基于灰色关联分析的高等数学教学效果影响因素统计研究

Statistical Study on the Influencing Factors of Higher Mathematics Teaching Effectiveness Based on Grey Relational Analysis

摘要: 随着高校对高等数学教学质量的要求不断提高，如何有效提升学生的学习效果成为教学改革的重点方向。高等数学作为众多理工科专业的基础课程，其教学效果受多种因素影响，如教学方式、学生的学习习惯、课堂参与度等。为了探讨这些因素与教学效果之间的关系，本研究基于灰色关联分析模型，收集了200名学生的教学数据，进行量化分析。研究结果表明，教学方式、自主学习能力和课堂参与度是影响高等数学教学效果的主要因素。通过灰色关联分析，找出了不同因素对教学效果的影响程度，并为教学方式的优化提供了数据支撑。最终，针对研究结果提出了有助于提高高等数学教学质量的改进建议。

Abstract: With the increasing demand for higher mathematics teaching quality in universities, how to effectively improve students’ learning outcomes has become a key direction of teaching reform. As a fundamental course in many science and engineering majors, the teaching effectiveness of advanced mathematics is influenced by various factors, such as teaching methods, students’ learning habits, classroom participation, etc. In order to explore the relationship between these factors and teaching effectiveness, this study collected teaching data from 200 students based on the grey relational analysis model and conducted quantitative analysis. The research results indicate that teaching methods, self-learning ability, and classroom participation are the main factors affecting the effectiveness of higher mathematics teaching. Through grey relational analysis, the impact of different factors on teaching effectiveness was identified, providing data support for optimizing teaching methods. Finally, improvement suggestions were proposed based on the research results to enhance the quality of higher mathematics teaching.

1. 引言

高等数学作为高校理工科专业的一门重要基础课程，其教学效果不仅直接关系到学生的数学素养与逻辑思维能力的培养，还间接影响到后续专业课程的学习质量。随着高校教育的不断深化改革，如何提高高等数学的教学质量，最大限度地促进学生的理解和掌握，已成为高校教师和教育管理者普遍关注的问题。传统的教学方式在传授系统知识方面有其优势，但在激发学生学习兴趣、提高课堂参与度等方面，仍存在一定的局限性。近年来，启发式、探究式等多样化教学方式逐渐引入高等数学课堂，以期改善教学效果。然而，不同教学方式的效果并不完全相同，而学生的学习习惯、自主学习能力以及课堂参与度等因素也在一定程度上影响了学习成果。因此，如何科学评估这些因素对教学效果的影响，并据此优化教学设计，成为当前高等数学教学研究的核心问题。

2. 灰色关联分析方法概述

(一) 灰色关联分析的基本概念

灰色关联分析方法源自灰色系统理论，主要用于研究不确定性系统中的因素关联关系。其核心思想是通过评估各因素变化的同步性来判断不同因素与系统整体目标之间的紧密程度。在高等数学教学效果的研究中，教学方式、学生自主学习能力、课堂参与度等多种因素同时作用于教学效果，灰色关联分析能够有效识别出这些因素对最终教学结果的贡献程度。

在教学效果的研究中，由于不同影响因素的特征各异，且有些数据可能较为不完整，灰色关联分析的优势在于其不依赖于大量的数据样本或严格的概率分布假设，能够对有限的数据进行科学分析[1]。这种方法通过计算各因素与系统目标的关联度，定量评估每个因素的影响程度，从而为教学方式的优化提供决策依据。

(二) 灰色关联度的计算公式及其应用条件

灰色关联分析的核心在于通过计算各影响因素与系统目标之间的关联度，从而衡量不同因素对系统变化的影响。在进行灰色关联分析时，首先需要对数据进行标准化处理，以消除不同因素间的量纲差异。数据的标准化处理可以使用极差标准化法，将各因素的原始数据转化为相对值，使其处于同一量级。标准化后的数据公式为：

${X^{\prime }}_i=\frac{X_i-\min \left(X_i\right)}{\max \left(X_i\right)-\min \left(X_i\right)}$

其中，$X_i$ 为原始数据，${X^{\prime }}_i$ 为标准化后的数据。通过标准化处理，所有影响因素的数据都转换为无量纲的相对数值，使得不同因素的数据能够在统一的框架下进行比较。

完成标准化处理后，接下来计算各因素与系统目标的差序列，即对比各因素与参考序列的差异。差序列的计算公式为：

${\Delta }_i\left(k\right)=\left|X_0\left(k\right)-X_i\left(k\right)\right|{X^{\prime }}_i{X}_i$

其中，${\Delta }_i\left(k\right)$ 表示第i个因素与参考序列在第k个时刻的差异，$X_0\left(k\right)$ 为参考序列，$X_i\left(k\right)$ 为第i个因素的值。差序列的绝对值越小，表示该因素与系统目标的变化趋势越一致，反之则表明两者的变化不同步。

