点到空间直线的距离求法研究

Study on the Method of Calculating the Distance from a Point to a Straight Line in Space

摘要: 本文利用点到点的距离、点到平面的距离、平面束等方法给出点到空间直线距离的多种求法，减少了化直线一般方程为标准方程的繁琐环节。对教师提供了解析几何的研究领域，培养了学生的创新意识和创新能力。

Abstract: In this paper, by using the methods of distance from point to point, distance from point to plane, plane beam, etc., various methods of calculating distance from point to space line are given. It reduces the tedious process of converting the general equation of a straight line into a standard equation, provides the teachers with the research field of analytic geometry, and cultivates the students’ innovative consciousness and ability.

1. 引言

点到直线的距离是解析几何的重要内容[1]，很多学者对其进行了研究[2]-[8]，但是大部分研究局限于平面解析几何，对点到空间直线的距离研究较少。教材[1]中给出了在已知直线标准方程的情况下，如何求点到空间直线的距离，即利用向量积的几何意义和等面积求解。当直线l方程是一般方程时，如何求解点到空间直线的距离，给读者留下了巨大的思索空间。本文将利用点到点的距离、点到平面的距离、平面束等方法给出点到直线的距离公式，减少化直线一般方程为标准方程的繁琐环节。

$\{\begin{array}{c}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$ (1)

2. 定理及证明

定理1 已知一点P$\left(x_0,y_0,z_0\right)$ ，直线l的方程为(1)式，则点P到直线l的距离为

$d=\sqrt{{\left(\frac{\left|\begin{array}{ccc}-D_1& B_1& C_1\\ -D_2& B_2& C_2\\ D& B& C\end{array}\right|}{W}-x_0\right)}^2+{\left(\frac{\left|\begin{array}{ccc}{A}_1& -D_1& C_1\\ A_2& -D_2& C_2\\ A& D& C\end{array}\right|}{W}-y_0\right)}^2+{\left(\frac{\left|\begin{array}{ccc}{A}_1& B_1& -D_1\\ A_2& B_2& -D_2\\ A& B& D\end{array}\right|}{W}-z_0\right)}^2}$ , (2)

其中$A=\left|\begin{array}{cc}{B}_1& C_1\\ B_2& C_2\end{array}\right|$ ，$B=\left|\begin{array}{cc}{C}_1& A_1\\ C_2& A_2\end{array}\right|$ ，$C=\left|\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right|$ ，$W=\left|\begin{array}{ccc}{A}_1& B_1& C_1\\ A_2& B_2& C_2\\ A& B& C\end{array}\right|$ 。

证明 设$A=\left|\begin{array}{cc}{B}_1& C_1\\ B_2& C_2\end{array}\right|$ ，$B=\left|\begin{array}{cc}{C}_1& A_1\\ C_2& A_2\end{array}\right|$ ，$C=\left|\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right|$ ，由于直线l的方向向量为

$n_1\times n_2=\left(\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}{B}_1& C_1\\ B_2& C_2\end{array}\right|,& \left|\begin{array}{cc}{C}_1& A_1\\ C_2& A_2\end{array}\right|,& \left|\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(A,B,C\right)$ ，则垂直于直线l且过点P的平面的方程为 $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0$ 。故π与l 的交点$M\left(x_1,y_1,z_1\right)$ 满足方程

$\{\begin{array}{l}{A}_1{x}_1+B_1{y}_1+C_1{z}_1+D_1=0\hfill \\ A_2{x}_1+B_{2}Y+C_2{z}_1+D_2=0\hfill \\ A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1=A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0\hfill \end{array}$ .

设$W=\left|\begin{array}{ccc}{A}_1& B_1& C_1\\ A_2& B_2& C_2\\ A& B& C\end{array}\right|$ ，因为$n_1,n_2$ 不共线，所以$W\ne 0$ 。由克拉默法则解得

$x_1=\frac{D_1}{W}$ ，$y_1=\frac{D_2}{W}$ ，$z_1=\frac{D_3}{W}$ ，

其中$D=A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0$ ，

$D_1=\left|\begin{array}{ccc}-D_1& B_1& C_1\\ -D_2& B_2& C_2\\ D& B& C\end{array}\right|$ ，$D_2=\left|\begin{array}{ccc}{A}_1& -D_1& C_1\\ A_2& -D_2& C_2\\ A& D& C\end{array}\right|$ ，$D_3=\left|\begin{array}{ccc}{A}_1& B_1& -D_1\\ A_2& B_2& -D_2\\ A& B& D\end{array}\right|$ 。

