基于Coulomb-Mohr强度理论的结构面对岩体稳定性影响的教学设计与实践

Instructional Planning and Practice of the Influence of Structural Plane on Rock Stability Based on Coulomb-Mohr Strength Theory

摘要: 文章根据为本科学生而开设的《岩石力学》课程中结构面对岩体稳定性影响的教学内容，以岩体内单一结构面影响岩体稳定性为例，基于Coulomb-Mohr强度理论分析和推导了单一结构面影响岩体稳定性的计算方法，提出了易于学生理解和掌握的结构面影响岩体稳定性分析方法的教学组织和设计，并总结了教学中引导学生开展创新思维的具体方法。通过对所设计的结构面影响岩体稳定性计算方法在《岩石力学》课程中的教学实践，取得了良好的教学效果。

Abstract: According to the instructional contents of the influence of structural plane on the rock mass stability in the course entitled Rock Mechanics offered to undergraduates, taking the influence of a single structural plane on the stability of rock mass as an instance, the method for calculating the influence of a single structural plane on the rock mass stability based on Coulomb-Mohr strength theory is analyzed and derived in this paper. The organization and planning in teaching undergraduates the method for analyzing the influence of structural plane on the rock mass stability are also presented, which is easy for undergraduates to comprehend and master. The specific method for guiding undergraduates to develop innovative way of thinking during teaching activities are also summarized. Through teaching practice on the method for analyzing the influence of structural plane on the stability of rock mass in the course entitled Rock Mechanics, the expected teaching objective has been achieved.

1. 引言

地球上广泛分布着不同种类的岩体，其内部通常会发育有不同成因的不连续面，这种不连续面在地质学和岩石力学中统称为岩体中的结构面[1]-[7]。根据岩体内结构面的地质成因，其类型主要有节理、片理、断层、层理、褶皱和整合等。正是由于岩体中各类结构面的存在会对其力学性质诸如稳定性、强度和变形等产生影响，因此在岩体中建造不同功能的地下结构时，一项极为重要的技术工作就是分析结构面对岩体稳定性的影响。而要开展此项工作则必先要学习和掌握基于Coulomb-Mohr强度理论的岩体结构面的力学效应。尤其是对就读于智能建造、土木工程、城市地下空间工程、工程地质、水利电力和采矿工程等专业的本科学生而言，则需要通过选修《岩石力学》课程来理解和掌握与此相关的内容。因此，分析结构面对岩体稳定性的影响就成为《岩石力学》课程中的一个重要教学内容，也是要求选修此课程的学生必须理解和掌握的知识点之一。由于该知识点涉及较多的理论推演，其内容包括了三角函数和Coulomb准则以及Mohr应力圆之间的运算，具有严格的数学运算和严密的逻辑关联。在教学实践中发现，学生仅以国内现行的参考书中讲解的内容进行学习时，在对岩体结构面稳定性分析中基本概念和方法的理解与掌握方面尚存在不少困难，因而课程的教学效果不甚理想，难以达到预期的教学目标，更不能有效引导和启发学生开展创新思维[1]-[7]。为此，本文就基于Coulomb-Mohr强度理论的结构面对岩体稳定性影响的教学内容进行研究和设计，结合岩体内单一结构面影响其稳定性分析方法的理论推导，设计了相应的教学内容，并给出了与此对应的教学组织，便于课程教学，进而实现教学目标，引导学生树立创新思维的意识，培养学生建立分析和解决与岩体稳定性有关的工程问题的能力。

2. 岩体内结构面对岩体稳定性影响的分析方法

岩体中结构面的类型和形态较多，为便于课堂讲授和学生理解与掌握，可先讲解岩体内发育有单一结构面的稳定性分析方法，并在此基础上引入两个及多个结构面影响下岩体稳定性的分析方法，同时就岩体和结构面在特殊状况下的稳定性和承载能力进行分析，引导和启发学生开展创新思维。此部分教学内容可从以下5个方面进行设计和组织，具体包括：(1) 分析岩体内单一结构面的抗剪强度；(2) 分析岩体受单一结构面影响的稳定性；(3) 分析岩体受两个结构面影响的稳定性；(4) 分析多个结构面对岩体稳定性和强度的影响；(5) 分析特殊状况如结构面无粘聚力以及岩体无围压状况时的稳定性和承载能力。

在上述4个教学内容中，考虑到岩体内单一结构面的抗剪强度和单一结构面对岩体稳定性影响的分析具有概念清晰、原理简洁的特点，因而可作为课堂讲解的切入点，遵循从简单到复杂的认知过程，如此更易于学生的理解和掌握。具体讲解的内容安排如下。

2.1. 岩体内单一结构面的抗剪强度

在讲授岩体受单一结构面影响的稳定性分析方法之前，首先需要讲解结构面的抗剪强度这一基本概念。为便于讲解和分析，设岩体中结构面的抗剪强度用τ_j来表示，结构面的黏聚力用C_j来表示，而其内摩擦角用${\varphi }_j$ 来表示。岩体内结构面的抗剪强度τ_j均采用岩土工程中应用最广泛的Coulomb准则来加以描述[1]-[10]，以Coulomb准则表述的岩体内结构面抗剪强度τ_j的计算公式为

$\tau \le {\tau }_j=\sigma \tan {\varphi }_j+C_j$ (1)

式中σ和τ分别是岩体在外荷载作用下其内部单一结构面上产生的法向正应力和剪应力，两者的单位均以MPa计。

从表达式(1)的数学意义分析，式(1)在二维坐标系中代表的是一条直线，直线的斜率为$\tan {\varphi }_j$ ，而截距为C_j。其工程意义是：当岩体在荷载作用下，其内部单一结构面上的剪应力τ小于结构面的抗剪强度τ_j时，岩体不会沿结构面发生滑移和破坏；而当结构面上产生的剪应力τ大于结构面的抗剪强度τ_j时，则岩体会沿该结构面会发生滑移而破坏；若结构面上所产生的剪应力τ等于其抗剪强度τ_j时，则岩体内的结构面会处于破坏和稳定的极限平衡状态，这便是Coulomb准则的精髓[8]-[10]。此外，式(1)也表明岩体内单一结构面的抗剪强度${\tau }_j$ 受结构面本身的黏聚力C_j和内摩擦角${\varphi }_j$ 的影响。在课堂讲授时需要向学生特别强调该知识点，使学生明确岩体内结构面发生的失稳和破坏是判断与分析岩体稳定性的前提。

