1. 引言
教育部发布的《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》[1]中进一步明确了普通高中数学教育定位，提出提高数学学科基础知识水平，优化课程结构和发展数学核心素养。
在当前及未来的社会架构中，核心素养被赋予了至关重要的地位[2]，在复杂多变的情境中，个体成功应对挑战的核心在于其素养的塑造。这种素养源于个体与环境的深度互动，不仅涵盖基础知识的灵活运用，更强调个人能力的全面发展和情感态度的积极整合，从而构成个体应对社会要求的坚实基石。数学素养指数学科学方面的素质，根植于个人先天的生理条件，并经由后续系统化、严格的数学教育与实践锻炼而逐步内化，形成一种相对持久且稳定的内在特质[3]。数学核心素养的三大支柱是“会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界”，它不再将目标局限在具体的数学内容上，而是真正回答了“培养什么样的人”的问题，运用数学核心素养，才能更好育人育才[4]。数学核心素养的内涵界定揭示了更为丰富的内在含义，其论述不仅局限于对核心素养概念的阐释，进一步指明了核心素养是一个循序渐进、动态发展的实现路径[5]。在当前的新课程标准下，数学核心素养的提出充分展现了教育未来的可行性，可以为教育工作者在教学实践中发挥绝对的指导作用。
2. 高中圆锥曲线学习情况调查
通过选取在校大学生和在校大学生所带过的家教学生作为研究对象，大学生已系统学习圆锥曲线，具备深厚理论基础与核心素养见解，选取由在校大学生指导过的学生群体，源于其能理解学生在学习过程中的瓶颈与难点，进而将这些实际问题以书面形式反馈，增强调研信度，贴近实际。其次，基于日常接触频繁与调研便利性考量，聚焦于大学生与教师两大群体，确保样本选择的科学性与调研的现实支撑力，为分析提供坚实基础。问卷聚焦于学生基本学习方法、教师教学对学生感受以及学生对数学核心素养的认知深度展开调查，在调研实施阶段，采取随机抽样的方式分发问卷，以提升结果的可靠性。随后，通过调查结果系统梳理学生在圆锥曲线学习中的潜在难点及知识掌握情况，并初步探究了学习困难背后的原因。填写份数50份，有效份数为47份。
2.1. 高中阶段圆锥曲线学习情况
在对圆锥曲线知识点的掌握方面，调查显示(见图1)超过40%的学生能够掌握大部分的知识点，说明这部分学生对自己有足够清晰的定位，逐步适应了高中快节奏的学习，但也有将近30%的学生只能掌握六成及以下的内容，这也恰恰说明了高中数学知识点抽象难以理解的特点，并且高中教学进度快、难度大、内容深，导致有些基础差的学生跟不上教学，对知识点的理解缺少自我探究的过程。
Figure 1. Student’s mastery of conic knowledge
图1. 学生对圆锥曲线知识掌握程度
2.2. 学生学习圆锥曲线兴趣情况
Figure 2. Students’ interest in learning conic sections
图2. 学生对圆锥曲线板块学习兴趣
对高中圆锥曲线三大块内容(即椭圆、双曲线、抛物线)学习兴趣调查中(见图2)，学生兴趣普遍不高，63.83%的学生对椭圆感兴趣，双曲线和抛物线则是40.43%、38.3%，还有25.53%对三大板块的学习都不感兴趣。学习兴趣是能直接关系学生是否学好该课程，兴趣能够让人更加集中于当前任务，增加内心的动力和探索欲望，使人愿意投入更多的时间和精力去实现目标，并感受到成就感和自豪感。学生学习兴趣较低，也是能反映学生成绩的关键因素，也为上述学生成绩调查结果找到强有力证明。
2.3. 教师教学对学生学习影响情况
教师利用变式讲解圆锥曲线相关知识点时(见图3)，能够很大程度上帮助学生理解知识的本质，足以说明学生对教师教学要求较高，同时好的老师也能帮助学生学习，促进学生成长。
Figure 3. Survey on the help of teachers in teaching to students
图3. 教师教学对学生的帮助调查图