故点P到直线l的距离为点P到M的距离$\left|PM\right|=\sqrt{{\left(x_1-x_0\right)}^2+{\left(y_1-y_0\right)}^2+{\left(z_1-z_0\right)}^2}$ ，即得(2)式。证毕。

定理2 已知一点$P\left(x_0,y_0,z_0\right)$ ，直线l的方程为(1)式，则点P到直线l的距离为

$d=\sqrt{{\left(x^{\prime }-x_0\right)}^2+{\left(y^{\prime }-y_0\right)}^2+{\left(z^{\prime }-z_0\right)}^2+{\left(x^{\prime }-x_1\right)}^2+{\left(y^{\prime }-y_1\right)}^2+{\left(z^{\prime }-z_1\right)}^2}$ . (3)

其中$x_1=\frac{W_1}{W}$ ，$y_1=\frac{W_2}{W}$ ，$z_1=\frac{W_3}{W}$ ，$D=A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0$ ，且

$\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x_0-\frac{A_2\left(A_2{x}_0+B_2{y}_0+C_2{z}_0+D_2\right)}{A_2^2+B_2^2+C_2^2}\\ y^{\prime }=y_0-\frac{B_2\left(A_2{x}_0+B_2{y}_0+C_2{z}_0+D_2\right)}{A_2^2+B_2^2+C_2^2}\\ z^{\prime }=z_0-\frac{C_2\left(A_2{x}_0+B_2{y}_0+C_2{z}_0+D_2\right)}{A_2^2+B_2^2+C_2^2}\end{array}$ (4)

$W_1=\left|\begin{array}{ccc}-D_1& B_1& C_1\\ -D_2& B_2& C_2\\ D& B& C\end{array}\right|,W_2=\left|\begin{array}{ccc}{A}_1& -D_1& C_1\\ A_2& -D_2& C_2\\ A& D& C\end{array}\right|,W_3=\left|\begin{array}{ccc}{A}_1& B_1& -D_1\\ A_2& B_2& -D_2\\ A& B& D\end{array}\right|,W=\left|\begin{array}{ccc}{A}_1& B_1& C_1\\ A_2& B_2& C_2\\ A& B& C\end{array}\right|$ . (5)

证明 过点P作平面${\pi }_2$ 的垂线，设垂足为$N\left(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }\right)$ 点，再过点N作直线l的垂线，设垂足为Q点，则点P到直线l的距离为$\left|NQ\right|$ 。

因为直线$PN$ 的方向向量为$n_2\left(A_2,B_2,C_2\right)$ ，所以其坐标式参数方程为

$\{\begin{array}{c}x=x_0+t{A}_2\\ y=y_0+t{B}_2\\ z=z_0+t{C}_2\end{array}$ . (6)

将(5)式带入$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$ 解得点N的坐标，即为(4)式。又因为点Q在直线l上，且NQ垂直于${\pi }_2$ ，所以有

$\{\begin{array}{l}{A}_1{x}_1+B_1{y}_1+C_1{z}_1+D_1=0\hfill \\ A_2{x}_1+B_2{y}_1+C_2{z}_1+D_2=0\hfill \\ A_2\left(x_1-x^{\prime }\right)+B_2\left(y_1-y^{\prime }\right)+C_2\left(z_1-z^{\prime }\right)=0\hfill \end{array}$ (7)

由(7)式解得点Q的坐标

$x_1=\frac{W_1}{W}$ ，$y_1=\frac{W_2}{W}$ ，$z_1=\frac{W_3}{W}$ 。

其中$W_1,W_2,W_3,W$ 满足(5)式。又因为$d=\left|PQ\right|=\sqrt{{\left|PN\right|}^2+{\left|NQ\right|}^2}$ ，将(4)式、(6)式代入(7)得(3)式。证毕。

定理3 已知一点P$\left(x_0,y_0,z_0\right)$ ，直线l的方程为(1)式，则点P到直线l的距离为

$d=\frac{\left|A^{\prime }{x}_0+B^{\prime }{y}_0+C^{\prime }{y}_0+D^{\prime }\right|}{\sqrt{{A^{\prime }}^2+{B^{\prime }}^2+{C^{\prime }}^2}}$ . (8)

