几类图的Aα-能量

doi:10.12677/aam.2024.1310439

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几类图的A_α-能量
A_α-Energy of Some Classes of Graphs

DOI: 10.12677/aam.2024.1310439, PDF, HTML, XML,
作者: 黄梦琪, 买吐肉孜·买司地克^*：新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐
关键词: A_α-能量；完全图；完全二部图；完全等多部图；友谊图；风车图；A_α-Energy； Complete Graph； Complete Bipartite Graph； Complete Equal Multi-Partite Graph； Friendship Graph； Windmill Graph

摘要: 2017年Nikiforov提出的A_α-矩阵是A矩阵和Q矩阵的一般形式，由于A_α-矩阵的结果随着参数的变化而变化，A_α-矩阵具备很多A矩阵和Q矩阵没有的性质。本文计算了完全图，完全二部图，完全等多部图，友谊图，风车图的A_α-特征值和能量，并给出删除任一条边后完全平衡二部图能量的变化。

Abstract: The A_α-matrix proposed by Nikiforov in 2017 is a general form of both A and Q matrices. Due to the fact that the results of the A_α-matrix vary with the parameters, the A_α-matrix possesses many properties that are not present in A and Q matrices. In this paper, we calculate A_α-eigenvalues and energies of the complete graph, complete bipartite graph, complete equal multi-partite graph, friendship graph and windmill graph, and give the energy changes of complete balanced bipartite graphs after deleting an arbitrary edge.

文章引用：黄梦琪, 买吐肉孜·买司地克. 几类图的A_α-能量[J]. 应用数学进展, 2024, 13(10): 4580-4590. https://doi.org/10.12677/aam.2024.1310439

1. 引言

设 $A (G), D (G), Q (G)$ 分别表示图G的邻接矩阵，对角矩阵和无符号拉普拉斯矩阵，2017年，Nikiforov [1]定义了 $A_{α}$ -矩阵和 $A_{α}$ -特征多项式如下，对于任意实数 $α \in [0, 1]$ ：

$\begin{array}{l} A_{α} (G) = α D (G) + (1 - α) A (G), \\ ϕ (A_{α} (G), λ) = d e t (λ I_{n} - A_{α} (G)), \end{array}$

其中 $I_{n}$ 是n阶单位阵。显然， $A_{0} (G) = A (G)$ ， $A_{1} (G) = D (G)$ 和 $2 A_{1 / 2} (G) = Q (G)$ 。

简单图G的能量 $E (G) = \sum_{j = 1}^{N} | μ_{j} |$ 由Gutman在[2]提出，其中 $μ_{1}, μ_{2}, \dots, μ_{n}$ 为G的邻接矩阵的特征值。随后有各种各样的图矩阵的特征值被类似地用来计算图能量，例如，拉普拉斯能量[3]， $A_{α}$ -能量[4]和ABC能量[5]，路能量[6]。[7]中给出了完全二部图的邻接谱，[8]中给出了每个部分有相同点数的完全等多部图的邻接谱，[9]中给出了路，完全图，完全二部图，友谊图，风车图的ABC能量。

本文从 $A_{α}$ -矩阵和多项式的定义出发，计算了完全图，完全二部图，每个部分有相同点数的完全等多部图，友谊图，风车图等几类特殊图的 $A_{α}$ -特征值和能量，并给出了删除任一边后完全平衡二部图的 $A_{α}$ -能量的大小变化。

2. 完全图 $K_{n}$ 的 $A_{α}$ -特征值

定理1. 完全图 $K_{n}$ 的 $A_{α}$ -特征多项式是

$ϕ_{A_{α}} (K_{n}, λ) = (λ - n + 1) {(λ - n α + 1)}^{n - 1} .$

证明：完全图 $K_{n}$ 的度矩阵和邻接矩阵是

$D (K_{n}) = (n - 1) I_{n}, A (K_{n}) = J_{n} - I_{n},$

由 $A_{α}$ -矩阵和多项式的定义得到

$\begin{matrix} ϕ_{A_{α}} (K_{n}, λ) = | [λ - (n - 1) α] I_{n} - (1 - α) (J_{n} - I_{n}) | \\ = | (λ - n α + 1) I_{n} - (1 - α) J_{n} |, \end{matrix}$

其中 $J_{n}$ 表示全1的n阶方阵，通过简单计算 $J_{n}$ 的特征值是单根n和 $n - 1$ 重0，所以

$\begin{matrix} ϕ_{A_{α}} (K_{n}, λ) = {(λ - n α + 1)}^{n - 1} [(λ - n α + 1) - (1 - α) n] \\ = {(λ - n α + 1)}^{n - 1} (λ - n + 1) . \end{matrix}$ 。

推论1.

