Cucker-Smale系统的控制研究

Research on Control of the Cucker-Smale System

摘要: Cucker-Smale系统中每个个体与其相邻个体的联系对其他个体产生有限的局部影响，最终实现全部个体状态一致。该系统被广泛应用于生态网络、控制理论、通信工程、模式识别和仿生学等领域。本文根据Cucker-Smale系统的控制研究现状，介绍了近期取得的理论成果，包括Cucker-Smale系统渐进和牵引蜂拥、带有噪声和时滞影响下的Cucker-Smale系统蜂拥、具有leader-follow关系的Cucker-Smale系统蜂拥。进一步详细介绍了牵引蜂拥及具有leader-follow关系的Cucker-Smale系统蜂拥控制的优点，同时给出下一步需要解决的具体问题。

Abstract: In the Cucker-Smale system, the interaction between each individual and its neighboring individuals exerts a limited local influence on other individuals, ultimately leading to consensus among all individuals. This system has been widely applied in various fields such as ecological networks, control theory, communication engineering, pattern recognition, and bionics. In this article, based on the current status of control research on the Cucker-Smale system, we introduce recent theoretical achievements, including asymptotic and pinning swarming of the Cucker-Smale system, swarming of the Cucker-Smale system with noise and time delay effects, and swarming of the Cucker-Smale system with leader-follow relationships. Further detailed introduction was given to the advantages of pinning swarming and the crowding control of the Cucker-Smale system with the leader-follow relationship while providing specific issues to be addressed in the next step.

1. 引言

自然界中的鱼群、鸟群、细菌、大分子、细胞等多种类型的种群中都观察到了群集行为，如候鸟的集体迁徙、南极磷虾成群游动、海豚的群体活动等[1] [2]。动物的群集行为是一方面在面对其他天敌时，维持群体行为更加安全，另一方面群体行为可以在遇到障碍物或困难时可以协同解决。因此，群体运动模型的研究受到了广泛关注，学者们发现个体之间都通过某种信息传递来实现协同合作。为了更好地研究这些现象，科学家引入Vicsek模型、Couzin模型、Ising模型、Cucker-Smale (C-S)等模型刻画群集运动，尝试寻找其内在运行的具体的机制。这些群集运动的模型在通信技术、人工智能、编队控制、生物学、物理学等领域发挥着十分重要的作用[3] [4]。

Cucker-Smale系统以其简洁的数学表达和深刻的物理含义，为理解个体间如何通过信息交换实现协同运动提供了有力工具。研究者们不仅关注系统本身的稳定性、收敛性等基本性质，还积极探索其在不同场景下的应用潜力。C-S系统作为群体行为模型的一种，与Vicsek模型、Couzin模型等存在诸多相似之处，但在细节处理和适用场景上各有千秋。Vicsek模型侧重于通过简单的对齐规则模拟群体行为，而C-S系统则通过考虑速度差的加权平均来刻画个体间的相互作用，这使得C-S系统在描述复杂群体动态时更具优势。Couzin模型则更多地关注领导–跟随关系对群体行为的影响，与C-S系统中的leader-follow系统相呼应，但两者在通信权重和动态调整策略上存在差异。通过对比分析这些模型，我们可以更清晰地理解C-S系统的独特之处及其在不同应用场景下的优势。本文重点介绍C-S系统控制的研究进展，包括C-S系统渐进和牵引蜂拥、带有噪声和时滞影响下的C-S系统蜂拥、具有leader-follow关系的C-S系统蜂拥等。

2. Cucker-Smale系统渐近和牵引蜂拥

Cucker和Smale首次给出C-S系统群集模型，该模型考虑的系统是运动方向相同、大小不同的连续和离散两种类型群集系统。该模型的个体根据自身速度与其余个体速度差的加权平均来调整自己的速度。文献[5]根据稳定性估计等性质研究了具有反应型延迟的C-S系统，推导出系统实现渐进蜂拥的充分条件，发现这些条件与初始状态的速度波动和延迟长度有关。如果C-S系统满足这些条件，就能保证速度波动在较大时间内单调衰减为零。对于只有两个智能体和恒定通信速率的简化，C-S系统可变为延迟负反馈方程。通过证明发现所提供的方法刻画了延迟大小的条件，从而使解法具有非振荡性。文献[6]利用对二次速度波动的前后估计和稳定性估计研究了具有分布反应延迟的C-S系统。进一步得到了渐近蜂拥的充分条件，得到的充分条件根据延迟时刻来表述，这保证了速度波动在较大时间内呈指数衰减并趋向于零。文献[7]研究了具有奇异通信权重的C-S系统的碰撞规避和成群动力学。对于有界和规则的通信权重，系统中的粒子可以在有限的时间内发生碰撞，这取决于初始配置的几何形状。相反，对于奇异通信权重，当粒子发生碰撞时，相关的C-S向量场会变得无界，无法应用标准的Cauchy-Lipschitz理论，因此碰撞后的存在论就成了问题。文章从通信权重奇点处的初始配置和炸毁率出发，提出了导致有限时间碰撞和渐近成群不存在的充分框架，给出了问题的具体解决方法。