其中

$\begin{array}{ll}A=\left|\begin{array}{cc}{B}_1& A_1\\ B_2& A_2\end{array}\right|y_0+\left|\begin{array}{cc}{C}_1& A_1\\ C_2& A_2\end{array}\right|z_0+\left|\begin{array}{cc}{D}_1& A_1\\ D_2& A_2\end{array}\right|,\hfill & B=\left|\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right|x_0+\left|\begin{array}{cc}{C}_1& B_1\\ C_2& B_2\end{array}\right|z_0+\left|\begin{array}{cc}{D}_1& B_1\\ D_2& B_2\end{array}\right|,\hfill \\ C=\left|\begin{array}{cc}{A}_1& C_1\\ A_2& C_2\end{array}\right|x_0+\left|\begin{array}{cc}{B}_1& C_1\\ B_2& C_2\end{array}\right|y_0+\left|\begin{array}{cc}{D}_1& C_1\\ D_2& C_2\end{array}\right|,\hfill & D=\left|\begin{array}{cc}{A}_1& D_1\\ A_2& D_2\end{array}\right|x_0+\left|\begin{array}{cc}{B}_1& D_1\\ B_2& D_2\end{array}\right|y_0+\left|\begin{array}{cc}{C}_1& D_1\\ C_2& D_2\end{array}\right|z_0.\hfill \end{array}$ (9)

$\begin{array}{ll}{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right|B+\left|\begin{array}{cc}{A}_1& C_1\\ A_2& C_2\end{array}\right|C,\hfill & B^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}{B}_1& A_1\\ B_2& A_2\end{array}\right|A+\left|\begin{array}{cc}{B}_1& C_1\\ B_2& C_2\end{array}\right|C,\hfill \\ C^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}{C}_1& A_1\\ C_2& A_2\end{array}\right|A+\left|\begin{array}{cc}{C}_1& B_1\\ C_2& B_2\end{array}\right|B,\hfill & D^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}{D}_1& A_1\\ D_2& A_2\end{array}\right|A+\left|\begin{array}{cc}{D}_1& B_1\\ D_2& B_2\end{array}\right|B+\left|\begin{array}{cc}{D}_1& C_1\\ D_2& C_2\end{array}\right|C.\hfill \end{array}$ (10)

证明 设过点P与直线l的平面为${\omega }_1$ ，过直线l且垂直于平面${\omega }_1$ 的平面为${\omega }_2$ ，由于点P到直线l的距离d可以转化为点P到平面${\omega }_2$ 的距离。下面利用平面束求${\omega }_1$ 、${\omega }_2$ 的方程。设以直线l为中心的平面束为

$\left(\lambda A_1+\mu A_2\right)x+\left(\lambda B_1+\mu B_2\right)y+\left(\lambda C_1+\mu C_2\right)z+\left(\lambda D_1+\mu D_2\right)=0$ ,

其中λ，μ为参数。

因为点P$P\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 在平面${\omega }_1$ 上，所以λ：$\mu =-\frac{A_2{x}_0+B_2{y}_0+C_2{z}_0+D_2}{A_1{x}_0+B_1{y}_0+C_1{z}_0+D_1}$ ，故平面${\omega }_1$ 的方程为$Ax+By+Cz+D=0$ 其中A，B，C，D满足(9)式。

又因为平面${\omega }_1$ 垂直于平面${\omega }_2$ ，可得平面${\omega }_2$ 的方程为$A^{\prime }x+B^{\prime }y+C^{\prime }z+D^{\prime }=0$ ，其中$A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ 满足(10)式，则$d=\frac{\left|A^{\prime }{x}_0+B^{\prime }{y}_0+C^{\prime }{y}_0+D^{\prime }\right|}{\sqrt{{A^{\prime }}^2+{B^{\prime }}^2+{C^{\prime }}^2}}$ 。证毕。

定理4 已知一点$P\left(x_0,y_0,z_0\right)$ ，直线l的方程为(1)式，则点P到直线l的距离为

$d=\sqrt{\frac{d_1{}^2\left(1-{\cos }^2\theta \right)+{\left(d_2-d_1\cos \theta \right)}^2}{1-{\cos }^2\theta }}$ . (11)

其中

$\begin{array}{cc}{d}_1=\frac{\left|A_1{X}_0+B_1{Y}_0+C_1{Z}_0+D_1\right|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}},& d_2=\frac{\left|A_2{X}_0+B_2{Y}_0+C_2{Z}_0+D_2\right|}{\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\end{array}$ , (12)

$\cos \theta =\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2}{\begin{array}{cc}\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}& \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}\end{array}}$ . (13)