$S p e c_{A_{α}} (K_{n}) = {{[n α - 1]}^{n - 1}, {[n - 1]}^{1}},$

$K_{n}$ 的 $A_{α}$ -能量是

$\begin{matrix} E_{α} (K_{n}) = n - 1 + | n α - 1 | (n - 1) \\ = (n - 1) (| n α - 1 | + 1) . \end{matrix}$

推论2.

$S p e c (K_{n}) = {{[- 1]}^{n - 1}, {[n - 1]}^{1}},$

$K_{n}$ 的能量是 $E (K_{n}) = 2 (n - 1)$ 。

3. 完全二部图 $K_{m, n}$ 的 $A_{α}$ -特征值

定理2. 完全二部图 $K_{m, n}$ 的 $A_{α}$ -特征多项式是

$ϕ_{A_{α}} (K_{m, n}, λ) = {(λ - n α)}^{m} {(λ - m α)}^{n} [λ^{2} - (m + n) α λ - m n (1 - 2 α)] .$

证明：完全二部图 $K_{m, n}$ 的度矩阵和邻接矩阵是

$D (K_{m, n}) = [\begin{matrix} n I_{m} & 0 \\ 0 & m I_{n} \end{matrix}], A (K_{m, n}) = [\begin{matrix} 0 & J_{m \times n} \\ J_{n \times m} & 0 \end{matrix}],$

由 $A_{α}$ -矩阵和多项式的定义得到

$\begin{matrix} ϕ_{A_{α}} (K_{m, n}, λ) = | \begin{matrix} (λ - n α) I_{m} & - (1 - α) J_{m \times n} \\ - (1 - α) J_{n \times m} & (λ - m α) I_{n} \end{matrix} | \\ = {(λ - n α)}^{m} d e t [(λ - m α) I_{n} - \frac{m}{λ - n α} {(1 - α)}^{2} J_{n}] \\ = {(λ - n α)}^{m - n} d e t [(λ - m α) (λ - n α) I_{n} - m {(1 - α)}^{2} J_{n}] \\ = {(λ - n α)}^{m - 1} {(λ - m α)}^{n - 1} {[(λ - m α) (λ - n α) - m n (1 - α)]}^{2} \\ = {(λ - n α)}^{m - 1} {(λ - m α)}^{n - 1} [λ^{2} - (m + n) α λ - m n (1 - 2 α)] . \end{matrix}$

推论3.

$S p e c_{A_{α}} (K_{m, n}) = {{[m α]}^{n - 1}, {[n α]}^{m - 1}, {[\frac{(m + n) α \pm p (m + n) 2 α 2 + 4 m n (1 - 2 α)}{2}]}^{1}},$

$K_{m, n}$ 的 $A_{α}$ -能量是

$E_{α} (K_{m, n}) = 2 m n α - (m + n) α + \sqrt{{(m + n)}^{2} α^{2} + 4 m n (1 - 2 α)} .$

推论4 [5].

$S p e c (K_{m, n}) = {{[0]}^{m + n - 2}, {[\pm \sqrt{m n}]}^{1}},$

$K_{m, n}$ 的能量是

$E (K_{m, n}) = 2 \sqrt{m n} .$

星图作为特殊的二部图 $S_{n} = K_{1, n - 1}$ ，可以通过上述定理得到其 $A_{α}$ -特征值和能量。

推论5. 星图 $S_{n}$ 的 $A_{α}$ -特征多项式， $A_{α}$ -特征值是

$\begin{array}{l} ϕ_{A_{α}} (S_{n}, λ) = {(λ - α)}^{n - 2} [λ^{2} - n α λ - (n - 1) (1 - 2 α)], \\ S p e c_{A_{α}} (S_{n}) = {{[α]}^{n - 2}, {[\frac{n α \pm \sqrt{n^{2} α^{2} + 4 (n - 1) (1 - 2 α)}}{2}]}^{1}}, \end{array}$

$S_{n}$ 的 $A_{α}$ -能量是 $E_{α} (S_{n}) = (n - 2) α + \sqrt{n^{2} α^{2} + 4 (n - 1) (1 - 2 α)}$ 。

推论6.