2.2. 岩体内单一结构面对岩体稳定性影响的分析方法

在讲解岩体内单一结构面抗剪强度概念的基础之上，进一步分析受单一结构面影响的岩体稳定性。为便于课堂讲授和学生的理解，需要建立图1所示的圆柱形岩体内发育有单一结构面的力学模型。

Figure 1. Single structural plane in cylindrical rock mass and its loading condition

图1. 圆柱形岩体内单一结构面及其承载状态

为简化计算，还需要做出以下假设：

(1) 将圆柱形岩体视为均质的各向同性介质，其轴向和周围均处于受压状态。圆柱形岩体所受到的轴向最大主压应力为σ₁，其周围受到的最小主压应力为σ₃，且σ₁ > σ₃，两者的单位均以MPa计；

(2) 圆柱形岩体内发育有且仅有一个结构面AB，结构面AB为平直面，且结构面AB与水平面之间的夹角为β，单位为˚；

(3) 圆柱形岩体内结构面AB的抗剪强度τ_j满足Coulomb准则，即满足式(1)。

根据上述的假设，则图1(a)即为三维圆柱形岩体的承载模型，其内部发育有平直的结构面AB。考虑到岩体所承受的围压相等，故将圆柱形岩体的三维承载模型简化为图1(b)所示的二维承载模型。根据图1(b)中的岩体承载状况，并利用静力平衡的关系即可求得岩体内单一结构面AB上产生的法向正应力σ和剪切应力τ，其单位均以MPa计，且两者的关系式为

$\{\begin{array}{l}\sigma =\frac{1}{2}\left({\sigma }_1+{\sigma }_3\right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)\cos 2\beta \\ \tau =\frac{1}{2}\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)\sin 2\beta \end{array}$ (2)

式(2)就代表了圆柱形岩体在最大主应力σ₁和最小主应力σ₃作用下其内部单一结构面AB上的法向正应力σ和剪切应力τ的计算公式。将式(2)经过变换可得到

$\{\begin{array}{l}\sigma -\frac{1}{2}\left({\sigma }_1+{\sigma }_3\right)=\frac{1}{2}\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)\cos 2\beta \\ \tau =\frac{1}{2}\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)\sin 2\beta \end{array}$ (3)

将式(3)中的两式等号两端平方之后再将两式相加后可得到

${\left[\sigma -\frac{1}{2}\left({\sigma }_1+{\sigma }_3\right)\right]}^2+{\tau }^2={\left[\frac{1}{2}\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)\right]}^2$ (4)

很显然式(4)代表了以正应力σ为横坐标而以剪应力τ为纵坐标的二维坐标系上一个圆的方程，该圆即为Mohr应力圆[11] [12]。

根据Mohr应力圆的性质可得[11] [12]，在应力σ-τ二维坐标系中，Mohr应力圆圆周上任意一点的横、纵坐标就分别代表了岩体内结构面AB上产生的法向正应力σ和剪应力τ，其表达式见式(2)。至此，若已知岩体承受的最大主应力为σ₁且最小主应力为σ₃时，则其内部单一结构面AB上的法向正应力σ和剪切应力τ可由式(2)计算得到。结合岩体内单一结构面AB抗剪强度τ_j的表达式(1)以及结构面AB上的应力表达式(2)，即可分析受单一结构面影响的岩体稳定性。

目前，有两种方法来分析受单一结构面影响的岩体稳定性，即

(1) 直接将岩体内单一结构面上的剪应力τ与其抗剪强度τ_j进行对比，即利用Coulomb准则进行分析；

(2) 利用Coulomb-Mohr强度理论进行分析。

在课堂向学生讲解时可分别按照以下内容进行组织和实施。

2.2.1. 基于Coulomb准则的岩体受单一结构面影响的稳定性分析方法

根据Coulomb准则，当结构面AB上产生的剪应力τ小于结构面的抗剪强度τ_j时，岩体不沿结构面发生滑移和破坏，此时岩体处于稳定状态。为此，将图1(b)所示的圆柱形岩体在最大主应力σ₁和最小主应力σ₃作用下，其内部单一结构面AB上的剪应力τ和法向正应力σ的表达式即式(2)代入式(1)，可得到判断岩体受单一结构面影响时的稳定性，即有

$\frac{1}{2}\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)\sin 2\beta \le \left[\frac{1}{2}\left({\sigma }_1+{\sigma }_3\right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)\cos 2\beta \right]\tan {\varphi }_j+C_j$ (5)

将式(5)根据其中的三角函数进行运算和化简后得到

${\sigma }_1\cos \beta \sin \left({\varphi }_j-\beta \right)+{\sigma }_{3}sin\beta \cos \left({\varphi }_j-\beta \right)+C_j\cos {\varphi }_j\ge 0$ (6)

从式(6)即可判断，当该表达式左端的计算值大于0，即岩体在单一结构面的影响下处于稳定状态；若表达式(6)左端的计算值小于0时则表明岩体在单一结构面的影响下处于不稳定状态。若表达式(6)的计算值等于0，则表明岩体处于稳定和失稳破坏的极限平衡状态。

结合式(6)所示的判断方法，在课程讲授中，为引导和启发学生开展创新思维，还可以结合该式对岩体受单一结构面影响的特殊承载状况下的稳定性进行分析。此处的特殊状况就是，当岩体所承受的围压σ₃ = 0时，即圆柱形岩体不承受围压的作用，此时式(6)可简化成

${\sigma }_1\cos \beta \sin \left({\varphi }_j-\beta \right)+C_j\cos {\varphi }_j\ge 0$ (7)

此时，岩体受单一结构面影响下的稳定性需要从结构面AB的内摩擦角${\varphi }_j$ 和结构面AB与水平面之间夹角β的相互关系而定，会存在有以下4种状况：

(1) 当${\varphi }_j>\beta$ 时，因为$\sin \left({\varphi }_j-\beta \right)>0$ ，因此式(7)总是满足的，因而在外荷载作用下岩体受单一结构面影响下处于稳定状态。

