核心素养视角下高中数学变式教学设计——以“平面向量的正交分解与坐标表示”为例

Design of Transformative Teaching in High School Mathematics from the Perspective of Core Competencies—Taking “Orthogonal Decomposition and Cartesian Representation of Plane Vectors” as an Example

摘要: 基于核心素养视角，以高中数学中的平面向量为研究对象，通过变式教学设计来提升学生的数学素养。首先介绍了研究领域和背景，指出高中数学六大核心素养对学生的数学学习起到重要的指导作用，然后阐明了本研究的主要目标是设计一种有效的变式教学方法，以帮助学生理解平面向量的正交分解和坐标表示。在研究中，采用了概念性变式和过程性变式进行教学设计，帮助学生在变式教学下对平面向量的理解和应用能力的显著提升。强调了变式教学设计在提高学生核心素养和数学学习效果方面的重要性，总结了研究的主要观点和结论，为高中数学教学提供参考和借鉴。

Abstract: From the perspective of core competencies, this study focuses on plane vectors in high school mathematics and aims to enhance students’ mathematical literacy through transformative teaching design. The research begins by introducing the field and background, emphasizing the significant guiding role of the six major core competencies in high school mathematics for students’ mathematical learning. It then clarifies that the main objective of this study is to design an effective transformative teaching method to help students understand orthogonal decomposition and coordinate representation of plane vectors. Conceptual and procedural variations are employed in teaching design to significantly improve students’ understanding and application abilities of plane vectors under transformative teaching. The importance of transformative teaching design in enhancing students’ core competencies and mathematical learning outcomes is emphasized, along with a summary of the main viewpoints and conclusions drawn from the research, providing reference and inspiration for high school mathematics education.

1. 引言

随着新课改的提出和教育改革的不断探索，学生核心素养的培养成为当下课堂教学重点培育的一大方面，在新课标核心素养指导下结合变式教学落实课堂教学实践，围绕学生“审辨”和“变异”活动开展教学研究，在提升学生基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验能力和引导学生用数学的眼光看世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界方面起到正面影响。在与学生进行课堂探究活动时，一是概念的提出需要引导学生进入特设情境思考探究并发现问题，二是围绕核心概念提出一系列基于学生已有认知从而建构新的知识体系的相关问题，启发学生在一系列的“变值”中找到“基值”，即概念的本质。三是核心概念的灵活应用需要教师着重培养学生的问题解决能力，将教材中的例题和习题设计为实际问题，鼓励学生运用数学知识和技能解决实际问题。培养学生的问题分析、建模、解决和评估的能力。四是核心素养背景下算法思维与跨学科思维的融合可通过变式教学启发学生进行动态思辨，帮助学生启发学习形成数学思维。

2. 新时代背景下核心素养与变式教学的结合

2.1. 变式教学契合教育学教育理念

人的大脑变式教学作为基于现象图式学，探索人们对事物或现象做出的理解、体验和思考，通过不同形式变换“基值”使学习者逐渐认识事物或现象本质的一种学习理论，是追求在变中求同、异中求存的。变式理论又叫变异理论，变异理论是由瑞典歌德堡大学学者马顿所领导的一个研究小组提出的，他们发展了一种名为“现象图式学”的研究理论，主要探索及描述人们对于世界上的某个特定现象或属性如何做出理解、体验和思考[1]。学习是“一种个体与世界的内在的关系”学校的教学目的是为学生如何面对不断复杂化的未来社会做准备，这样学习的最重要形式是使学生能够以不同的方式看待某个学习对象。学习意味着发展学生看待事物(对象)的一种方式，而这种方式的建立是基于学习对象关键特点的分辨及对这些特点的同时聚焦。由于变异，我们能够体验与分辨学习对象的关键方面。当不同的变异出现在同一时段时，它们使学习者认识到学习对象的不同方面。将这个过程应用到高中数学课堂，可根据课堂设计分为几个环节，如下表1所示。变式教学设计强调以学生为中心，这是教育学中极为重要的一个理论依据。它关注学生的个性化发展，尊重学生的个性差异，并致力于满足学生的不同需求。通过变式教学，教师可以根据学生的特点和需求，灵活调整教学内容和方法，使教学更具针对性和有效性。