通过上述两个步骤的计算，能够得到每个影响因素的差异情况，并为后续关联系数和关联度的求解奠定基础。各因素的关联度大小反映了其对系统目标的影响程度，关联度越高的因素，其对系统整体变化的影响越大。在高等数学教学研究中，这种方法可以帮助定量评估不同因素对教学效果的影响，并为教学方法的优化提供有效参考。

3. 高等数学教学效果的影响因素分析

(一) 教学方式的影响

教学方式是高等数学教学中影响学生学习效果的核心因素。传统的讲授式教学方法常用于系统传授高等数学中的抽象理论知识。通过系统化的推导和讲解，教师能够帮助学生理解微积分、线性代数等基础内容。然而，讲授式教学在激发学生的学习兴趣和主动思考能力方面存在不足。教师在讲解过程中占主导地位，学生往往处于被动接受的状态[2]。以“微分方程”课程为例，传统教学通常侧重于公式推导和方法的记忆，缺乏对方程实际应用的探讨。学生在课堂上虽然能够理解解题步骤，但难以深入掌握其应用背景和实际意义。

启发式教学通过提出开放性问题，引导学生自主思考，能够弥补讲授式教学的不足。高等数学中的“定积分”是一个较为复杂的概念，启发式教学可以通过提出实际问题，如“如何利用定积分计算不规则曲线面积”，让学生带着问题自主探索。在这种教学模式下，学生不仅能掌握定积分的基本理论，还能够理解其在物理和工程中的应用。通过启发学生思考和推导，教师可以增强学生的学习主动性，促进他们对抽象数学概念的深刻理解。

(二) 学生学习习惯的影响

学生的学习习惯直接影响其对高等数学知识的掌握情况。课前预习是培养良好学习习惯的重要环节。学生在预习过程中可以初步了解即将学习的内容，带着问题进入课堂，能够提高学习的效率。以“拉普拉斯变换”为例，如果学生在课前阅读相关材料并进行预习，就能够更好地理解拉普拉斯变换在解微分方程中的作用，并在课堂上更快跟上教师的推导逻辑。预习能够帮助学生提前掌握知识要点，降低课堂学习的难度[3]。

课后的复习与习题练习是学生巩固知识的重要手段。高等数学中的许多概念，如“傅里叶级数”，需要通过大量的练习才能真正掌握。学生在课后通过做习题，可以反复推导公式，理解其背后的数学原理，并熟练掌握应用方法。没有复习和练习的巩固，学生可能会对复杂的推导过程产生遗忘或误解。通过持续的复习和练习，学生能够在期末考试中更好地应对综合性问题，并将所学知识灵活应用于复杂的数学计算和实际问题中。

(三) 课堂参与度的影响

课堂参与度在高等数学学习中扮演着重要角色，积极参与课堂讨论和互动能够有效提升学生的理解能力。课堂讨论有助于学生在学习复杂的数学概念时深化理解。在讨论“泰勒展开”时，教师可以通过提出“泰勒级数的误差如何影响实际计算”的问题，引导学生讨论误差项的影响。在这种互动式学习环境中，学生通过表达自己的理解和思考，能够更好地掌握泰勒展开的精度分析，提升数学思维能力。

师生互动是提高课堂参与度的重要方式。通过提问和互动，教师可以及时发现学生对某些知识点的理解误区，帮助他们在学习中及时调整。例如，在“矩阵”这一课题中，教师可以通过提问让学生推导矩阵的行列式，并解释其几何意义。学生在参与过程中，能够更主动地思考并提出自己的疑问，教师则根据学生的反馈进行个性化指导，从而提升教学效果[4]。通过有效的互动，学生不仅能加深对数学理论的理解，还能培养独立思考和解决问题的能力。

4. 灰色关联分析的具体应用与结果分析

(一) 数据收集与处理

在本研究中，研究对象为某高校200名学生，数据的收集涵盖了与高等数学学习密切相关的多个方面。教学方式作为关键因素之一，通过对教师课堂教学模式的观察和评价进行量化，评分标准包括讲授式、启发式、探究式等多种教学方式的实际应用情况。与此同时，学生的自主学习能力也作为重要的影响因素，数据通过问卷调查获取，内容涉及学生的自主学习时间、独立解决问题的能力和学习习惯等指标。课堂参与度则通过统计学生在课堂讨论、提问次数等互动表现来进行量化。课前预习和课后复习的情况也被纳入研究范围，分别根据学生预习时间、预习质量以及复习的频率和习题完成情况进行评分。学生的期末考试成绩则作为系统的参考序列，用以衡量各因素对学习效果的最终影响[5]。

为了确保分析的准确性，所有原始数据在分析前均需进行标准化处理。高等数学教学中的各个因素具有不同的量纲，如教学方式、课堂参与度等无法直接进行横向对比。因此，使用极差标准化方法对数