$S p e c (S_{n}) = {{[0]}^{n - 2}, {[\pm \sqrt{n - 1}]}^{1}},$

$S_{n}$ 的能量是 $E (S_{n}) = 2 \sqrt{n - 1}$ 。

定理2. 如果e是完全平衡二部图 $K_{n, n}$ 的任一条边，并且 $K_{n, n} - e$ 通过删除 $K_{n, n}$ 的边e得到，我们有

$E_{α} (K_{n, n}) > E_{α} (K_{n, n} - e) .$

证明： $K_{n, n} - e$ 的 $A_{α}$ -特征多项式

$\begin{matrix} ϕ_{A_{α}} (K_{n, n} - e, λ) = | \begin{matrix} λ - (n - 1) α & 0 & 0_{1 \times n - 1} & - (1 - α) J_{1 \times n - 1} \\ 0 & λ - (n - 1) α & - (1 - α) J_{1 \times n - 1} & 0_{1 \times n - 1} \\ 0_{n - 1 \times 1} & - (1 - α) J_{n - 1 \times 1} & (λ - n α) I_{n - 1} & - (1 - α) J_{n - 1} \\ - (1 - α) J_{n - 1 \times 1} & 0_{n - 1 \times 1} & - (1 - α) J_{n - 1} & (λ - n α) I_{n - 1} \end{matrix} | \\ = | \begin{matrix} λ - (n - 1) α & 0 & 0 & - (1 - α) J_{1 \times n - 1} \\ 0 & λ - (n - 1) α & - (1 - α) J_{1 \times n - 1} & 0 \\ [(n - 1) α - λ] I_{n - 1 \times 1} & - (1 - α) J_{n - 1 \times 1} & (λ - n α) I_{n - 1} & 0 \\ - (1 - α) J_{n - 1 \times 1} & {[(n - 1) α - λ]}_{n - 1 \times 1} & 0 & (λ - n α) I_{n - 1} \end{matrix} | \\ = | \begin{matrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{11} & 0 & 0 \\ [(n - 1) α - λ] I_{n - 1 \times 1} & - (1 - α) J_{n - 1 \times 1} & (λ - n α) I_{n - 1} & 0 \\ - (1 - α) J_{n - 1 \times 1} & {[(n - 1) α - λ]}_{n - 1 \times 1} & 0 & (λ - n α) I_{n - 1} \end{matrix} |, \end{matrix}$

所以

$S p e c_{A_{α}} (K_{n, n} - e) = {{[n α]}^{2 (n - 2)}, {[\frac{(n α + n - 1) α \pm \sqrt{{(n α + n - 1)}^{2} - 4 (n - 1) (n α + α - 1)}}{2}]}^{2}},$

$K_{n, n} - e$ 的 $A_{α}$ 能量是

$E_{α} (K_{n, n} - e) = 2 n α (n - 2) + 2 \sqrt{{(n α + n - 1)}^{2} - 4 (n - 1) (n α + α - 1)} .$

由推论2. 我们有

$\begin{array}{l} E_{α} (K_{n, n}) - E_{α} (K_{n, n} - e) \\ = 2 n^{2} α - 2 n - 2 n α (n - 2) - 2 \sqrt{{(n α + n - 1)}^{2} - 4 (n - 1) (n α + α - 1)} \\ = 4 n α - 2 α - 2 \sqrt{n^{2} α^{2} - 2 (n + 2) (n - 1) α + (n + 3) (n - 1)}, \end{array}$

因为

$(n + 3) (n - 1) - \frac{(n + 2) (n - 1)}{n^{2}} = \frac{3 n^{2} + 2 n - 4}{n^{2}} > 0,$

所以

$\begin{matrix} 2 \sqrt{n^{2} α^{2} - 2 (n + 2) (n - 1) α + (n + 3) (n - 1)} < 2 \sqrt{n 2 {[α - \frac{(n + 2) (n - 1)}{n^{2}}]}^{2}} \\ = 2 n [α - \frac{(n + 2) (n - 1)}{n^{2}}] \\ < 2 n α - 2 (n + 1) \\ < 4 n α - 2 α, \end{matrix}$