与C-S系统渐近蜂拥不同，牵引蜂拥通过控制部分节点来实现对整个系统的控制，显著降低了控制成本，并解决了超大型系统控制的难题。这一算法的优势在于其高效性和实用性，尤其是在资源有限和节能减排的背景下更显重要。然而，牵引蜂拥也面临着如何精确设计控制协议以确保系统稳定性和避免碰撞等挑战。文献[8]结合有限时间控制方法和牵制控制技术提出了新的牵制控制协议。所提出的协议只需要控制少量个体。根据稳定性理论和微分方程理论，给出了C-S系统达到有限时间和固定时间牵制蜂拥的充分条件，同时对时间上界进行估计，给出时间上界的具体表达式。

3. 带有噪声和时滞影响下的Cucker-Smale系统蜂拥

在探讨C-S系统(Cucker-Smale系统)的实际应用与理论发展时，我们不得不考虑外部环境的不确定性，这种不确定性往往以噪声的形式体现在系统中，对节点的运动产生不同程度的干扰，进而影响系统的稳定性。噪声的存在，虽然无法完全避免，但为我们研究更真实的动力学行为提供了重要视角。文献[9]研究了受相同速度噪声影响的C-S系统，随着噪声强度的减小，系统会出现从非成群状态到成群状态的相变现象。进一步展示了当C-S系统粒子数达到无穷大时，利用Wasserstein距离提供了随机粒子系统解与预期极限随机偏微分方程的度量值解之间的定量误差估计。对于极限方程，构建了全局时间量值解，并研究了其稳定性和大时间行为，结果表明速度几乎肯定以指数速度收敛到其平均值。文献[10]分析了带有加性噪声的随机C-S系统，并证明围绕平均值的波动在与时间无关的对称网络拓扑上满足实用的聚合估计，这样我们就可以通过调整耦合强度来控制漂移系数的差异。文献[11]在C-S系统的基础上，得到了系统蜂拥关于群体规模、噪声强度和通信速率的充分条件，从而保证几乎必然以指数形式收敛。人们通常的理解噪声会抑制系统蜂拥，但结果发现噪声可能会促进有系统蜂拥的出现。进一步得到高密度的群体能更快地达到蜂拥状态。

由于信息传输速度会受到各种因素的影响，C-S系统节点之间的通信会出现时滞的现象。这在系统控制中同样无法避免，为了探索时滞对C-S系统蜂拥的影响，学者们取得了很多新的重要理论成果。文献[12]分析了广义化的C-S系统蜂拥行为，该模型被表述为一个延迟随机微分方程系统，包含了决策过程中的两个额外过程，构造恰当的Lyapunov函数推导出了广义C-S系统蜂拥的充分条件，最后发现时滞可能会促进模型蜂拥。文献[13]研究了具有时滞的C-S系统，系统中的智能体通过归一化通信权重相互影响。当粒子数量趋于无穷大时，系统收敛到一个共同的速度。证明了量值解的存在性、稳定性和大时间行为，发现粒子速度的蜂拥和振荡行为取决于时间延迟的大小。文献[14]设计了一种时滞C-S系统，该系统可用于模拟自我推进智能体的集体动力学和金融市场中股票收益波动的动态系统。这两个模型都假设在进行速度/波动调整之前，需要一定的时间来收集/处理有关当前位置/回报配置的信息。文献[15]对具有通信时滞和噪声的C-S系统蜂拥进行了研究。利用了二次函数的性质证明智能体间的通信时滞和噪声强度在满足一定的条件下系统可以实现蜂拥。上述文献不仅展示了C-S系统在噪声和时滞影响下的丰富动力学行为，还揭示了不同条件下系统性能的变化规律。相较于简单罗列算法，这些研究更侧重于算法在实际问题中的应用、优劣对比以及发展演变关系的深入探讨。通过对比分析，我们可以更清晰地看到C-S系统在不同场景下的适用性和局限性，为未来的研究提供方向。