(2) 当${\varphi }_j=\beta$ 时，式(7)也总是满足的，因而在外荷载作用下岩体受结构面影响下仍处于稳定状态。

(3) 当${\varphi }_j<\beta$ 时，由于$\sin \left({\varphi }_j-\beta \right)<0$ ，则式(7)的第一项${\sigma }_1\cos \beta \sin \left({\varphi }_j-\beta \right)<0$ ，而第2项$C_j\cos {\varphi }_j\ge 0$ ，则式(7)不一定总能得到满足，因而此时岩体在结构面影响下的稳定状态需要结合其中个参数具体的数值经过采用式(7)计算后得到的正负值再加以判断。

(4) 当$\beta ={\text{45}}^{\circ }+{\varphi }_j/2$ 时，则式(7)可简化成

${\sigma }_1\le \frac{C_j\cos {\varphi }_j}{1-\sin {\varphi }_j}$ (8)

此时岩体中结构面的倾角β与各向同性的均质岩体发生破坏时中所产生的破裂面的方向一致，岩体仍处于不稳定状态。

以上便讲解了根据Coulomb准则来分析和判断岩体内具有单一结构面时该结构面对岩体稳定性影响的分析方法。

2.2.2. 基于Coulomb-Mohr强度理论的岩体受单一结构面影响的稳定性分析方法

1) 岩体稳定性分析方法的理论推导

在讲解基于Coulomb准则的岩体受单一结构面影响的稳定性分析方法之后，还需要进一步向学生讲解结合Coulomb准则和Mohr应力圆的岩体稳定性分析方法，这是判断岩体内单一结构面对其稳定性影响的第2种方法。根据《岩石力学》课程中对这部分教学内容的安排，在向学生讲解岩体受结构面影响的稳定性分析方法之前，就已经讲授过了完整岩石即不含有结构面的岩石试件抗剪强度的计算方法。完整岩石的抗剪强度仍然是基于Coulomb准则来判断的[8]-[10]。因此当岩石内含有结构面时，结构面的抗剪强度显然要低于不含有结构面的完整岩石的抗剪强度。

为便于讲解，设不含有结构面的完整岩石的抗剪强度为τ_r，其黏聚力为C，内摩擦角为$\varphi$ 。则根据Coulomb准则可知，完整岩石的抗剪强度也是一条直线，并且有

$\tau \le {\tau }_r=\sigma \tan \varphi +C$ (9)

式中σ和τ分别是完整岩石在最大主应力σ₁和最小主应力σ₃作用下发生破坏时作用于其内部破裂面上的正应力和剪应力，两者的单位均以MPa计。

当完整岩石在最大主应力σ₁和最小主应力σ₃的作用下发生破坏时，设其内部的破裂面为CD，且该破裂面CD与水平面之间的夹角为α，见图2。根据Coulomb-Mohr强度理论可得[1]-[10]，完整岩石抗剪强度必定与Mohr应力圆相切，两者的关系见图3。

Figure 2. Shear failure mode of sound rock

图2. 完整岩石的剪切破坏模式

Figure 3. Shear strength of sound rock

图3. 完整岩石的抗剪强度

根据图2和图3所示的完整岩石的剪切破坏模式和抗剪强度，其破裂面CD上的法向正应力σ和切向剪应力τ可根据Mohr应力圆加以求得，即

$\{\begin{array}{l}\sigma =\frac{1}{2}\left({\sigma }_1+{\sigma }_3\right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)\cos 2\alpha \\ \tau =\frac{1}{2}\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)\sin 2\alpha \end{array}$ (10)

根据Coulomb-Mohr强度理论，当完整岩石发生破坏时岩石的抗剪强度直线必定与Mohr应力圆相切[1]-[10]，具体见图3所示。而当该岩石内含有单一结构面且在同样大小的最大主应力σ₁和最小主应力σ₃作用下，岩石内单一结构面发生破坏时结构面上的剪应力τ会超过其抗剪强度τ_r。很显然，完整岩石的抗剪强度τ_r和其内部含有单一结构面时结构面的抗剪强度τ_j之间的关系可用图4表示。

Figure 4. Comparison of the shear strength curves between sound rock and structural plane

图4. 完整岩石和结构面的抗剪强度曲线对比

在图4中，直线IJK用来体现完整岩石的抗剪强度，直线IJK与最大主应力σ₁和最小主应力σ₃所组合的Mohr应力圆的圆周相切于点J，如此即表示完整岩石在最大主应力σ₁和最小主应力σ₃的作用下，其内部破裂面CD上的应力超过其抗剪强度而发生破坏。与此相对应的图4中岩体内具有单一结构面AB时，结构面AB的抗剪强度可用直线段EFGH来表示，很显然结构面AB的抗剪强度要低于完整岩石的抗剪强度。即在图4中反映岩体内结构面AB抗剪强度的直线段EFGH位于反映完整岩石抗剪强度的直线段IJK的下部。在图4中，体现岩体中单一结构面AB抗剪强度的直线段EFGH与Mohr应力圆O₁的圆周相交，交点分别为点F和点G。

从图1可以看出，当岩体承受最大主应力σ₁和最小主应力σ₃作用时，其内部单一结构面AB上作用的法向正应力为σ，而剪应力为τ。根据Coulomb准则，当剪应力τ超过其抗剪强度τ_j时岩体沿结构面AB发生滑移而破坏，而当剪应力τ小于其抗剪强度τ_j时岩体不会沿结构面AB发生滑移。根据图4中Mohr应力圆上的坐标分析，当Mohr应力圆圆周上的坐标点位于抗剪强度直线段EFGH的上部时，代表结构面上的剪应力τ超过其抗剪强度τ_j，因而结构面AB会发生滑移而破坏；而当Mohr圆圆周上的坐标点位于抗剪强度直线段EFGH的下部时，则结构面上的剪应力τ小于其抗剪强度τ_j，因而结构面AB不会发生滑移而破坏。

