带Logistic源的奇异趋化系统解的整体存在性

Global Existence of Classical Solutions to a Singular Chemotaxis System with Logistic Source

摘要: 本文研究一类在齐次Neumann边界条件下的具有奇异灵敏度和Logistic源的抛物–抛物趋化系统：$u_t=\Delta u-\chi \nabla \cdot \left(\frac{u}{v}\nabla v\right)+ru-\mu u^k$ ，$v_t=\Delta v-v+u$ ，其中$\Omega \subset {ℝ}^n$ 为光滑有界凸域，$\mu ,\chi >0$ ，$r\in ℝ$ 。证明了当于$k>1$ 及$\chi \le \frac{4}{n}$ 时，系统存在唯一的整体古典解。

Abstract: This paper investigates a class of parabolic chemotaxis systems with singular sensitivity and Logistic sources under homogeneous Neumann boundary conditions: $u_t=\Delta u-\chi \nabla \cdot \left(\frac{u}{v}\nabla v\right)+ru-\mu u^k$ , $v_t=\Delta v-v+u$ , where $\Omega \subset {ℝ}^n$ is a smooth bounded convex domain, $\mu ,\chi >0$ , $r\in ℝ$ . It is proved that for $k>1$ with $\chi \le \frac{4}{n}$ , the system admits a unique global classical solution.

1. 引言

近五十年来，趋化模型已成为生物数学研究的主要焦点之一。趋化性模型主要描述细胞受化学物质吸引产生的定向运动，这个过程在各种生物学应用中起着很大的作用，例如胚胎发育、伤口愈合和血管形成。因此，对趋化性的研究可以帮助理解这些基本过程，尤其是可以帮助探索生命系统发育机制。趋化系统中经典Keller-Segel系统是由Keller和Segel于20世纪70年代提出的[1]，由如下反应扩散方程组刻画：

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{u}_t=\Delta u-\chi \nabla \cdot \left(u\varphi \left(v\right)\nabla v\right)+f\left(u\right)\\ v_t=\Delta v-v+u\end{array}\end{array}$ (1.1)

模型(1.1)中的PDE系统在数学生物学中用于模拟趋化机制，即细胞对空间中不均匀分布的化学物质的存在作出反应的运动。在齐次Neumann边界条件下，u表示细胞浓度，v表示化学信号浓度，$r,\mu$ 为非负常数，$\Omega \in {ℝ}^n\left(n\ge 1\right)$ 为有界光滑凸域，$\frac{\partial }{\partial \nu }$ 表示光滑边界$\partial \text{Ω}$ 上的单位外法向量。$\chi$ 表示趋化强度，当$\chi >0$ 时，细胞表现出向更高信号浓度移动的趋势；相反地，当$\chi <0$ 时细胞更倾向于远离化学物质。

现回顾系统(1.1)的相关结论。若$\varphi \left(v\right)=\frac{1}{v},f\left(u\right)=0$ ，Fujie等人证明了当$0<\chi <\sqrt{\frac{2}{n}}\left(n\ge 2\right)$ 时古典解的整体存在性以及当$0<\chi <\sqrt{\frac{n+2}{3n-4}}\left(n\ge 2\right)$ 时系统(1.1)存在一个整体弱解[2]；在径向对称条件下，Stinner和Winker引入并证明了Neumann问题的广义解概念[3]；此外，Lankeit等人证明了$n=2$ 或$n=3,\chi <\sqrt{8}$ 或$n\ge 4,\chi <\frac{n}{n-2}$ 时系统(1.1)有一个全局广义解[4]。若$\varphi \left(v\right)=\frac{1}{v},f\left(u\right)=ru-\mu u^k$ ，Zhao和Zheng证明了在$n=2,k=2$ 时，如果满足$r>\frac{{\chi }^2}{4}\left(0<\chi \le 2\right)$ 或$r>\chi -1\left(\chi >2\right)$ 时，系统(1.1)具有唯一的全局有界古典解[5]；后来，Zhao研究了当$\chi \in \left(0,\min \left\{\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2\left(n-1\right)}}\right\}\right),n\ge 2$ 时系统(1.1)解的整体存在性和有界性[6]。