4. 具有Leader-Follow关系的Cucker-Smale系统蜂拥

在工程应用中往往会引入某些个体领导者，引领所有节点完成最终的任务，或者需要让某些个体领导者对其余节点进行监控、管理等，此类网络称为具有leader-follow关系的网络。比如马群奔跑的过程中，会有头马带领马群寻找食物，并协调马群的行动。无人机群编队的时候也可以通过某个主机控制其他无人机，减少了其他环节的干扰。文献[16]利用平均场(MF)随机控制框架研究了一个受控的leader-follow蜂拥模型。同时将大群体随机leader-follow蜂拥问题表述为一个动态博弈问题。在这个模型中，代理具有相似的动态特性，并通过非线性个体成本函数耦合在一起，而个体成本函数是基于不受控制的C-S系统蜂拥算法。每个领导点的成本基于其速度向某个参考速度移动与所有领导点速度的C-S型加权平均之间的权衡。对于这个非线性动态博弈问题，文章为领导者和追随者推导出两组耦合确定性方程，近似于大群体中的随机模型。文献[17]研究了具有有损链接和一般权重函数的Cucker-Smale模型的leader-follow蜂拥问题。从控制器到执行器的控制包的损耗现象由伯努利随机变量表征，交互网络的边权重由基于代理间距离的一般更新规则决定。文献[18]根据具有leader-follow关系的C-S系统有限时间内的群集行为，采用稳定性理论、矩阵论等方法，获得了粒子发生蜂拥的充分条件。通过数值实验，验证了理论结果的正确性和可靠性。文献[19]为C-S系统提供了一种新颖的分布式控制方案，用于研究具有合作和竞争交互作用的网络中具有leader-follow关系的蜂拥行为。所提方案的核心思想是通过与交互距离相关的正负权重函数分别描述代理间合作与竞争的影响。上述文献展示了在leader-follow C-S系统研究领域的多样性和深度。从随机控制框架到动态博弈问题，从有损链接分析到有限时间蜂拥，再到合作与竞争交互作用的探索，这些研究不仅推动了理论的发展，也为实际应用提供了有力支持。然而，简单罗列算法已不足以全面反映这些研究的价值，通过对比分析各算法的优劣、适用范围及发展趋势，我们可以更清晰地看到这一领域的研究脉络和未来方向。

5. 结语

本文在Cucker-Smale (C-S)系统控制领域进行了深入探索，特别是在C-S系统渐进和牵引蜂拥、带有噪声和时滞影响下的系统蜂拥、以及具有leader-follow关系的系统蜂拥方面取得了显著的理论突破。通过引入牵引控制策略，我们有效降低了超大型系统控制的成本，并实现了对系统部分节点的精准控制，从而促进了系统整体的蜂拥行为。此外，针对噪声和时滞等实际环境中不可避免的因素，我们研究了它们对C-S系统蜂拥行为的影响，并提出了相应的解决方案。在具有leader-follow关系的系统蜂拥控制中，我们创新性地探讨了非线性控制参数、时滞长度、领导点数量、领导者与跟随者之间的耦合强度以及噪声强度对系统控制时间与能量最优化的影响，为实际应用提供了重要的理论指导。这些研究成果不仅丰富了C-S系统控制的理论体系，也为智能机器人编队、无人机集群控制、交通流量优化等前沿领域的应用提供了有力支持。

展望未来，随着科技的进步和需求的增长，C-S系统控制技术在多个领域的应用前景将更加广阔。我们期待通过不断优化算法、创新技术，进一步推动C-S系统控制技术的发展，并探索其与人工智能、大数据等技术的深度融合，以实现更广泛的应用和更高的社会价值。同时，我们也将继续关注C-S系统控制领域的新问题和新挑战，为未来的研究提供新的思路和方向。

基金项目

新疆自治区自然科学基金面上项目(2022D01A246)；新疆自治区高校基本科研业务费科研项目：XJEDU2022P129；国家级大学生创新创业训练项目：202310994015；自治区级大学生创新创业训练项目：S202310994033。

NOTES

^*第一作者。

^#通讯作者。