为便于分析，连接图4中的O₁F、O₁G、FM、FN和MG，使其各自成为直线段。则根据图4中Mohr应力圆的性质，则有∠GO₁N = 2β。此处β为岩体中单一结构面AB与水平面之间的夹角，见图1(b)。根据图4中的几何关系，令∠GMO₁ = β₁，∠FMO₁ = β₂。在△MO₁G中，其两条邻边MO₁和GO₁均为应力圆O₁的两条半径，因而有MO₁ = GO₁，则△MO₁G是一个等腰三角形，因此有∠GMO₁ = ∠MGO₁ = β₁。此外∠GO₁N为△MO₁G的一个外角，则有∠GO₁N = ∠GMO₁+∠MGO₁ = 2β₁，由此得到2β = 2β₁，从而有β = β₁。此表明单一结构面AB与水平面之间的夹角β与∠GMO₁的数值相等。因此，就图4中的几何关系分析，当岩体中单一结构面AB与水平面之间的夹角β满足β₁ ≤ β ≤ β₂时，Mohr应力圆圆周上的点将会位于结构面抗剪强度直线段EFGH的上部，表示岩体中单一结构面上的剪应力τ超过其抗剪强度τ_j，岩体会沿结构面AB发生滑移而破坏。而当β满足β < β₁或β > β₂时，Mohr应力圆圆周上的点会落在结构面抗剪强度直线EFGH的下部，表示岩体中单一结构面上的剪应力τ小于其抗剪强度τ_j，岩体不会沿结构面AB发生滑移而破坏。因此将β₁ ≤ β ≤ β₂就作为基于Coulomb-Mohr强度理论的岩体受单一结构面影响的稳定性判定条件。

为此，若要判断岩体受外荷载作用下其内部单一结构面对岩体稳定性的影响，则需要分别求得角度β₁和角度β₂，然后再利用角度β是否满足β₁ ≤ β ≤ β₂来分析岩体在单一结构面影响下的破坏与稳定状态。在课堂讲解时，需要先根据图4求出角度β₁，然后再求出角度β₂。具体的求解过程讲解如下。

在Rt△EOQ中$\angle QEO={\varphi }_j$ ，即∠QEO代表了结构面的内摩擦角${\varphi }_j$ 。而二维坐标线系中的截距OQ = C_j，即代表结构面的黏聚力，在Rt△EOQ则有$EO=C_j\cot {\varphi }_j$ 。由于OM = σ₃，ON = σ₁，则Mohr应力圆的半径MO₁ = GO₁ = (σ₁ − σ₃)/2，从而有$E{O}_1=EO+OM+M{O}_1=C_j\cot {\varphi }_j+\left({\sigma }_1+{\sigma }_3\right)/2$ 。在△EO₁G中，其一条边GO₁ = (σ₁ − σ₃)/2，则在△EO₁G中根据三角形内角的正弦定理可得

$\frac{\sin \angle GE{O}_1}{O_{1}G}=\frac{\sin \angle EG{O}_1}{E{O}_1}$ (11)

将前文得到的$\angle GE{O}_{\text{1}}=\angle QEO={\varphi }_j$ 以及前文中得到的EO₁和GO₁表达式均入式(11)即可得到

$\sin \angle EG{O}_1=\frac{2C_j\cot {\varphi }_j+\left({\sigma }_1+{\sigma }_3\right)}{\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)}\sin {\varphi }_j$ (12)

从而由式(12)得到

$\angle EG{O}_1=\arcsin \left[\frac{2C_j\cot {\varphi }_j+\left({\sigma }_1+{\sigma }_3\right)}{\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)}\sin {\varphi }_j\right]$ (13)

在△EO₁G中利用∠GO₁N为其一个外角的关系，则有∠GO₁N = ∠GEO₁+∠EGO₁，由该式可得

${\beta }_1=\frac{1}{2}\arcsin \left[\frac{2C_j\cot {\varphi }_j+\left({\sigma }_1+{\sigma }_3\right)}{{\sigma }_1-{\sigma }_3}\sin {\varphi }_j\right]+\frac{{\varphi }_j}{2}$ (14)

从式(14)可以看出，角度β₁不仅受最大主应力σ₁和最小主应力σ₃的影响，而且还受结构面的黏聚力C_j和内摩擦角${\varphi }_j$ 的影响。

现在根据图4中的几何关系来求解角度β₂。在Mohr应力圆O₁的圆周上，较小的圆弧GN所对应的圆周角分别有∠GFN和∠GMN，因而有∠GFN = ∠GMN。由于∠GMN = ∠GMO₁ = β₁，故有∠GMN = β₁，从而∠GFN = β₁。由于△NFM为一个直角三角形，则有∠NFM = 90˚。此外在△EFM中∠FMO₁为△EFM的一个外角，则有∠FMO₁ = ∠FEM + ∠EFM，从而有∠EFM = ∠FMO₁ − ∠FEM，同时有$\angle FEM={\varphi }_j$ ，且∠FMO₁ = β₂，从而得到$\angle EFM={\beta }_{\text{2}}-{\varphi }_j$ 。在图4中由于∠EFM + ∠MFN + ∠GFN = 180˚。将上述所得到的$\angle EFM={\beta }_{\text{2}}-{\varphi }_j$ 和∠MFN = 90˚均代入表达式∠EFM + ∠MFN + ∠GFN = 180˚后即可得到${\beta }_{\text{2}}=\text{9}{0}^{\circ }+{\varphi }_j-{\beta }_{\text{1}}$ 。将前文中得到的式(14)代入${\beta }_{\text{2}}=\text{9}{0}^{\circ }+{\varphi }_j-{\beta }_{\text{1}}$ 之后化简便可得

${\beta }_2=\frac{\pi }{2}+\frac{{\varphi }_j}{2}-\frac{1}{2}\arcsin \left[\frac{2C_j\cot {\varphi }_j+\left({\sigma }_1+{\sigma }_3\right)}{{\sigma }_1-{\sigma }_3}\sin {\varphi }_j\right]$ (15)