即 $E_{α} (K_{n, n}) > E_{α} (K_{n, n} - e)$ 。

4. 完全等m部图 $K_{m (r)}$ 的 $A_{α}$ -特征值

用 $K_{m (r)}$ 表示每个部分有相同点数r的完全等m部图。

定理3. 完全等m部图 $K_{m (r)}$ 的 $A_{α}$ -特征多项式是

$ϕ_{A {}_{α}} (K_{m (r)}, λ) = {[λ - (m - 1) r α]}^{m (r - 1)} [λ - (m - 1) r] {[λ - (m - 1) r α + (1 - α) r]}^{m - 1} .$

证明：完全等m部图 $K_{m (r)}$ 的度矩阵和邻接矩阵是

$\begin{array}{l} D (K_{m (r)}) = [\begin{matrix} (m - 1) r I_{r} \\ (m - 1) r I_{r} \\ ⋱ \\ (m - 1) r I_{r} \end{matrix}], \\ A (K_{m (r)}) = [\begin{matrix} 0 & J_{r} & J_{r} & \dots & J_{r} \\ J_{r} & 0 & J_{r} \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ J_{r} & 0 & J_{r} \\ J_{r} & \dots & J_{r} & 0 \end{matrix}] . \end{array}$

由 $A_{α}$ -矩阵和多项式的定义得到

$ϕ_{A_{α}} (K_{m (r)}, λ) = | \begin{matrix} [λ - (m - 1) r α] I_{r} & - (1 - α) J_{r} & - (1 - α) J_{r} & \dots & - (1 - α) J_{r} \\ - (1 - α) J_{r} & [λ - (m - 1) r α] I_{r} \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ - (1 - α) J_{r} & [λ - (m - 1) r α] I_{r} & - (1 - α) J_{r} \\ - (1 - α) J_{r} & \dots & - (1 - α) J_{r} & [λ - (m - 1) r α] I_{r} \end{matrix} |,$

记 $ϕ_{A_{α}} (K_{m (r)}, λ) = | A_{m} |$ ，

$| A_{m} | = | \begin{matrix} - (1 - α) J_{r} + [λ - (m - 1) r α] I_{r} + (1 - α) J_{r} & - (1 - α) J_{r} & \dots & - (1 - α) J_{r} \\ [- (1 - α) + 0] J_{r} & [λ - (m - 1) r α] I_{r} & \dots & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & - (1 - α) J_{r} \\ [- (1 - α) + 0] J_{r} & - (1 - α) J_{r} & [λ - (m - 1) r α] I_{r} \end{matrix} |$

$\begin{matrix} = [[λ - (m - 1) r α] I_{r} + (1 - α) J_{r}] | A_{m - 1} | - (1 - α) \\ | \begin{matrix} J_{r} & - (1 - α) J_{r} & - (1 - α) J_{r} & - (1 - α) J_{r} & \dots & - (1 - α) J_{r} \\ J_{r} & [λ - (m - 1) r α] I_{r} & - (1 - α) J_{r} & - (1 - α) J_{r} & \dots & - (1 - α) J_{r} \\ J_{r} & - (1 - α) J_{r} & [λ - (m - 1) r α] I_{r} & - (1 - α) J_{r} & \dots & - (1 - α) J_{r} \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ [λ - (m - 1) r α] I_{r} & - (1 - α) J_{r} \\ J_{r} & - (1 - α) J_{r} & \dots & - (1 - α) J_{r} & - (1 - α) J_{r} & [λ - (m - 1) r α] I_{r} \end{matrix} | \\ = [[λ - (m - 1) r α] I_{r} + (1 - α) J_{r}] | A_{m - 1} | - (1 - α) \\ | \begin{matrix} J_{r} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ J_{r} & [λ - (m - 1) r α] I_{r} - (1 - α) J_{r} & \dots & 0 \\ J_{r} & [λ - (m - 1) r α] I_{r} - (1 - α) J_{r} & \dots & 0 \\ ⋱ & ⋮ \\ J_{r} & 0 & \dots & 0 & [λ - (m - 1) r α] I_{r} - (1 - α) J_{r} \end{matrix} | \\ = [[λ - (m - 1) r α] I_{r} + (1 - α) J_{r}] | A_{m - 1} | - (1 - α) J_{r} {[[λ - (m - 1) r α] I_{r} - (1 - α) J_{r}]}^{m - 1}, \end{matrix}$