本文受以上结论启发，研究一类在齐次Neumann边界条件下具有奇异灵敏度和Logistic源的抛物–抛物趋化系统：

$\{\begin{array}{ll}{u}_t=\Delta u-\chi \nabla \cdot \left(\frac{u}{v}\nabla v\right)+ru-\mu u^k,\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ v_t=\Delta v-v+u,\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ \frac{\partial u}{\partial \nu }=\frac{\partial v}{\partial \nu }=0,\hfill & x\in \partial \Omega ,t>0,\hfill \\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),v\left(x,0\right)=v_0\left(x\right),\hfill & x\in \Omega ,\hfill \end{array}$ (1.2)

其中$\mu ,\chi >0$ ，$r\in ℝ$ 和$k>1$ ，$\Omega \in {ℝ}^n$ 为光滑有界凸域。初始条件满足：

$u_0\in C^0\left(\overline{\Omega }\right),v_0\in W^{1,q}\left(\Omega \right)\left(q>1\right).$ (1.3)

定理1.1 设$\mu ,\chi >0$ ，$r\in ℝ$ ，$k>1$ 且初始条件满足(1.3)。当$\chi \le \frac{4}{n}$ 时，系统(1.2)存在唯一的整体古典解。

注 不同于相关文献[6]，本文在齐次Neumann边界条件下，通过构造能量函数$z=\frac{u}{v}+\frac{\chi }{2}{\left|\nabla \log v\right|}^2$ ，进而利用先验估计和Neumann热半群理论，证明了当趋化敏感函数和方程中的参数满足一定的条件时，古典解整体存在。

2. 预备知识

根据Banach不动点理论，可以得到如下解的局部存在性，具体证明参考相关文献[7]。

引理2.1 假设$u_0,v_0$ 满足(1.3)。若$\mu ,\chi >0$ ，$k>1$ ，$r\in ℝ$ ，则存在$T_{\max }\in \left(0,\infty \right]$ 及唯一非负函数$\left(u,v\right)$

$\{\begin{array}{l}u\in C^0\left(\overline{\Omega }\times \left[0,T_{\max }\right)\cap C^{2,1}\left(\overline{\Omega }\times \left(0,T_{\max }\right)\right)\right)\\ v\in C^0\left(\overline{\Omega }\times \left[0,T_{\max }\right)\cap C^{2,1}\left(\overline{\Omega }\times \left(0,T_{\max }\right)\right)\cap L_{loc}^{\infty }\left(\left[0,T_{\max }\right);W^{1,q}\left(\Omega \right)\right)\right)\end{array}$

满足(1.2)。另外，$T_{\max }=\infty$ 或者$T_{\max }<\infty$ 并且$\underset{t\to T_{\max }}{\lim }\left({\Vert u\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert v\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)}\right)=\infty$ 。

为了方便，记$T=T_{\max }$ ，设$\left(u,v\right)$ 是系统(1.2)的非负光滑解，根据比较原理以及v的正性，可得：

$v\left(x,t\right)\ge \left(\underset{x\in \Omega }{\inf }{v}_0\right){\text{e}}^{-t},t\in \left(0,T\right).$ (1.4)

下面给出$u$ 的一个先验估计。

引理2.2 设$\mu ,\chi >0$ ，$k>1$ ，$r\in ℝ$ ，则

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\Omega }u\left(\cdot ,t\right)\text{d}x}\le L_1:=\max \left\{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}_0\text{d}x},\left|\Omega \right|{\left(\frac{\left|r\right|}{\mu }\right)}^{\frac{1}{k-1}}\right\},t\in \left(0,T\right).\end{array}$ (2.1)

证明 根据(1.2)的第一个方程，知：

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{\Omega }u\text{d}x}=r{\displaystyle {\int }_{\Omega }u\text{d}x}-\mu {\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^k\text{d}x},t\in \left(0,T\right),$

由Hölder不等式有：

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{\Omega }u\text{d}x}\le r{\displaystyle {\int }_{\Omega }u\text{d}x}-\frac{\mu }{{\left|\Omega \right|}^{k-1}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }u\text{d}x}\right)}^k=:L_1,t\in \left(0,T\right).$

应用伯努利不等式(参见[[6], Lemma 2.2)得(2.1)。

3. 主要结果

引理3.1 设$\Omega \in {ℝ}^n$ 为光滑有界凸域，$\mu ,\chi >0$ ，$k>1$ ，$r\in ℝ$ 。若$\chi \le \frac{4}{n}$ 时，存在一个无关于时间t的常数$L_1>0$ ，使得