从式(15)可以看出，角度β₂不仅受最大主应力σ₁和最小主应力σ₃的影响，同时还受到单一结构面AB的黏聚力C_j和内摩擦角${\varphi }_j$ 的影响。

至此便得到了角度β₁和角度β₂的计算公式，两者的具体表达式分别为：

$\{\begin{array}{l}{\beta }_1=\frac{1}{2}\arcsin \left[\frac{2C_j\cot {\varphi }_j+\left({\sigma }_1+{\sigma }_3\right)}{{\sigma }_1-{\sigma }_3}\sin {\varphi }_j\right]+\frac{{\varphi }_j}{2}\\ {\beta }_2=\frac{\pi }{2}+\frac{{\varphi }_j}{2}-\frac{1}{2}\arcsin \left[\frac{2C_j\cot {\varphi }_j+\left({\sigma }_1+{\sigma }_3\right)}{{\sigma }_1-{\sigma }_3}\sin {\varphi }_j\right]\end{array}$ (16)

在得到角度β₁和角度β₂之后，就可以根据岩体内单一结构面AB与水平面之间的夹角β来判定岩体是否沿结构面AB发生滑移和破坏。即当β₁ ≤ β ≤ β₂时岩体在最大主应力σ₁和最小主应力σ₃的作用下会沿其内部的单一结构面AB发生滑移而失稳。当β满足β < β₁或β > β₂时则岩体不会沿结构面AB发生滑移，岩体处于稳定状态。若即便岩体发生了破坏，则岩体沿其他破裂面而发生破坏，与该单一结构面无关。

2) 岩体内单一结构面抗剪强度的变化特征

在得到基于Coulomb-Mohr强度理论的岩体稳定性分析方法后，对岩体内单一结构面抗剪强度的变化特征进行分析和讲解。将根据Mohr应力圆计算所得到的反映岩体内单一结构面AB上的正应力σ和剪应力τ的公式(2)代入以Coulomb准则表达的结构面抗剪强度表达式(1)中，即可得到岩体内单一结构面处于极限平衡状态时的表达式为

$\frac{1}{2}\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)\sin 2\beta =\left[\frac{1}{2}\left({\sigma }_1+{\sigma }_3\right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)co\mathrm{s}2\beta \right]\tan {\varphi }_j+C_j$ (17)

将式(17)中的三角函数经过化简后得到关于主应力差(σ₁ − σ₃)的一个表达式，即

${\sigma }_1-{\sigma }_3=\frac{2C_j+2{\sigma }_3\tan {\varphi }_j}{\sin 2\beta \left(1-\cot \beta \tan {\varphi }_j\right)}$ (18)

式(18)所体现的工程意义就是当岩体在最大主应力σ₁和最小主应力σ₃的作用下，其内部单一结构面处于稳定和滑移失稳的极限状态。此外，分析式(18)还可以得到，即便是保持结构面的黏聚力C_j和内摩擦角φ_j以及角度β不变，也会有无数个主应力σ₁和σ₃的组合满足式(18)，并且使结构面AB与水平面之间的夹角保持为β。

式(18)还表明主应力之差(σ₁ − σ₃)受到3个参数即结构面的粘聚力C_j和内摩擦角φ_j以及角度β的控制。为便于学生理解，此处可对最大主应力σ₁与3个参数之间的变化关系进行分析，通过分析可引导和启发学生进行的创新思维，并有助于学生建立工程经验。分析的具体内容如下：

(1)当结构面黏聚力C_j和内摩擦角φ_j保持不变而使角度β发生改变

当岩体内结构面的黏聚力C_j和内摩擦角φ_j保持不变，则从式(18)可以得到，当sin2β = 0即β = π/2时有(σ₁ − σ₃)→∞，且当(1 − cotβtanφ_j) = 0即β = φ_j时也有(σ₁ − σ₃)→∞。很显然β必须满足β ∈ (φ_j, π/2)时式(18)才能成立，并且具有实际工程意义，也就是当角度β满足β ∈ (φ, π/2)时岩体才有沿结构面AB发生滑移和破坏的可能，由此表明角度β的取值应当满足β ∈ (φ_j, π/2)。

若岩体所受的主应力差为(σ₁ − σ₃)，其内部发育有单一结构面AB，见图1所示。设结构面AB的黏聚力C_j = 0.5 MPa，内摩擦角φ_j = 30˚，并且保持其所承受的围压σ₃ = 1.0 MPa不发生改变，仅改变角度β，则岩体沿结构面AB发生破坏时的最大主应力σ₁和角度β之间的变化关系见图5。

Figure 5. Relationship between maximal principal stress σ₁ and angle β at constant σ₃ = 1.0 MPa

图5. 围压σ₃ = 1.0 MPa不变时最大主应力σ₁与角度β之间的关系

从图5可以看出，当β ∈ (φ_j, π/2)时最大主应力σ₁在该区间内的图形呈浴盆状。当β = 60˚时最大主应力σ₁达到最小值，而当β角分别越接近φ_j和π/2时，主应力σ₁值越大，且主应力σ₁的值随角度β的变化曲线以β = 60˚的应力值呈左右对称。

(2) 当结构面黏聚力C_j和内摩擦角${\varphi }_j$ 以及角度β保持不变，而仅改变围压σ₃

若岩体内部发育有单一结构面AB，见图1所示。结构面AB的黏聚力C_j = 0.5 MPa，内摩擦角φ_j = 30˚，并且保持结构面AB与水平面之间的夹角β = 35˚不变，而改变其所承受的围压，即使σ₃ = 1.0 MPa~10.0 MPa，则岩体沿结构面AB发生破坏时的最大主应力σ₁和最小主应力σ₃之间的关系曲线见图6。

Figure 6. Relationship between maximal principal stress σ₁ and confining pressure σ₃ at β = 30˚

图6. 角度β = 30˚不变时最大主应力σ₁与围压σ₃之间的关系

根据图6可以看出，当岩体内单一结构面的黏聚力C_j = 0.5 MPa，内摩擦角φ_j = 30˚以及角度β = 30˚保持不变时，岩体承受的最大主应力σ₁会随着围压即最小主应力σ₃的增大而呈线性增加。这也就表明适当提高岩体所承受的围压会增加岩体的抗压强度，围压的存在会增加岩体的三轴抗压强度。

(3)当岩体所承受的围压σ₃ = 1.0 MPa保持不变，且使其内部单一结构面AB的内摩擦角φ_j = 30˚和角度β = 35˚也保持不变，仅改变结构面AB的黏聚力C_j，且使C_j = 0.5~6.0 MPa，则岩体沿结构面AB发生破坏时的最大主应力σ₁与结构面AB黏聚力C_j之间的变化关系见图7。