证明 过点P分别作平面π₁、π₂的垂线，其垂足为点M与点N。设点P到平面π₁、π₂的距离分别为$d_1=\left|PM\right|$ ，$d_2=\left|PN\right|$ ，π₁、π₂的夹角为$\theta$ ，则$\cos \theta =\frac{n_1\cdot n_2}{\begin{array}{cc}\left|n_1\right|& \left|n_2\right|\end{array}}$ ，其中$d_1$ ，$d_2$ ，$\theta$ 分别满足(12)式、(13)式。又因为

$d=\frac{d_1}{\cos \theta }=\frac{d_2}{\cos \left(\theta -\phi \right)}$ , (14)

所以

$\frac{d_1}{\cos \phi }=\frac{d_2}{\cos \theta \cos \phi +\sqrt{1-{\cos }^2\theta \sqrt{1-{\cos }^2\phi }}}$ ,

可得$\cos \phi =\frac{d_1\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}{\sqrt{d_1{}^2\left(1-{\cos }^2\theta \right)+{\left(d_2-d_1\cos \theta \right)}^2}}$ ，代入(14)式即得(13)式。证毕。

3. 应用

下面利用定理1~定理4以及文献[1]的方法求解点到直线的距离。

例 已知点$P\left(1,1,2\right)$ ，直线l的方程为：$\{\begin{array}{c}x+2y+z+1=0\\ 3x+y+z+2=0\end{array}$ ，求点P到直线l的距离。

方法一 利用定理1，其中A = 1，B = 2，C = −5，W = 30，D = −7，代入(2)式，得点P到直线l的距离$d=\frac{\sqrt{170}}{5}$ 。

方法二 利用定理2，其中$x^{\prime }=-\frac{13}{11}$ ，$y^{\prime }=\frac{3}{11}$ ，$z^{\prime }=\frac{14}{11}$ ，代入(3)式，得点P到直线l的距离$d=\frac{\sqrt{170}}{5}$ 。

方法三 利用定理3，其中A =10，B = −10，C = −2，D = 4，$A^{\prime }=54$ ，$B^{\prime }=48$ ，$C^{\prime }=30$ ，$D^{\prime }=42$ ，代入(8)式，得点P到直线l的距离$d=\frac{\sqrt{170}}{5}$ 。

方法四 利用定理4，其中$d_1=\sqrt{6}$ ，$d_2=\frac{8}{\sqrt{11}}$ ，$\cos \theta =\sqrt{\frac{6}{11}}$ ，代入(11)式，得点P到直线l的距离$d=\frac{\sqrt{170}}{5}$ 。

方法五 利用文献[1]的方法，将直线的一般方程转化为标准方程，其中l的方向向量为$n_1\times n_2=\left(1,2,-5\right)$ ，令$x=0$ ，则$y=1$ ，$z=-3$ ，则l的标准方程为$\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{-5}$ ，再利用点到直线的距离公式$d=\frac{\left|M_1{M}_0\times v\right|}{\left|v\right|}$ ，可得距离$d=\frac{\sqrt{170}}{5}$ 。

4. 结束语

本文利用点到点的距离、点到平面的距离、平面束等方法给出点到直线的距离的多种求法，减少了化直线一般方程为标准方程的繁琐环节。首先，从教学研究的角度来看，该类一题多解的题型为教师提供了丰富的教学研究领域，教师可以通过深入研究不同解题方法的适用性、效果以及对学生学习的影响，进而不断改进自己的教学方法和策略。这种研究是基于课堂观察、学生反馈、教学实验等多种形式，有助于提高教学效果和质量。其次，解析几何的一题多解教学方法也为课程思政提供了重要的载体。通过让学生从不同的角度去思考和解决问题，可以培养学生的空间想象能力和创新思维。学生在解决问题时需要不断地思考、尝试新的方法，这有助于培养他们的创新意识和创新能力。通过引导学生探讨不同解法的优缺点、进行思维碰撞和交流，能够激发学生的学习兴趣，增加学习的趣味性和吸引力，提高了学习的积极性和主动性。总之，一题多解不仅对解析几何教学与研究有重要作用，还能推动教学改革与创新、学科研究与交流，可以进一步提升这种教学方法在解析几何领域的影响力和应用程度，为学生的数学学习和教育教学的发展做出积极贡献。

基金项目

阿坝师范学院质量工程项目(20210405002, 20220410003, 202401003, 20242001171)。