2.4. 学习困难及原因分析
Figure 4. Survey of student learning difficulties
图4. 学生学习困难调查图
调查学生在学习圆锥曲线出现的困难(见图4)，超过70%的学生觉得圆锥曲线当中的轨迹与轨迹方程问题、最值与取值范围问题、定点与定值问题是比较难的问题，还有51.06%的学生觉得弦长、弦中点问题难度较大，在这几类问题当中，学生反馈造成学习困难的原因有以下几点，首先是题目综合难度大，难以抓住解题关键信息。在圆锥曲线的考试中，因其所涉及数建模、运算和直观想象等能力，比较综合考察学生学习能力，对学生信息提取造成较大困难。其次是题目运算量较大，面对大量的运算量，学生感到压力和焦虑。
2.5. 学生对数学核心素养的认识
学生对数学核心素养掌握调查中(见图5)，对数学抽象的掌握较为薄弱，并迫切希望加强这一核心素养。这主要源于圆锥曲线学习对想象能力的高要求，遇到多图形结合的综合问题，很大程度考验学生的综合水平，对知识点的掌握程度，但是同时也说明在平时的教学中，教师本身对于数学核心素养的渗透不够，在教学应当对学生多加引导。
Figure 5. Survey of students on mathematical core literacy
图5. 学生对数学核心素养调查情况
综合本次问卷调查的结果显示，决定学生学业成就的因素是多元且复杂的，学习兴趣决定着学生学好该学科的动力，好的学习方法能提高学习效率，成绩是学习方法和学习兴趣的具体体现。教学过程中，至关重要的是将核心素养的培养贯穿始终，教师教学需要结合学生实际情况，确保理论教学与实践活动的有机融合，以期全方位提升学生的综合能力。教育工作者需具备敏锐的洞察力，针对学生在学习过程中遇到的具体问题，做到及时识别、迅速响应并有效解决，从而在根本上促进学生学习综合素质的全面提升，践行教育育人的理念。
3. 数学核心素养在圆锥曲线中的体现研究
3.1. 圆锥曲线教学中的数学核心素养体现
数学核心素养是数学学生具备的一系列与数学相关的技能、知识、态度和价值观。圆锥曲线是数学中的一个重要概念，包括许多数学概念和方法，如二次函数方程解、矩形、三角形等，在圆锥曲线中数学核心素养能充分得到体现。
首先，圆锥曲线的研究要求学生具备数学建模和解决问题的技能(见图6)。通过对问题的研究，首先对圆锥曲线问题分析说明，将圆锥曲线和一元二次方程紧密联系，把圆锥曲线与直线问题转化为二次函数零点问题，最终由判别式求解。整个过程中需要将最初的圆锥曲线与直线问题转化为建立数学函数模型问题，将数学问题抽象化到模型当中，由此函数模型进行问题分析，最后对该问题求解。
Figure 6. Textbook example question chart
图6. 教材例题图
其次，圆锥曲线的研究要求学生具备类比推理和数学证明的能力(见图7)。在掌握椭圆标准方程的求解方法后，鼓励学生运用类比推理，根据双曲线的定义，推导其标准方程。在该过程中，首先应明确双曲线的定义和含义，对其有充分的理解，然后再对问题进行设点分析，通过数值计算和逻辑推理思维严谨地将双曲线标准方程表示出来。
Figure 7. Inference diagram of hyperbolic standard equation in textbook
图7. 教材双曲线标准方程推理图
此外，在学习锥形曲线时，学生应掌握相关的数学工具和方法，教材中学生在了解抛物线相关定义与标准方程之后，需要学生对抛物线其余三种情况进行探究。在此探究过程中(见图8)，需要学生先对四种抛物线函数图像观察，结合第一种常见情况分析其他三种，例如表中第二种情况，由于其函数图像与第一种函数图像关于y轴对称，类比第一种函数图像标准方程，因为
，故其函数图像的标准方程为
，其焦点、准线方程与抛物线
的焦点
、准线方程
都关于y轴对称，推得抛物线
的焦点坐标为
，准线方程为
，其余两种情况也可以运用类似方法得出规律。对于椭圆、双曲线的焦点的x轴、y轴上的问题，我们也可以灵活运用该方法进行记忆，更好地帮助学生理解圆锥曲线相关知识点，以方便后续计算求解。