Figure 7. Relationship between maximal principal stress σ₁ and cohesion C_j of structural plane at constant confining pressure

图7. 围压保持不变时最大主应力σ₁与结构面黏聚力C_j之间的关系

从图7可以看出，当岩体所承受的围压σ₃ = 1.0 MPa保持不变，且使结构面的内摩擦角φ_j = 30˚和角度β = 35˚也保持不变，岩体在最大主应力σ₁作用下发生破坏时，最大主应力σ₁会随着结构面黏聚力C_j的增加而增大，由此得到适当提高岩体内结构面的黏聚力C_j会增加岩体的抗压强度。在岩体工程中可采取的措施包括向岩体的结构面内压注水泥浆液、水泥和水玻璃浆液等，目的就是增加结构面的黏聚力，借以提高岩体的稳定性。

(4) 由于式(18)所体现的两个主应力差即(σ₁ − σ₃)会随着角度β而发生变化，可以求主应力差(σ₁ − σ₃)值关于角度β的极值，为此将式(18)中的主应力差(σ₁ − σ₃)对角度β求一阶偏导数，并令其值等于0，即

$\frac{\partial \left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)}{\partial \beta }=0$ (19)

将式(18)代入式(19)得到

$\frac{-\left(2C_j+2{\sigma }_3\tan {\varphi }_j\right)\left(2\cos 2\beta +4\sin \beta \cos \beta \tan {\varphi }_j\right)}{{\left[\sin 2\beta \left(1-\cot \beta \tan {\varphi }_j\right)\right]}^2}=0$ (20)

要使式(20)成立，则必有

$2\cos 2\beta +4\sin \beta \cos \beta \tan {\varphi }_j=0$ (21)

对式(21)中的三角函数进行化简后得到角度β为

$\beta =\frac{\pi }{4}+\frac{{\varphi }_j}{2}$ (22)

当角度β取式(22)所示的值时，主应力差值(σ₁ − σ₃)达到最小。从主应力差值(σ₁ − σ₃)的物理意义分析，其实质上就代表了Mohr应力圆的半径，因而就可以得到结构面抗剪强度直线EFGH与Mohr应力圆相切的最小半径。将式(22)代入式(18)经过化简后得到结构面抗剪强度直线EFGH与Mohr应力圆O₁相切的最小半径(σ₁ − σ₃)_min为

$\frac{{\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)}_{\min }}{2}=\frac{C_j+{\sigma }_3\tan {\varphi }_j}{\sqrt{1+{\tan }^2{\varphi }_j}-\tan {\varphi }_j}$ (23)

此时岩体内单一结构面AB与Mohr应力圆相切的极限状态所对应的最小半径的Mohr应力圆见图8所示。

Figure 8. The minimal Mohr stress circle of a single structural plane in rock mass

图8. 岩体内单一结构面的最小Mohr应力圆

图8中由最大主应力σ₁和最小主应力σ₃组合的Mohr应力圆与结构面抗剪强度直线EJH相切，此时∠JO₁N是△EO₁J的一个外角，其与△EO₁J的另外两个不相邻的内角之间满足式(22)。此处，结合图8需要向学生再次强调角度β与结构面内摩擦角${\varphi }_j$ 之间的关系即式(22)，从而促进学生对结构面处于破坏极限状态时两个角度之间函数关系的理解和掌握。

3) 特殊状况下岩体结构面的稳定性分析

在讲授上述内容后，为引导学生开展创新思维，还应当对岩体结构面处于特殊状况下的稳定性进行分析。即当岩体中的结构面诸如节理、层理等不具有黏聚力时，则结构面的黏聚力C_j = 0。由此式(1)可简化为

$\tau \le {\tau }_j=\sigma \tan {\varphi }_j$ (24)

式(24)表明当岩体内发育有单一结构面且结构面无黏聚力时，即层间无黏性的岩体，岩体的抗剪强度就由结构面本身的内摩擦角${\varphi }_j$ 来提供。将结构面的C_j = 0代入式(18)后得到

${\sigma }_1-{\sigma }_3=\frac{2{\sigma }_3\tan {\varphi }_j}{\sin 2\beta \left(1-\cot \beta \tan {\varphi }_j\right)}$ (25)

将式(25)经过化简得到

$\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_3}=\frac{\tan \beta }{\tan \left(\beta -{\varphi }_j\right)}$ (26)

式(26)表明，若岩体中的单一结构面无黏聚力，即C_j = 0，则岩体内结构面处于极限平衡状态时，岩体所承受的最大主应力σ₁和最小主应力σ₃互成比例，两者的比值取决于结构面AB的内摩擦角φ_j和结构面AB与水平面之间的角度β。利用式(26)就可以计算层状无黏性岩体中开挖地下硐室如交通隧道、水工隧洞等后，地下硐室的围岩处于极限平衡状态时所承受的最大竖向和侧向压力值。

以上便讲解了基于Coulomb-Mohr强度理论的岩体内单一结构面对岩体稳定性影响的分析方法和岩体结构面强度与其所承受荷载σ₁和σ₃以及角度β之间的变化特征。为使学生在理解的基础上掌握和应用判断受单一结构面控制的岩体稳定性分析方法，可列举1~2个案例进行讲解。

2.3. 案例讲解与分析

为便于学生理解和掌握上述的2两种分析岩体内结构面对其稳定性影响的方法，在课堂讲授期间分别列举2个根据所讲解的公式来判断岩体稳定性的案例。

(1) 案例1

首先列举采用公式(6)来判断单一结构面对岩体稳定性影响的分析方法。已知岩体内发育有单一节理，其承载状态见图1所示。经过测定，岩体内单一节理面AB与水平面之间的夹角β = 60˚，岩体所承受的轴向最大主应力σ₁ = 160.0 MPa，其所承受的围压即最小主应力σ₃ = 20.0 MPa，节理面的黏聚力C_j = 10.0 MPa，节理面的内摩擦角${\varphi }_j=\text{2}{0}^{\circ }$ ，将以上各个参数代入式(6)可得