Table 1. Four-stage table of classroom design

表1. 课堂设计四阶段表

是何阶段	该如何做	具体实施
一是引入阶段	引入一个数学概念或问题时，可通过展示不同的变异形式来激发学生的兴趣和好奇心。	提供不同的数学表达方式、图表或实际生活中的应用场景，让学生从不同的角度去思考和理解。
二是探索阶段	在学生理解基本概念后，设计多种变异形式的问题和练习，让学生通过解决不同形式的问题来深入理解数学概念。	这些变异形式可以涉及不同的数值、单位、条件等，帮助学生将概念应用到不同的情境中。
三是进阶阶段	一旦学生掌握了基本概念，可以引入更复杂的变异形式，深化学生对数学概念的理解。	这可以包括推导公式、证明定理、解决更复杂的问题等。通过不断提供不同的变异形式，帮助学生拓展思维，培养问题解决能力。
四是实践应用阶段	将数学概念应用到实际生活中是学生掌握数学的重要环节。	设计实际问题，并提供不同的变异形式，让学生运用数学知识解决实际问题，加深学生对数学概念的理解，并将其应用到实际情境中。

由于变式教学的运用由来已久，被广大教师自觉或不自觉地运用着，所以不乏经验性的教学研究。正是在这个基础上，顾泠沅对变式教学进行了系统而深入的研究。主要的研究领域是数学学习领域，这也是该理论运用最广的领域[2]。有从提高教学效率角度运用变式教学的，如“加强变式教学，提高课堂教学效率”；有从提问的角度运用变式教学的，如“把提出问题融入变式教学中”；还有对变式教学应注意的问题提出看法的，但基本都是经验性的总结。变式教学设计注重教学方法的多样性，这是教育学中教学方法论的一个重要体现。它要求教师根据教学内容、学生特点和教学目标，灵活运用多种教学方法和手段，如案例教学、问题教学、实验教学等，以提高教学效果。这种教学方法的多样性有助于激发学生的学习兴趣和积极性，培养学生的自主学习能力和创新精神。

事实上，变式教学设计的教育学理论依据包括以学生为中心的教学观、知识的有意义建构、教学方法的多样性、教学过程的互动性以及全面发展的教育目标等多方面。这些理论依据为变式教学设计提供了坚实的理论基础和实践指导。

2.2. 核心素养背景

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》的颁布是深化普通高中课程改革的重要环节，教材是新课程目标和新理念的重要载体，新课标的发布掀起了新课改的热潮，核心素养的培养也成为重要关注点之一，新课标提出的核心素养理念也为变式教学提供了指导方针，在高中数学平面向量的变式教学中，首先，核心素养要求学生具有批判性思维，落实到平面向量课堂，在讲解平面向量的概念和性质时，可以引导学生思考向量的定义和性质是否合理，以及是否有其他可能的定义和性质，这可以帮助学生培养批判性思维，不盲目接受知识，而是通过思考和质疑来深入理解知识；在讲解平面向量的应用时，可以提出不同的观点和思路，让学生思考并比较各种方法的优劣。这可以帮助学生了解问题的多种解法，并培养他们的批判性思维，不局限于一种方法或思路[3]，在课堂思考和探究活动过程中，可以鼓励学生提出质疑和问题，激发他们的好奇心和探究精神。教师再针对学生的疑问进行深入讲解，帮助他们更好地理解和掌握知识。审辨思维可指导学生用对比和分析的手段解决不同的问题，这个过程中教师的作用是帮助学生了解各种思路和方法的优劣，并培养他们的批判性思维。教师可以引导学生分析不同答案的思路和逻辑，并让他们自己判断哪种方法更合理。还通过实践活动，如平面向量的实际应用问题或数学建模问题，可以让学生将所学知识应用于实际问题中。这可以帮助学生了解知识的实际应用价值，并培养他们的批判性思维，让他们在实践中发现问题并提出解决方案。