Figure 8. Different forms of parabolas
图8. 抛物线不同形式图
圆锥曲线的研究对数学核心素养的培养有重要意义。通过对圆锥曲线的学习和研究，学生可以发展实际应用、解决问题、数学推理、数学计算和运算能力，促进有效沟通交流能力。这些能力和素养不仅对学习数学很重要，而且对学生素质的全面发展以及将来的学习和职业发展积累了重要的知识财富。
3.2. 圆锥曲线解题中的数学核心素养挖掘
数学核心素养在圆锥曲线中的渗透广泛，每一处的解题和思考都蕴含着核心素养的体现。在研究圆锥曲线问题过程中，数学核心素养之间是相互关联、共同辅助的，笔者以2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学I卷第21题和2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学I卷第16题为例，分析说明数学核心素养在圆锥曲线中的体现。
题目一 (2021·全国I统考高考真题)
21. 在平面直角坐标系
中，已知点
、
，点M的轨迹为C。
(1) 求C的方程；
(2) 设点T在直线
上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且
，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和。
数学核心素养分析：
1) 数据分析。一般而言，圆锥曲线题目难度不小，将题目的“几何条件代数化”，联想其中的关键点和共同点，其中又不乏结合逻辑推理等能力。例如：题目中出现“已知点
”解题过程中，就需要对此数据进行分析探究，回顾所学的圆锥曲线知识，在学习双曲线相关知识点时，由双曲线的定义可知，我们发现，题目与我们所学有类似之处，将数据与知识点相结合，最后我们发现“轨迹C是以点
、
为左、右焦点双曲线的右支，求出a、b的值，即可得出轨迹C的方程”；
2) 数学抽象。在本题目中，需要学生应当对双曲线定义有所把握，将抽象化为具体，才能对题目进一步处理。按照这样的思想，我们可以推广到椭圆和抛物线当中，椭圆的标准方程
、抛物线标准方程
结合数学抽象的核心素养方法，通过解方程来求解曲线上的点的坐标，从而研究曲线的性质。
3) 直观想象。在此例题中，需要结合直观想象能力，对题目所给条件，将文字信息转化为图形信息，绘出相关图形，再结合图形求解，需要将“设点T在直线
上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P、Q两点”转化为图形语言(见图9)：
Figure 9. Graph corresponding to the problem solution
图9. 题目解所对应图形
将语言文字转化为图形，能直观对问题进行求解，将题目信息简单化，同时也需要在教学中教育者应当培养学生的核心素养能力，要求学生在面对问题时需要学会观察、学会分析、学会运用、透过图形看到题目所求问题的本质，将数学核心素养综合运用在解决问题当中。
4) 逻辑推理。题目所给“
”，我们可以推知该条件是结合两点之间距离公式求解，可以先求得
、
，再让两者相乘，带入数值进行化简时，
，可以推得需运用韦达定理，在解题时巧妙运用了逻辑推理得能力，将题目有关信息进行整合推理。
5) 数学建模。从2021年全国I统考高考真题来看，通过阅读题目之后进行数据处理，再绘出题目图形，最后解决问题的整个过程，就是一个模型建立与求解的过程(见图10)：
Figure 10. Mathematical model establishment diagram
图10. 数学模型建立图
在教学当中，应当系统培养学生数学建模的能力，将数学学习规范化、系统化，在不断的探索和实践中，才能培养出优秀的数学建模能力。
6) 数学运算。在该题目中，数学运算是一个凸显之处，如：对直线方程和双曲线标准两个方程进行联立形成方程组，即
