-模拟恒等式

定理3.2 对于非负整数$m,n$ 且$n>m+2$ ，有

$S_q\left(n,m,3\right)={\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(-1\right)}^k{q}^{\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)-n\left(k+1\right)}\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}k\\ m\end{array}\right]H_q\left(k,3\right)}=\frac{{\left(-1\right)}^{m+1}{q}^{-\left(\begin{array}{c}m+1\\ 2\end{array}\right)+2n-2m-4}\left[m+1\right]\left[m+2\right]}{\left[n-m\right]\left[n-m-1\right]\left[n-m-2\right]}.$ (3.20)

特别的，当$m=0,1,2$ ，可以得到

${\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(-1\right)}^k{q}^{\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)-n\left(k+1\right)}\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}{H}_q\left(k,3\right)=-\frac{q^{2n-4}\left(1+q\right)}{\left[n\right]\left[n-1\right]\left[n-2\right]},n>3,$ (3.21)

${\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(-1\right)}^k{q}^{\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)-n\left(k+1\right)}\left[k\right]\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}{H}_q\left(k,3\right)=\frac{q^{2n-7}\left(1+q\right)\left(1+q+q^2\right)}{\left[n-1\right]\left[n-2\right]\left[n-3\right]},n>4,$ (3.22)

${\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(-1\right)}^k{q}^{\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)-n\left(k+1\right)}{\left[k\right]}^2\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]H_q\left(k,3\right)}=-\frac{q^{2n-10}\left(1+q\right){\left(1+q+q^2\right)}^2\left[n\right]}{\left[n-1\right]\left[n-2\right]\left[n-3\right]\left[n-4\right]}\text{, }n>5.$ (3.23)

4. 总结

对给定和式$S\left(n\right)={\displaystyle \sum _{k}F\left(n,k\right)b_k}$ ，其中$F\left(n,k\right)$ 和$\Delta b_k$ 均是q-超几何项，本文将Abel引理与q-Zeilberger算法相结合(称为q-Abel-Zeilberger算法)来得到$S\left(n\right)$ 满足的递推关系，进而证明或发现恒等式。特别的，对超调和数，我们得到了如下和式的q-模拟恒等式。

$S\left(n,m,r\right)={\displaystyle \sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)}{\left(-1\right)}^k{k}^{m}H\left(k,r\right),r=1,2.$

注意到该算法的适用性，未来可以进一步考虑其在q-无穷级数和其他q-非超几何和式等方面的应用。