在高中数学平面向量的变式教学中，其次，核心素养要求学生具有跨学科思维，平面向量的教学课堂中，要培养学生的跨学科思维，需要引入其他学科知识、对比不同学科的思维方式、开展跨学科项目、鼓励跨学科交流以及拓展学习资源。这些措施可以帮助学生了解不同学科的知识和思维方式，拓宽视野，培养他们的跨学科思维[4]。一是引入其他学科知识：在讲解平面向量的概念和性质时，可以引入其他学科的知识，如物理、化学、生物等。例如，可以介绍向量在物理中的速度和力矩的概念，以及在化学中的分子运动和生物中的遗传基因等应用。这可以帮助学生了解向量的实际应用价值，并培养他们的跨学科思维。二是通过对比不同学科的思维方式，可以让学生了解不同学科的思考方式和解决问题的方法。例如，可以对比数学中的逻辑思维和物理中的实验思维，或者对比数学中的代数思维和化学中的实验思维。这可以帮助学生拓宽视野，培养他们的跨学科思维。三是组织跨学科项目，让学生将所学知识应用于实际问题中。例如，可以让学生设计一个物理实验，利用平面向量的知识来描述实验中的力和运动关系。或者让学生设计一个化学实验，利用平面向量的知识来描述实验中的分子运动和反应速率。这可以帮助学生将所学知识应用于实际问题中，并培养他们的跨学科思维。四是鼓励学生与其他学科的学生进行交流，分享彼此的学习经验和思考方式。这可以帮助学生了解不同学科的思考方式和解决问题的方法，并培养他们的跨学科思维。并且给学生提供多元化的学习资源，包括不同学科的书籍、网站、视频等。这可以帮助学生了解不同学科的知识和思维方式，并培养他们的跨学科思维。

2.3. 变式教学设计应用现状

变式教学的应用由来已久，普遍且重要，在中学数学教学中它得到了广泛的应用，是一种重要的教学策略。变式教学不仅出现在中考等考试中，在日常教学中也被广泛采用，以帮助学生更好地理解和掌握知识。变式教学能够加深学生对知识的理解，建立知识点之间的联系，并帮助学生总结数学规律，提高学生解题能力，引导学生学会多角度思考问题，培养逻辑思维和创新实践能力，以达到教师提高课堂教学效果的目的。但变式教学仍存在形式化、目的不明和偏离本质、规律不明等问题，有些教师在实施变式教学时，片面追求例题的变式形式和数量，缺乏对变式目的和时机的有效掌控，这导致了变式教学的异化，使得教学效果降低，无法达到预期的目的。甚至有些变式教学设计脱离了学生的实际需求和心智特点，无法满足不同层次学生的需求，例如对例题中“问题结构”认识不到位、偏离了例题的本质属性，使学生摸不清解题规律，产生“负迁移”。综上所述，虽然变式教学在中学数学教学中得到了广泛的应用，但在实施过程中仍存在一些问题。为了优化变式教学设计，教师应明确教学目的、加强学生民主参与、注重外显变式过程并把握变式重点。这将有助于提高变式教学的效果，帮助学生更好地理解和掌握知识。

2.4. 立足核心素养建立变式教学指导方法

2.4.1. 结合学习需求确立变式教学核心目标

首先是概念提出阶段，此时的目标是夯实基础，培养学生对基础知识的全方位基本认知。其次是锻炼算法思维的理解阶段，此时的目标是让学生在充分掌握已建立的基础知识体系后建构知识概念与思维能力的联结并且提升学生的数学运算数学模型能力。数学是一门灵活性极强的学科，不仅问题的呈现形式多变，问题的解决方法也多变，这既考验学生的思维活跃能力也考验学生的算法思维能力。教师应当充分利用变式教学打破学生已经构建的固定式思维变换体系而在不停变换中更新思路，灵活应对各类“形变神不变”的题目。最后是面向发展的跨学科思维的创新挑战阶段，在高中数学教学课堂，新课标提出的核心素养观念指导下，培养学生跨学科思维发展学生创新意识是本阶段需要明确确定的目标，引导学生在这个阶段自主创新激发学生能够独立思考、勇于探索的兴趣，引导学生提出新的观点和思路，并尝试解决问题。学生应该掌握变式教学方法，能够灵活运用不同的变式手段，如变换条件、变换问题、变换解题思路等，来探究数学概念、定理和公式的本质和规律。并且通过变式训练，能够提高解题能力，灵活运用所学知识解决各种复杂问题。