即

$| A_{m} | = [[λ - (m - 1) r α] I_{r} + (1 - α) J_{r}] | A_{m - 1} | - (1 - α) J_{r} {[[λ - (m - 1) r α] I_{r} - (1 - α) J_{r}]}^{m - 1} .$

由递推关系可得

$\begin{matrix} ϕ_{A_{α}} (K_{m (r)}, λ) = [(λ - (m - 1) r α) I_{r} - (m - 1) (1 - α) J_{r}] {[(λ - (m - 1) r α) I_{r} + (1 - α) J_{r}]}^{m - 1} \\ = {[λ - (m - 1) r α]}^{r - 1} [λ - (m - 1) r α - (m - 1) (1 - α) r] \\ {[λ - (m - 1) r α]}^{(m - 1) (r - 1)} {[λ - (m - 1) r α + (1 - α) r]}^{m - 1} \\ = {[λ - (m - 1) r α]}^{m (r - 1)} [λ - (m - 1) r] {[λ - (m - 1) r α + (1 - α) r]}^{m - 1} . \end{matrix}$

推论7.

$S p e c_{A_{α}} (K_{m (r)}) = {{[(m - 1) r α]}^{m (r - 1)}, {[(r - 1) r]}^{1}, {[(m - 1) r α - (1 - α) r]}^{m - 1}},$

$K_{m (r)}$ 的 $A_{α}$ -能量是

$\begin{matrix} E_{α} (K_{m (r)}) = (m - 1) r α m (r - 1) + (m - 1) r + | (m - 1) r α - (1 - α) r | (m - 1) \\ = (m - 1) r [m α (r - 1) + 1 + | m α - 1 |] . \end{matrix}$

推论8. [9].

$S p e c (K_{m (r)}) = {{[0]}^{m (r - 1)}, {[(m - 1) r]}^{1}, {[- r]}^{m - 1}},$

$K_{m (r)}$ 的能量是

$E (K_{m (r)}) = 2 (m - 1) r .$

5. 友谊图 $F_{n}$ 的 $A_{α}$ -特征值

友谊图 $F_{n}$ 是通过n个3长圈图 $C_{3}$ 与一个顶点合并得到，有 $2 n + 1$ 个顶点和3n条边，如图1是友谊图 $F_{2}, F_{3}, F_{n}$ 。

Figure 1. $F_{2}, F_{3}, F_{n}$

图1. $F_{2}, F_{3}, F_{n}$

定理4. 友谊图 $F_{n}$ 的 $A_{α}$ -特征多项式是

$ϕ_{A_{α}} (F_{n}, λ) = [(λ - 2 α) + (1 - α)] [(λ - 2 n α) (λ - α - 1) - n] {[{(λ - 2 α)}^{2} - {(1 - α)}^{2}]}^{n - 1} .$

证明：友谊图 $F_{n}$ 的度矩阵和邻接矩阵是

$D (F_{n}) = [\begin{matrix} 2 n \\ 2 \\ 2 \\ ⋱ \\ 2 \\ 2 \end{matrix}], A (F_{n}) = [\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{matrix}] .$

由 $A_{α}$ -矩阵和多项式的定义得到

$ϕ_{A_{α}} (F_{n}, λ) = {| \begin{matrix} λ - 2 n α & - (1 - α) & - (1 - α) & - (1 - α) & - (1 - α) & \dots & - (1 - α) \\ - (1 - α) & λ - 2 α & - (1 - α) \\ - (1 - α) & - (1 - α) & λ - 2 α \\ - (1 - α) & λ - 2 α & - (1 - α) \\ - (1 - α) & - (1 - α) & λ - 2 α \\ ⋮ & ⋱ \\ λ - 2 α & - (1 - α) \\ - (1 - α) & - (1 - α) & λ - 2 α \end{matrix} |}_{2 n + 1}$

将上面的行列式展开第一行， $λ - 2 n α$ 的余子式是

${| \begin{matrix} λ - 2 α & - (1 - α) \\ - (1 - α) & λ - 2 α \\ ⋱ \\ λ - 2 α & - (1 - α) \\ - (1 - α) & λ - 2 α \end{matrix} |}_{2 n},$