据进行处理，将各因素的数据转换为无量纲的相对值。通过标准化公式：${X^{\prime }}_i=\frac{X_i-\min \left(X_i\right)}{\max \left(X_i\right)-\min \left(X_i\right)}$ 将原始

数据转换至同一量级范围内，确保不同因素之间的可比性。此处理过程有效消除了量纲的差异，使各因素数据更具分析意义。

在完成数据标准化后，需进一步计算各因素与系统参考序列(即期末成绩)之间的差序列。差序列用于衡量各影响因素与参考序列之间的差异大小。通过计算能够得到每个学生在不同因素与期末成绩之间的差异值。随后，根据差序列计算出各因素与系统目标之间的灰色关联系数。关联系数的计算是通过分析各因素与系统目标的同步性来确定关联度大小，关联系数越大，表明该因素与系统目标的变化同步性越强，影响也越大。

最后，将每个因素在所有数据点的关联系数求平均，得到每个因素的灰色关联度。通过这些计算步骤，研究可以量化分析出每个因素对高等数学教学效果的具体影响程度，从而为教学优化和改进提供有力依据。

(二)灰色关联度的计算过程

在标准化后的数据基础上，首先通过初值化处理得到差序列。对于每个影响因素$X_i$ ，其与期末成绩参考序列Y的差序列可以通过公式：${\Delta }_i\left(k\right)=\left|X_0\left(k\right)-X_i\left(k\right)\right|$ 来计算，其中$X_0\left(k\right)$ 为参考序列，$X_i\left(k\right)$ 为标准化处理后的各因素数据。根据这一公式，我们构造出差序阵：

$\Delta =\left(\begin{array}{cccc}{\Delta }_{11}& {\Delta }_{12}& \cdot \cdot \cdot & {\Delta }_{1n}\\ {\Delta }_{21}& {\Delta }_{22}& \cdot \cdot \cdot & {\Delta }_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\Delta }_{m1}& {\Delta }_{m2}& \cdot \cdot \cdot & {\Delta }_{mn}\end{array}\right)$

然后根据最大差值${\text{maxΔ}}_i$ 和最小差值${\text{minΔ}}_i$ ，可以计算出灰色关联系数：

${\epsilon }_i\left(k\right)=\frac{\min {\Delta }_i+\rho \max {\Delta }_i}{{\Delta }_i\left(k\right)+\rho \max {\Delta }_i}$

$\rho$ 为分辨系数，通常取0.5。利用该公式，求出每个影响因素与参考序列之间的关联系数矩阵。

最后，将关联系数进行平均，计算出每个因素的灰色关联度，公式为：

${\gamma }_i=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{k=1}^n{\epsilon }_i\left(k\right)$

根据这一计算流程，得出各影响因素的灰色关联度${\gamma }_i$ ，并进一步用于排序分析。

通过灰色关联度的计算，能够得到每个因素对期末成绩的影响程度，结果如表1所示：

Table 1. Grey correlation degree calculation results of factors affecting the teaching effectiveness of higher mathematics

表1. 高等数学教学效果影响因素的灰色关联度计算结果

因素	灰色关联度
教学方式	0.6733
自主学习能力	0.6746
课堂参与度	0.7584
课前预习时间	0.6364
课后复习时间	0.6302

从灰色关联度的结果来看，课堂参与度以0.7584的关联度排名最高，显示出学生在课堂上积极参与讨论和提问，对理解复杂的高等数学概念起到了重要作用。这表明互动性强的教学能显著提升学习效果。自主学习能力与教学方式的关联度接近，分别为0.6746和0.6733，说明学生的自主学习习惯和教师采用的启发式、探究式教学法对成绩提升同样关键。相比之下，课前预习和课后复习的关联度相对较低，但仍在提升学生的学习效果上起到了辅助作用。

5. 总结

本文通过灰色关联分析方法，系统评估了影响高等数学教学效果的多个因素，结果表明课堂参与度、教学方式和自主学习能力是影响学生学习效果的关键因素。课堂参与度的高关联度表明，学生在课堂上的积极互动对理解复杂的数学概念起到了显著作用，教师应鼓励更多的课堂讨论和提问。教学方式的选择同样重要，启发式与探究式教学较传统讲授更能提升学生的理解力与应用能力。自主学习能力的培养也不可忽视，自主学习习惯良好的学生在期末成绩上表现出较大的优势。尽管课前预习和课后复习的关联度较低，但它们在知识巩固和复习阶段仍发挥着辅助作用。因此，在未来的高等数学教学中，应注重多样化的教学方法，强化学生自主学习能力的培养，并营造积极互动的课堂氛围，以最大化提升教学效果。

基金项目

本文系广东理工学院科研校级重点项目“灰色系统理论在高校教学质量评价中的应用”(项目编号：2024ZDZK001)的研究成果。