${\Vert \frac{u}{v}\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+ {\Vert \nabla \log v\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le L_2{\text{e}}^{2t},t\in \left(0,T\right).$ (3.1)

证明 由系统(1.2)的第一个方程，有

$\begin{array}{c}{\partial }_t\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{\Delta u}{v}-\frac{\chi }{v}\nabla \cdot \left(u\nabla \log v\right)+\left(r+1\right)\left(\frac{u}{v}\right)-\mu \left(\frac{u^k}{v}\right)-\frac{u\Delta v}{v^2}-{\left(\frac{u}{v}\right)}^2\\ =\frac{\Delta v}{v}-\frac{u\Delta v}{v^2}-\chi \nabla \left(\frac{u}{v}\right)\cdot \nabla \log v-\chi \left(\frac{u}{v}\right){\left|\nabla \log v\right|}^2-\chi \left(\frac{u}{v}\right)\Delta \log v\\ +\left(r+1\right)\left(\frac{u}{v}\right)-\mu \left(\frac{u^k}{v}\right)-{\left(\frac{u}{v}\right)}^2\\ =\Delta \left(\frac{u}{v}\right)+2\left(\frac{\nabla u}{v}\right)\nabla \log v-\left(2+\chi \right)\left(\frac{u}{v}\right){\left|\nabla \log v\right|}^2-\chi \nabla \left(\frac{u}{v}\right)\cdot \nabla \log v\\ -\chi \left(\frac{u}{v}\right)\Delta \log v+\left(r+1\right)\left(\frac{u}{v}\right)-\mu \frac{u^k}{v}-{\left(\frac{u}{v}\right)}^2\\ =\Delta \left(\frac{u}{v}\right)+\left(2-\chi \right)\nabla \left(\frac{u}{v}\right)\cdot \nabla \log v-\chi \left(\frac{u}{v}\right){\left|\nabla \log v\right|}^2-\chi \left(\frac{u}{v}\right)\Delta \log v\\ +\left(r+1\right)\left(\frac{u}{v}\right)-\mu \left(\frac{u^k}{v}\right)-{\left(\frac{u}{v}\right)}^2.\end{array}$ (3.2)

由系统(1.2)的第二个方程，利用等式$\nabla \omega \cdot \nabla \Delta \omega =\frac{1}{2}\Delta {\left|\nabla \omega \right|}^2-{\left|D^2\omega \right|}^2$ 可得

$\begin{array}{c}{\partial }_t\left({\left|\nabla \log v\right|}^2\right)=2\nabla \log v\cdot \nabla \left(\frac{\Delta v}{v}\right)+2\nabla \log v\cdot \nabla \left(\frac{u}{v}\right)\\ =2\nabla \log v\cdot \nabla \left(\frac{\Delta v}{v}-{\left(\frac{\nabla v}{v}\right)}^2\right)+2\nabla \log v\cdot \nabla {\left(\frac{\nabla v}{v}\right)}^2+2\nabla \log v\cdot \nabla \left(\frac{u}{v}\right)\\ =2\nabla \log v\cdot \nabla \Delta \log v+2\nabla \log v\cdot \nabla {\left|\nabla \log v\right|}^2+2\nabla \log v\cdot \nabla \left(\frac{u}{v}\right)\\ =\Delta {\left|\nabla \log v\right|}^2-2{\left|D^2\log v\right|}^2+2\nabla \log v\cdot \nabla {\left|\nabla \log v\right|}^2+2\nabla \log v\cdot \nabla \left(\frac{u}{v}\right).\end{array}$ (3.3)

令$z=\frac{u}{v}+\frac{\chi }{2}{\left|\nabla \log v\right|}^2$ ，由于$\frac{\partial u}{\partial \nu }=\frac{\partial v}{\partial \nu }=0$ 可以得到在$\partial \Omega$ 上$\frac{\partial z}{\partial \nu }\le 0$ 。将(3.2)与$\frac{\chi }{2}$ (3.3)相加并移项有：

${\partial }_{t}z-\Delta z-2\nabla z\cdot \nabla \log v+\chi \left(\frac{u}{v}\right){\left|\nabla \log v\right|}^2+\chi {\left|D^2\log v\right|}^2+\mu \left(\frac{u^k}{v}\right)+{\left(\frac{u}{v}\right)}^2=-\chi \left(\frac{u}{v}\right)\Delta \log v+\left(r+1\right)\left(\frac{u}{v}\right)$ .