$\begin{array}{l}{\sigma }_1\cos \beta \sin \left({\varphi }_j-\beta \right)+{\sigma }_{3}sin\beta \cos \left({\varphi }_j-\beta \right)+C_j\cos {\varphi }_j\\ =160.0\times \cos {60}^{\circ }\times \sin \left({20}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)+20.0\times \sin {60}^{\circ }\times \cos \left({20}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)+10\times \cos {20}^{\circ }\\ =-28.76<0\end{array}$ (27)

根据式(27)表明，利用式(6)计算得到的数值小于0，因此可以判断当岩体受到主应力σ₁ = 160.0 MPa和σ₃ = 20.0 MPa的作用下，其内部的节理面会发生剪切滑移而破坏，使岩体处于不稳定状态。

(2) 案例2

第2种判断单一结构面影响岩体稳定性的方法是利用式(16)分别计算出岩体在最大主应力σ₁和最小主应力σ₃作用下的角度β₁和β₂，然后判断结构面的倾角β是满足β₁ ≤ β ≤ β₂还是满足β < β₁或β > β₂。若结构面的倾角β满足β₁ ≤ β ≤ β₂则断定岩体处于不稳定状态，而当角度β满足β < β₁或β > β₂时，则可以判定岩体处于稳定状态。现将案例1中的各个参数分别代入式(16)即可得到

$\{\begin{array}{l}{\beta }_1=\frac{1}{2}\arcsin \left[\frac{2\times 10\times \cot {20}^{\circ }+\left(160+20\right)}{160-20}\times \sin {20}^{\circ }\right]+\frac{{20}^{\circ }}{2}={27.52}^{\circ }\\ {\beta }_2=\frac{\pi }{2}+\frac{{20}^{\circ }}{2}-\frac{1}{2}\arcsin \left[\frac{2\times 10\times \cot {20}^{\circ }+\left(160+20\right)}{160-20}\times \sin {20}^{\circ }\right]={82.48}^{\circ }\end{array}$ (28)

式(28)中给出了两个角度β₁和β₂的具体数值，将其与节理面的倾角β = 60˚相比可知β₁ = 27.52˚ ≤ β = 60˚ ≤ β₂ = 82.48˚，因此节理面与水平面的倾角β满足β₁ ≤ β ≤ β₂，故可以判断岩体处于不稳定状态。该结论与案例1中分析判断的结论一致。由此表明，尽管采用两种方法进行计算的过程不同，但得到的结果是一致的。

此外，为进一步引导学生利用第2种方法解决工程实际问题，以图9所示的某铁路单线隧道穿越单组节理岩体为例讲解式(26)的应用。

Figure 9. The stability of tunnel side wall in single jointed rock mass

图9. 单组节理岩体中隧道边墙的稳定性

如图9所示的节理岩体，若已测定岩体中的最大竖向压应力σ₁ = 16.0 MPa，并且岩体中发育有一组节理，节理面的真倾角β = 60˚，节理面的内摩擦角φ_j = 20˚，节理面的黏聚力C_j = 0，即不考虑节理面的黏聚力，也不考虑岩体中地下水的影响。则在该节理岩体中开挖一座单线铁路隧道时就需要考虑左右边墙部位节理岩体的稳定性，以确保隧道施工和运营期隧道衬砌结构的安全，实际上也就是要确定维持隧道边墙部位岩体稳定所需要的水平推力即最小主应力σ₃的数值。此类问题是山岭隧道结构设计中的常见技术问题。为确定水平推力即σ₃的数值可利用本文中的式(26)来计算。将与图9中相关的参数代入式(26)就可以计算得到维持该铁路隧道边墙部位岩体稳定的最小主应力即σ₃，其值为

${\sigma }_3={\sigma }_1\frac{\tan \left(\beta -{\varphi }_j\right)}{\tan \beta }=16.0\text{MPa}\times \frac{\tan \left({60}^{\circ }-{20}^{\circ }\right)}{\tan {60}^{\circ }}=7.75\text{MPa}$ (29)

由式(29)所显示的结果可得，若要维持该单线铁路隧道边墙岩体稳定则需要的最小水平推力应为7.75 MPa。同时，在设计隧道衬砌结构时，就可以将该水平推力作为围岩施加在隧道边墙衬砌上的侧向压力来予以考虑。

通过上述的案例讲解，不仅使学生能够理解和掌握判断节理岩体稳定的计算和分析方法，更有利于引导学生积累工程经验和树立创新的意识。

2.4. 岩体内有多组结构面的稳定性分析发方法

在讲解岩体内发育有单一结构面稳定性分析方法的基础上，还应当对岩体在两个以及多个结构面控制下的稳定性进行分析。当岩体内发育有多个结构面时，其稳定性就可以借助单一结构面稳定性的分析方法进行判断。对于发育有多个结构面的岩体稳定性，可按照以下3种状况分别加以分析：

(1) 当岩体中发育有两个结构面时，则需要判断两个结构面的参数不满足式(6)或者满足β < β₁或β > β₂的是哪一个结构面。很显然，只要其中有一个结构面的参数不满足式(6)或者满足β₁ ≤ β ≤ β₂时，岩体在外荷载作用下的稳定性就取决于该结构面的抗剪强度，并且岩体在外荷载作用下会沿该结构面发生滑移而引起破坏。

(2) 当两个结构面均不满足式(6)或者均满足β₁ ≤ β ≤ β₂，则岩体在外荷载作用下的稳定性将由组成Mohr应力圆半径最小的一个结构面来控制，即岩体会沿组成Mohr应力圆半径最小的结构面发生滑移失稳而破坏。

(3) 当岩体中发育有两个以上的结构面均满足式(6)而且也不满足β₁ ≤ β ≤ β₂，则岩体在外荷载作用下的稳定性和强度就由岩体本身的抗剪强度来决定，不受其内部结构面的控制，即在此种状况下岩体受外部荷载的作用下不沿结构面发生破坏。