，化简可以得到
，从而应用韦达定理可以求出
。
在这整个的过程中，数学运算起到了很大的作用，将原本题目的几何思维转化到代数思维当中，将运算结果来处理相关图形问题。不仅如此，在椭圆、抛物线的相关问题中，也需要像该题目一样处理数据、选择数据，将数据做到很好的可视化、合理化。
题目二 (2023·全国I统考高考真题)
16. 已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
。点A在C上，点B在y轴上，
则C的离心率为
数学核心素养分析：
1) 直观想象。对本题题目通读发现，该题围绕考察双曲线相关知识点考察，解题之前，绘出题目所对应坐标系图，回顾双曲线的定义，将A点分别与
连线，使得形成一个三角形。运用直观想象能力，将数形结合，有利于我们对问题的分析解答，化抽象为直观，将题目中抽象的文字通过直观图形展现出来，对数学问题起到简化作用。
2) 数据分析。在该题中比较突出的重点便是需要很强的数据分析能力，将题目中所给的条件转化为我们熟知的形式。结合题目已知向量
，对该条件分析处理，需要将点
连接，才会出现向量
，这就通过分析处理方法将题目数据转换为解题思路。
3) 数学运算和逻辑推理。题目中的数据以向量间的量值关系为表征，圆锥曲线中的多图形问题需要找到线段之间的关系，将向量之间的关系转化为三角形中的边长关系，通过数据之间数量关系的转换，找出三角形
三边边长各自的数值，在转换的过程中，要做到对数据仔细转化，运用逻辑推理的能力，仔细推理边长之间的数量关系，计算过程需要极致细心，数学运算和逻辑推理两种能力结合密切。
4) 数学建模。在解决该问题时首要步骤为设定未知变量，将数学问题巧妙地转化为在圆锥曲线方程模型中的求解过程，最后对该模型求解(见图11)：
Figure 11. Establishment and solution of mathematical model for 2023 true problems
图11. 2023年真题数学模型建立与求解图
这两道高考真题一个选自2021年广东新高考真题，一道则选自2023年广东新高考真题，2021年标志着广东新高考模式的开启，是实施文理分科到全新“3 + 1 + 2”模式转变的元年，而2023年是第一届使用新教材的第一年，是新旧教材更替的一年，这两道真题也恰能体现出旧高考与新高考的更替，不同发展目标，两道真题在内容上存在共同点与不同点。
首先是两道真题的共同点。2021年与2023年的真题都体现出对学生全面发展，题目中对于六大核心素养都有明确的体现，特别是数据分析、数学运算、逻辑推理和数学建模能力，都需要对数据和问题进行综合性地分析理解，对圆锥曲线知识有充分地了解，是一道综合能力考察的问题，两道将新时代教育目标很好地落到实处。
其次是两道题目的不同之处。对于2021年高考真题而言，更多的是采用传统的解题思路，假设、联立、韦达定理、利用题目所给关系代值就能解决问题，其特点是起到过渡性的作用，并且主要考察对圆锥曲线定义的理解把握，对数据的分析理解能力。相对于2023年的高考真题，将圆锥曲线问题放在填空题当中，注重题型的创新，考验学生的心里抗压能力。从内容上看，2023年在考察圆锥曲线的同时，加入向量和三角函数的相关知识点，将问题多元化，将更多的知识点相互关联，在问题上进行创新，形成知识的连贯性，改变过去应试思维，更加注重学生的临场应变能力和心理承受能力。
在整个圆锥曲线的知识学习中，担负着学生未来数学思维发展的任务，学习中数学核心素养始终贯穿整个知识点，圆锥曲线的学习也不例外，数学教育的目的是赋予一个人内在的潜力，使其具有数学特征，学生在持续不断的学习实践之旅中所收获的主要数学成果。
3.3. 数学核心素养培养建议
圆锥曲线作为数学学科的核心组成部分，在高中教育中具有无可替代的重要性。其学习不仅要求我们掌握基本的知识和技能，还希望我们能够在这一过程中培养数学核心素养。以下是关于如何在圆锥曲线学习中培养数学核心素养的一些建议：