其他的是2n个分别是n个

${| \begin{matrix} - (1 - α) & - (1 - α) \\ - (1 - α) & λ - 2 α \\ λ - 2 α & - (1 - α) \\ - (1 - α) & λ - 2 α \\ ⋮ & ⋱ \\ λ - 2 α & - (1 - α) \\ - (1 - α) & - (1 - α) & λ - 2 α \end{matrix} |}_{2 n},$

和n个

${| \begin{matrix} - (1 - α) & λ - 2 α \\ - (1 - α) & - (1 - α) \\ λ - 2 α & - (1 - α) \\ - (1 - α) & λ - 2 α \\ ⋱ \\ λ - 2 α & - (1 - α) \\ - (1 - α) & - (1 - α) & λ - 2 α \end{matrix} |}_{2 n}$

因此，

$\begin{array}{l} ϕ_{A_{α}} (F_{n}, λ) \\ = (λ - 2 n α) {[{(λ - 2 α)}^{2} - {(1 - α)}^{2}]}^{n} - 2 n (1 - α) [(λ - 2 α) + (1 - α)] {[{(λ - 2 α)}^{2} - {(1 - α)}^{2}]}^{n - 1} \\ = [(λ - 2 α) + (1 - α)] [(λ - 2 n α) (λ - α - 1) - 2 n (1 - α)] {[{(λ - 2 α)}^{2} - {(1 - α)}^{2}]}^{n - 1} . \end{array}$

推论9.

$S p e c_{A_{α}} (F_{n}) = {{[3 α - 1]}^{n + 1}, {[α + 1]}^{n}, {[2 n α + α + 1 \pm \sqrt{\frac{{(2 n α + α + 1)}^{2} - 8 n (α^{2} + 2 α - 1)}{2}}]}^{1}},$

$F_{n}$ 的 $A_{α}$ -能量是

$E_{α} (F_{n}) = 2 n - 2 n α - 3 α + 1 + \sqrt{{(2 n α + α + 1)}^{2} - 8 n (α^{2} + 2 α - 1)} .$

推论10.

$S p e c (F_{n}) = {{[- 1]}^{n + 1}, {[1]}^{n}, {[1 \pm \sqrt{1 + 8 n}]}^{1}},$

$F_{n}$ 的能量是 $E (F_{n}) = 2 n + 1 + \sqrt{1 + 8 n}$ 。

6. 风车图 $F_{n}$ 的 $A_{α}$ -特征值

风车图 $D_{4}^{n}$ 是通过n个4长圈图 $C_{4}$ 与一个顶点合并得到，有 $3 n + 1$ 个顶点和4n条边，如图2是风车图 $D_{4}^{2}, D_{4}^{3}, D_{4}^{n}$ 。

定理5. 风车图 $D_{4}^{n}$ 的 $A_{α}$ -特征多项式是

$ϕ_{A_{α}} (D_{4}^{n}, λ) = [(λ - 2 α) + (1 - α)] [(λ - 2 n α) (λ - α - 1) - n] {[{(λ - 2 α)}^{2} - {(1 - α)}^{2}]}^{n - 1}$ 。

Figure 2. $D_{4}^{2}, D_{4}^{3}, D_{4}^{n}$

图2. $D_{4}^{2}, D_{4}^{3}, D_{4}^{n}$

证明：风车图 $D_{4}^{n}$ 的度矩阵和邻接矩阵是

$D (D_{4}^{n}) = [\begin{matrix} 2 n \\ 2 \\ 2 \\ ⋱ \\ 2 \\ 2 \end{matrix}], A (D_{4}^{n}) = [\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 & \dots & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 1 & 0 \end{matrix}]$

由 $A_{α}$ -矩阵和多项式的定义得到

$ϕ_{A_{α}} (D_{4}^{n}, λ) = {| \begin{matrix} λ - 2 n α & - (1 - α) & - (1 - α) & 0 & \dots & - (1 - α) & - (1 - α) & 0 \\ - (1 - α) & λ - 2 α & 0 & - (1 - α) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ - (1 - α) & 0 & λ - 2 α & - (1 - α) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - (1 - α) & - (1 - α) & λ - 2 α & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ - (1 - α) & 0 & 0 & 0 & \dots & λ - 2 α & 0 & - (1 - α) \\ - (1 - α) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & λ - 2 α & - (1 - α) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & - (1 - α) & - (1 - α) & λ - 2 α \end{matrix} |}_{3 n + 1}$