3. 讨论

岩体中结构面的存在可能会影响岩体的稳定性和强度等力学性质。当岩体内无结构面时，在外部荷载的作用下岩体的稳定性和强度受控于岩体本身的黏聚力C和内摩擦角$\varphi$ 。而当岩体内发育有不同类型的结构面时，结构面的类型及其强度可能会影响到岩体的稳定性和强度。在课程教学中首先应使学生明确这个概念。要分析岩体的稳定性和强度就需要了解和掌握结构面的抗剪强度。为便于学生理解和掌握，可先讲解岩体中发育有单一结构面时岩体稳定性的分析方法，基本思路就是要应用Coulomb准则和Mohr应力圆。用Coulomb准则进行分析的实质就是判定岩体在外荷载作用下其内部结构面上的剪应力τ是否超过结构面的抗剪强度τ_j。若结构面上的剪应力τ超过结构面的抗剪强度τ_j，则岩体会沿结构面发生滑移进而引起岩体的破坏，否则岩体不发生破坏。结构面上的应力包括了法向正应力σ和剪切应力τ，两者可根据圆柱形岩体承受外部荷载作用下的静力平衡关系求得。而Mohr应力圆则提供了求解结构面上法向正应力σ和剪切应力τ的简洁方法[11] [12]，当Mohr应力圆的圆周与Coulomb准则反映的结构面抗剪强度的直线相切时，结构面就处于稳定和失稳的极限平衡状态，可以较方便地用来判定岩体的平衡性。具体可分别结合本文中的图1~图4和图8进行讲解，更利于学生的理解和掌握。

在讲解岩体内单一结构面稳定分析方法的基础上，进一步分析岩体内含有两个结构面以及多个结构面的稳定性分析方法。其基本的思路就是得出每个结构面上的法向正应力σ和剪应力τ，然后判断结构面上的剪应力τ是否满足式(6)或者判断该结构面与水平面之间的夹角β是否满足β < β₁或β > β₂。当两个结构面上的剪应力τ或者角度β均满足上述条件时，则岩体处于稳定状态，结构面的存在不影响岩体的稳定和强度。当两个结构面均不满足上述条件时，则岩体的稳定性受结构面的影响，此时岩体将沿组成Mohr应力圆半径最小的结构面发生滑移而破坏。当岩体内发育有多于2个以上的结构面时，岩体在外荷载作用下的破坏必然要受结构面的控制。当岩体内发育的结构面数量越多，则岩体就越趋近于各向同性的均质岩体，但与各向同性的均质岩体相比，由于受到众多结构面的切割影响，此时岩体的稳定性和强度等力学性质会显著降低。

对比文中讲解的分析结构面影响下岩体稳定性的两种方法可知，其原理是一致的，但从便于工程应用的角度分析，虽然式(6)的表达式较为简洁，且计算工作量较小，但不直观。而式(16)的表达式虽然形式较复杂，且计算和分析的工作量较大，但其概念明确，含义较为直观，更容易理解和应用，因此实际工程应用中建议优先采用求解β角度或者以式(16)所体现的方法来计算和分析岩体受结构面影响下的稳定性。

为使学生能够理解和掌握课程的教学内容，提高课堂教学质量，在课堂讲解此部分内容的过程中，还需要积极引导学生参与教学活动。具体的安排包括在课堂上随机抽点若干名学生，就教师所讲授过的内容进行回顾和简述，让学生从个人理解的程度讲述具体的思路和分析方法。此外，结合引入的计算案例，在课堂上还可以布置涉及教学内容和案例的简答题或者计算题，要求全体学生在下课前的5 min~10 min以内完成，以此来了解学生对教师在课堂上所讲授内容的理解与掌握的程度。在注重提升课堂教学效果的同时，结合课程的教学内容，还适量向学生布置课后作业，以督促学生能够在课后对所学知识点进行复习和巩固，引导学生充分利用教师的课件、教学参考书、网络教育等信息资源，达到进一步理解和掌握所学内容和知识点的目的。教师可根据学生在课堂上和课后作业的完成情况及时对教学内容和教学方式予以调整和补充。

按照上述所设计的教学内容和组织方式，通过在我校2022学年、2023学年以及2024学年中选修《岩石力学》课程的城市地下空间工程专业约180名本科生中的教学实践，在课堂讲授此部分内容时被抽点的同学都能较清晰地复述岩体内发育有结构面时岩体稳定性分析的方法，同时全体学生均能在课程教学的单元测验和期末考试中取得优异成绩。由此也表明按照本文研究和设计的课堂讲授内容易于学生理解和掌握，有利于提高教学质量。

4. 结论

分析岩体中结构面对其稳定性和强度的影响是选修《岩石力学》课程的本科学生以及从事岩土工程的技术人员应当掌握的重要知识点。根据多年的课程教学实践发现，现有的教学参考书中对此部分内容的讲解较为简略，未对分析和计算方法进行系统的梳理和总结。学生或阅读者根据教学参考书中讲述的内容进行学习时尚存在较大的困难。考虑到此部分的教学内容以理论推导为主，并需要借助三角函数和静力学的原理，要求学生掌握用Coulomb准则和Mohr应力圆来分析和判断岩体受结构面影响下稳定性的方法。为便于学生理解和掌握，本文就基于Coulomb-Mohr强度理论的岩体受结构面影响的稳定性分析方法进行了研究，给出了与此内容相对应的教学组织和设计。讲授时以求解岩体结构面上的法向应力和剪应力为目标，应用Coulomb-Mohr强度理论分别计算和分析岩体内含有单一结构面和两个结构面时的稳定性，并引伸至岩体内含有多个结构面时的稳定性分析当中。在课堂讲授过程中，可考虑岩体内结构面在围压、β角度和结构面黏聚力C_j保持不变以及无黏聚力和无围压的等特殊状况，并列举案例进行分析，进而引导和启发学生开展创新思维，激发学生的求知欲和兴趣。此外，还可随机抽点若干名学生对课堂所讲授的内容进行现场复述，考察学生的理解与掌握状况，并布置与授课内容相关的课堂单元测验和课后作业，进一步督促和加深学生对所学知识的理解与掌握，并结合学生课堂内的参与程度和课后作业的完成状况，及时补充、调整教学内容和教学方式。采用文中所述的教学设计，通过近三年时间的教学实践，并结合学生在课堂观察和课后考试的效果分析，该部分内容的教学效果良好。

基金项目

本文的研究得到四川省2021~2023年高等教育人才培养质量和教学改革项目“服务交通强国，聚焦智能建造”(JG2021-258)的支持，并得到了西南交通大学课堂教学与改革项目的支持。