2.4.2. 结合面向平面向量章节，提出变式教学应用策略

(1) “变”“辨”联动，完成知识迁移

变式教学过程特别注重的对不同知识表现形式的“审辨”和关注知识出现场景、不同题型的变化，这是一个思维长期形成与锻炼的过程，这个过程特别需要教师有目的性的引导学生活跃自己的思维，激发大脑知识体系的建构与更新，以促进学生对知识的深入理解和应用能力的提升。在变式教学中，教师可以通过提供多样化的学习资源和活动来激发学生的学习兴趣和主动性。例如，引导学生进行问题解决、实验探究、讨论辩论等形式的学习活动，以培养学生的批判性思维和创新能力。此外，在变式教学中，教师还可以结合实际生活和社会情境，将知识与学生的日常经验相结合，使学习更加贴近学生的实际需求。变式教学过程中，教师的角色也发生了一定的转变。教师不再是单纯的知识传授者，而是充当了学生学习的引导者和合作伙伴的角色。教师需要具备较强的教学设计能力和教学实践经验，能够根据学生的学习特点和需求，设计适合的学习活动和任务，引导学生在学习中主动思考和探索。总之，变式教学是一种能够促进学生学习兴趣和主动性的有效教学方法。它通过提供多样化的学习资源和活动，激发学生的思维活跃性，培养学生的批判性思维和创新能力，使学生对知识的理解和应用能力得到提升。教师在变式教学中扮演着引导者和合作伙伴的角色，需要具备良好的教学设计能力和实践经验，以满足学生的学习需求。变式教学有着广阔的应用前景，值得进一步研究和推广。

(2) 变构体系，渗入核心素养

在变化中构建充分、开放的核心素养变式教学体系是提高高中数学变式教学质量的重要途径，同时也是适应时代需求的必然选择。在传统的数学教学中，教师往往以传授知识为主，学生被动接受，缺乏创造性思维和问题解决能力的培养。而在充分、开放的核心素养变式教学体系中，学生将成为学习的主体，教师则扮演着引导和辅助的角色。通过构建充分、开放的核心素养变式教学体系，学生将能够通过自主学习和合作学习的方式，充分发挥自身的潜能和创造力。在这个体系中，学生将能够主动探索、提出问题、解决问题，并通过实践来巩固所学知识。这种学习方式不仅能够提高学生的学习兴趣和主动性，还能够培养学生的批判性思维和创新能力。此外，充分、开放的核心素养变式教学体系还能够帮助学生更好地适应时代的变化和挑战。如今，社会发展迅速，知识更新速度加快，传统的知识传授已经无法满足学生的需求。而充分、开放的核心素养变式教学体系注重培养学生的自主学习和创新能力，使学生能够适应不断变化的社会环境，并具备持续学习的能力。构建创新型核心素养教学体系是提高高中数学变式教学质量的重要途径，也是适应时代需求的必然选择。通过这种教学体系，学生将能够充分发挥自身的潜能和创造力，培养批判性思维和创新能力，从而更好地适应社会的变化和挑战。