令

$A = [\begin{matrix} λ - 2 α & 0 & - (1 - α) \\ 0 & λ - 2 α & - (1 - α) \\ - (1 - α) & - (1 - α) & λ - 2 α \end{matrix}]; B = [\begin{matrix} - (1 - α) & 0 & 0 \\ - (1 - α) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]; C = [\begin{matrix} - (1 - α) & 0 & - (1 - α) \\ - (1 - α) & λ - 2 α & - (1 - α) \\ 0 & - (1 - α) & λ - 2 α \end{matrix}] .$

可以得到

$d e t (A) = (λ - 2 α) [{(λ - 2 α)}^{2} - 2 {(1 - α)}^{2}]; d e t (B) = 0; d e t (C) = - (1 - α) {(λ - 2 α)}^{2},$

因此，

$\begin{matrix} ϕ_{A_{α}} (D_{4}^{n}, λ) = (λ - 2 n α) {(d e t (A))}^{n} + 2 n (1 - α) d e t | \begin{matrix} C & 0 & \dots & 0 & 0 \\ B & A & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ B & 0 & \dots & A & 0 \\ B & 0 & \dots & 0 & A \end{matrix} | \\ = {(d e t (A))}^{n - 1} [(λ - 2 n α) d e t (A) + 2 n (1 - α) d e t (C)] \\ = {(λ - 2 α)}^{n} {[{(λ - 2 α)}^{2} - 2 {(1 - α)}^{2}]}^{n - 1} \\ [(λ - 2 n α) [{(λ - 2 α)}^{2} - 2 {(1 - α)}^{2}] - 2 n {(1 - α)}^{2}] \\ = {(λ - 2 α)}^{n} {[{(λ - 2 α)}^{2} - 2 {(1 - α)}^{2}]}^{n - 1} \\ [λ^{3} - 2 α (n + 2) λ^{2} + 2 [(3 n + 1) α^{2} + 2 (n - 1) α - (n + 1)] λ - 8 n α (2 α - 1)] . \end{matrix}$

推论11.

$S p e c_{A_{α}} (D_{4}^{n}) = {{[2 α]}^{n}, {[2 α \pm \sqrt{2 (1 - α)}]}^{n - 1}, {[λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}]}^{1}},$

$\begin{array}{l} λ_{1} = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}}} + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}}}; \\ λ_{2} = ω \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}}} + ω^{2} \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}}}; \\ λ_{3} = ω^{2} \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}}} + ω \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}}}, \end{array}$

其中 $ω = \frac{- 1 + \sqrt{3 i}}{2}$ ； $p = \frac{6 [(3 n + 1) α^{2} + 2 (n - 1) α - (n + 1)] - 4 α^{2} {(n + 2)}^{2}}{2}$ ；

$q = \frac{- 216 n α (2 α - 1) + 36 α (n + 2) [(3 n + 1) α^{2} + 2 (n - 1) α - (n + 1)] - 16 α^{3} {(n + 2)}^{3}}{27},$

取 $α = 0$ 时， $p = - 2 (n + 1)$ ; $q = 0$ ，有 $λ_{1} = 0$ ； $λ_{2} = \sqrt{2 (n + 1)}$ ； $λ_{3} = - \sqrt{2 (n + 1)}$ 。

推论12.

$S p e c (D_{4}^{n}) = {{[0]}^{n + 1}, {[\pm \sqrt{2}]}^{n - 1}, {[\pm \sqrt{2 (n + 1)}]}^{1}},$

$D_{4}^{n}$ 的能量是 $E (D_{4}^{n}) = 4 \sqrt{2} n$ 。

7. 总结

本文从 $A_{α}$ -矩阵和多项式的定义出发，利用分块矩阵的性质，通过对完全图，完全二部图，每个部分有相同点数的完全等多部图，友谊图，风车图等几类特殊图类的顶点分类，利用分块矩阵的性质，计算了它们的 $A_{α}$ -特征值和能量，并给出了删除任一边后完全平衡二部图的 $A_{α}$ -能量的大小变化。但是由于对点的划分选取困难和部分分块矩阵不规律使得一般完全等多部图的结果无法给出，由于风车图多项式的复杂性，其 $A_{α}$ -能量的表达式尚未给出，还可以继续研究。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献

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