对上式右边的第一项应用Young不等式，由不等式$\left|\Delta \omega \right|\le \sqrt{n}\left|D^2\omega \right|\left(\omega \in C^2\left(\overline{\Omega }\right)\right)$ 得

$-\chi \left(\frac{u}{v}\right)\Delta \log v\le \chi \left|D^2\log v\right|+{\left(\frac{u}{v}\right)}^2-\left(1-\frac{n\chi }{4}\right){\left(\frac{u}{v}\right)}^2.$

经分析可得：当$\chi \le \frac{4}{n}$ 时，有$\left(1-\frac{n\chi }{4}\right)\ge 0$ 。此外，利用$u,v$ 的正性，结合(1.4)与引理2.2有：

$\begin{array}{c}{\partial }_{t}z-\Delta z-2\nabla z\cdot \nabla \log v\le \left(r+1\right)\left(\frac{u}{v}\right)\\ \le \left(r+1\right)C_1\cdot \frac{{\text{e}}^t}{\underset{x\in \Omega }{\inf }{v}_0}\\ \le C_2{\text{e}}^t,t\in \left(0,T\right)\end{array}$

其中$C_2=\frac{\left(r+1\right)C_2}{\underset{x\in \Omega }{\inf }{v}_0}>0$ 。接下来，令$Z=z-C_2{\text{e}}^t$ ，则有：

${\partial }_{t}Z-\Delta Z-2\nabla Z\cdot \nabla \log v\le 0$ .

由于在$\partial \Omega$ 上$\frac{\partial z}{\partial \nu }\le 0$ ，对上式应用极值原理得：

${\Vert Z\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le {\Vert Z\left(\cdot ,0\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)},t\in \left(0,T\right).$

因此得到了(3.1)。

接下来，我们给出当$\chi \le \frac{4}{n}$ 时，u在时间上的有界估计。

引理3.2 设$\mu ,\chi >0$ ，$k>1$ ，$r\in ℝ$ 。若$\chi \le \frac{4}{n}$ ，则存在无关于时间t的常数$L_3>0$ ，使得

$\underset{t\le T}{\sup }{\Vert u\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+\underset{t\le T}{\sup }{\Vert v\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)}\le L_3{\text{e}}^{CT}+C,t\in \left(0,T\right).$

证明 由常数变易公式有：

$u\left(\cdot ,t\right)={\text{e}}^{t\left(\Delta -1\right)}{u}_0-\chi {\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\left(t-s\right)\left(\Delta -1\right)}\nabla \left(\frac{u}{v}\nabla v\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\left(t-s\right)\left(\Delta -1\right)}\left(ru-\mu u^k\right)\text{d}s},t\in \left(0,T\right).$

根据Neumann热半群理论(参考[8], Lemma 2.1)，对于$p>n$ 有：

$\begin{array}{c}{\Vert u\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le {\Vert {\text{e}}^{t\left(\Delta -1\right)}{u}_0\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+\chi {\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\text{e}}^{\left(t-s\right)\left(\Delta -1\right)}\nabla \left(\frac{u}{v}\nabla v\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\text{e}}^{\left(t-s\right)\left(\Delta -1\right)}\left(ru-\mu u^k\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\text{d}s}\\ \le C_3{\Vert u_0\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+K_4\chi {\displaystyle {\int }_0^t\left(1+{\left(t-s\right)}^{-\frac{1}{2}-\frac{n}{2p}}\right){\text{e}}^{-\left(t-s\right)}{\Vert \frac{u}{v}\nabla v\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\text{d}s}+C_4.\end{array}$ (3.4)