1) 理解圆锥曲线相关概念、掌握基本定理。在开始学习圆锥曲线时，特别应当注意相对应曲线的定义和概念，在2.1.和2.2.中的调查可知，学生对当堂课程内容的理解较少，大部分学生的数学基础并不扎实，超过60%的学生在学习圆锥曲线时只会记忆相关的公式定理，对内容的本质理解不够透彻，在学习方法上需要加以引导，才能促进学生对知识深层次理解，增强学生的学习兴趣，况且理解基本概念是学习的基础，通过练习和反复记忆，加深对概念定义的理解，确保学生能熟练掌握相关公式和定理。
2) 掌握图形性质。通过对2.4.问卷调查中学习知识点困难及原因分析可知，超过70%的学生觉得圆锥曲线当中的轨迹与轨迹方程问题、最值与取值范围问题、定点与定值问题是学习板块的难点，教师教学时需要教学生如何绘制圆锥曲线，并让他们通过观察和操作来掌握图形的性质，鼓励学生分析圆锥曲线问题的结构，找出问题的关键点和难点，教会学生使用逻辑推理和数学证明来验证结论的正确性。
3) 强化解题技巧。在圆锥曲线的学习中，解题技巧是比较重要的一步，在2.1.中可知，学生在圆锥曲线题目中的得分率大部分都处在40%~80%，这也是学生在该问题当中的得分率，加强解题技巧的训练，使学生在解题时灵活运用解题方法快速解题，促进知识的吸收，该方法需要通过大量习题的训练，使学生熟悉各种圆锥曲线问题的解决策略，提升学生们解题速度和计算数据的准确性。
4) 提升抽象思维。通过抽象化的数学符号和公式，培养学生的抽象思维能力和数学表达能力，在2.2.以中对圆锥曲线学习兴趣发现，学生学习圆锥曲线兴趣都不高，这时候就需要教师在教学时提高学生地抽象思维能力，增强学生的学习兴趣，让学生学有所得，在2.3.的调查中发现，学生希望教师教学时对于圆锥曲线问题能够采用一题多解、一题多变的方法讲解，要求教师在解决相关问题时，使用代数和几何方法相互转化的技巧，增强学生解题思维的灵活性。
在圆锥曲线的教学中，我们应当着重强调对学生数学核心素养的培育，包括理解基础概念、掌握图形性质、强化解题技巧、培养分析能力、注重实际应用、激发创新思维、提升抽象思维和鼓励跨学科学习等方面。这些建议旨在帮助学生更好地掌握圆锥曲线的相关知识，提升学生们的数学核心素养，能够为未来的学习和职业生涯发展打下坚实的数学基础。
4. 研究结论
在数学学习的旅程中，数学核心素养的培育具有无可替代的重要性。通过系统且深入的学习数学知识，提升数学专业素养，增强数学而核心素养。在本次研究中，我们通过调查问卷的形式，了解到在高中学习时，圆锥曲线难度较大，难以提取题目中的关键信息，加上知识点的连贯性，成为高中比较难理解的板块知识，当然影响成绩的因素是多样的，有个人因素也有教学因素，教师教学应当以培养学生综合素养为目标，教好学生，教会学生。在调查中发现，学生对于核心素养的了解并没有很清晰的认识，学生需要补齐短板，特别是数学抽象、逻辑推理和直观想象三个核心素养方面的不足。
其次，在深入探讨圆锥曲线中的核心素养时，我们观察到六大数学核心素养并非孤立存在，而是会同时出现、相互促进的，就像一道直线与圆锥曲线的问题，中间包含了数据处理、直观想象、数学建模等等思想，再通过对高考真题的研究，发现圆锥曲线问题是多种数学核心素养方法集于一体的，不管是圆锥曲线中的标准方程，还是数形结合问题，都是核心素养在研究圆锥曲线问题当中的体现，使得理解系统化、规范化，这也充分说明了知识点的连贯性，与教育发展全面发展学生这一目标相呼应，使得教育可以全方面培养人才，促进学生综合素质的成长，达到素质教育的要求。
基金项目
2021年五邑大学教学质量与教学改革工程建设项目，师范专业认证背景下数学师范专业“三位一体”实践教学体系探究(JX2021016)；2022年五邑大学本科高质量课程建设项目——线下一流课程《中学数学课程标准与教材分析》建设(KC2022040)；2024年广东省高等教育科学研究专题(高等教育专项)——“新师范 + 双减”背景下地方高校师范专业虚实结合教学实践创新平台建设(2024GXJK268)。
NOTES
*通讯作者。