应用Young不等式、插值不等式、引理2.2和引理3.1，对于(3.4)式右边的第二项有：

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^t\left(1+{\left(t-s\right)}^{-\frac{1}{2}-\frac{n}{2p}}\right){\text{e}}^{-\left(t-s\right)}{\Vert \frac{u}{v}\nabla v\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\text{d}s}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^t\left(1+{\left(t-s\right)}^{-\frac{1}{2}-\frac{n}{2p}}\right){\text{e}}^{-\left(t-s\right)}{\Vert u\nabla \log v\left(s\right)\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\text{d}s}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^t\left(1+{\left(t-s\right)}^{-\frac{1}{2}-\frac{n}{2p}}\right){\text{e}}^{-\left(t-s\right)}{\Vert u\left(s\right)\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}{\Vert \nabla \log v\left(s\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\text{d}s}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^t\left(1+{\left(t-s\right)}^{-\frac{1}{2}-\frac{n}{2p}}\right){\text{e}}^{-\left(t-s\right)}{\Vert u\left(s\right)\Vert }_{L^1\left(\Omega \right)}^{\frac{1}{p}}{\Vert u\left(s\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}^{1-\frac{1}{p}}{\Vert \nabla \log v\left(s\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\text{d}s}\\ \le L_1^{\frac{1}{p}}{L}_2{\text{e}}^t{\displaystyle {\int }_0^t\left(1+{\left(t-s\right)}^{-\frac{1}{2}-\frac{n}{2p}}\right){\text{e}}^{-\left(t-s\right)}{\Vert u\left(s\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}^{1-\frac{1}{p}}\text{d}s}\\ \le C_5{\text{e}}^t\underset{s\le t}{\sup }{\Vert u\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}^{1-\frac{1}{p}},\end{array}$

其中$C_5=L_1^{\frac{1}{p}}{L}_2>0$ ，将上式带入(3.4)式中，应用Young不等式，取$t\in \left(0,T\right)$ 的极值，可得：

$\underset{t\le T}{\sup }{\Vert u\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le C_5{\text{e}}^T\underset{t\le T}{\sup }{\Vert u\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}^{1-\frac{1}{p}}+C_6\le L_3{\text{e}}^{CT}+C_6,t\in \left(0,T\right)$ (3.5)

其中$C_6>0$ 。

由常数变易公式有：

$\Vert v\left(\cdot ,t\right)\Vert \le {\text{e}}^{t\left(\Delta -1\right)}{v}_0+{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\left(t-s\right)\left(\Delta -1\right)}u\text{d}s},t\in \left(0,T\right).$

根据Neumann热半群理论和$W^{1,q}\left(\Omega \right)$ 的定义，由引理3.2，对于$q>1$ 有：

$\begin{array}{c}{\Vert v\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)}\le {\Vert {\text{e}}^{t\left(\Delta -1\right)}{v}_0\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)}+{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\text{e}}^{\left(t-s\right)\left(\Delta -1\right)}u\left(s\right)\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)}\text{d}s}\\ \le C_7{\Vert v_0\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)}+K_2{\displaystyle {\int }_0^t\left(1+{\left(t-s\right)}^{-\frac{1}{2}}\right){\text{e}}^{-\left(t-s\right)}{\Vert u\left(s\right)\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}\text{d}s}\\ \le C_8+K_2{\displaystyle {\int }_0^t\left(1+{\left(t-s\right)}^{-\frac{1}{2}}\right){\text{e}}^{-\left(t-s\right)}\text{d}s}\cdot \underset{s\le t}{\sup }{\Vert u\left(s\right)\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}\\ \le C_8+L_4{\text{e}}^{ct},t\in \left(0,T\right)\end{array}$

其中$C_7,C_8>0$ 结合上式，取$t\in \left(0,T\right)$ 的极值有

$\underset{t\le T_{\max }}{\sup }{\Vert v\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)}\le L_3{\text{e}}^{CT}+C_8,t\in \left(0,T_{\max }\right)$ (3.6)

结合(3.5)与(3.6)可得

$\underset{t\le T}{\sup }{\Vert u\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+\underset{t\le T}{\sup }{\Vert v\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)}\le L_3{\text{e}}^{CT}+C,t\in \left(0,T\right).$

其中$C>0$ 。

证毕。

接下来证明主要结论，应用反证法来证明系统(1.2)古典解的整体存在性。

定理1.1证明

假设$T_{\max }<\infty$ ，则设$t\le T\le T_{\max }<\infty$ 。则由引理3.2可得：

$\underset{t\le T_{\max }}{\sup }{\Vert u\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+\underset{t\le T_{\max }}{\sup }{\Vert v\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)}\le L_3{\text{e}}^{CT}+C<\infty ,t\in \left(0,T_{\max }\right).$

上式显然矛盾于引理2.1，故假设不成立，因此有$T_{\max }=\infty$ 。从而系统(1.2)存在一个唯一的全局古典解。

证毕。

4. 论文意义与展望

趋化系统简单而又直观的刻画了生物的趋化现象，通过研究模型解的性质，从而了解物质运动的客观规律，具备了较强的现实意义。关于带Logistic源的奇性敏感的生物趋化模型，关于解的行为的研究(如整体有界性)还有待进一步完善。