(3) 强化启发指导，激发创新思维

基于新课标明确提出的核心素养指导下的高中数学课堂要求，教师在教学中进行启发性引导，激发学生创新性思维是提高课堂教学质量的有力手段之一，同时也是培养学生综合素质的重要途径之一。在数学课堂教学中，教师应该注重培养学生的创新思维能力，帮助他们在解决问题时灵活运用所学知识，提出新的解决方案，善于利用开放性问题来引导学生思考和探索，这样的问题不仅可以激发学生的兴趣和求知欲，还能够培养他们的创新意识和解决问题的能力。例如，教师可以提出一个现实生活中的数学问题，让学生自己去寻找解决方法，并鼓励他们尝试不同的思路和途径。小组讨论中合作学习的方式也很重要，合作学习可以促进学生之间的交流和合作，激发他们的思维碰撞和创新灵感。探究活动中，教师可以组织学生进行小组讨论或团队项目，让他们共同合作解决一个复杂的数学问题。这个过程学生可以相互交流和借鉴彼此的思路和方法，从而培养他们的创新思维和解决问题的能力。 此外，教师还应该注重培养学生的批判性思维能力。批判性思维是指学生在分析和评价问题时能够全面、深入地思考，并能够提出合理的批判性观点和建议。教师可以通过让学生参与到数学问题的讨论和辩论中，培养他们的批判性思维能力。例如，教师可以提出一个有争议的数学问题，让学生分别提出自己的观点，并通过辩论的方式来解决分歧。这样的练习既可以培养学生的批判性思维，又可以锻炼他们的表达能力和论证能力。 综上所述，教师在高中数学课堂教学中应该注重激发学生的创新性思维。通过提供开放性问题、合作学习和培养批判性思维能力，教师可以帮助学生提高数学解决问题的能力，培养他们的创新意识和创新能力。这不仅可以提高课堂教学的质量，还能够为学生的综合素质培养奠定坚实基础。因此，教师应该积极探索并实践创新性教学方法，为学生的发展提供更好的支持和引导。

3. 教学设计具体呈现

3.1. 创设情境，引入新课

旧知回顾，引发思考。

课前提醒同学们复习上一小节所学习的内容并预习教材，课程开始，教师带领学生回顾与平面向量相关的问题，先就前面所学的内容进行提问。

师：什么是平面向量基本定理？

答：如果${\stackrel{\rightharpoonup }{e}}_1,{\stackrel{\rightharpoonup }{e}}_2$ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量$\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ ，有且只有一对实数${\lambda }_1,{\lambda }_2$ ，使$\stackrel{\rightharpoonup }{a}={\lambda }_1{\stackrel{\rightharpoonup }{e}}_1+{\lambda }_2{\stackrel{\rightharpoonup }{e}}_2$ ，其中，不共线的向量${\stackrel{\rightharpoonup }{e}}_1,{\stackrel{\rightharpoonup }{e}}_2$ 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底。

师：有且仅有在这里强调了什么？

答：强调的是实数${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 是唯一且确定的。

师：在对任一平面内任意一个向量作的分解我们有种比较特殊的分解叫做正交分解，那么，什么是正交分解呢，正交分解怎么进行呢？我们接下来通过一个探究活动来了解它。

设计意图：用问题引导学生复习平面向量的基本定理，为本节课一般分解的回顾和引出正交分解概念作铺垫，同时帮助学生理解平面向量的基本性质和应用。在学习平面向量的过程中，学生通常会遇到一些困惑和挑战，因此，引入问题可以激发学生的思考和探索。首先，我们可以提出一个问题：在平面上，如果两个向量的和等于零向量，那么这两个向量是否一定相等？这个问题可以引导学生思考向量的定义和运算规则，以及零向量的特点。通过分析和讨论，学生可以得出结论：如果两个向量的和等于零向量，那么这两个向量一定相等。这是由于向量的加法满足交换律和逆元素的存在性。接下来，我们可以进一步扩展这个问题：如果两个向量的和等于另一个向量，那么这两个向量之间是否存在一定的关系？这个问题可以引导学生思考向量的线性组合和向量的线性相关性。通过分析和讨论，学生可以得出结论：如果两个向量的和等于另一个向量，那么这两个向量之间存在线性相关关系。这是由于向量的加法和数量乘法满足结合律和分配律。通过以上的问题引导，学生可以对平面向量的基本定理有更深入的理解。在继续学习一般分解和正交分解的概念之前，复习和理解平面向量的基本性质是非常重要的。这些基本定理为后续的学习奠定了坚实的基础，也为学生在解决实际问题时提供了有效的工具。在实际应用中，平面向量的基本定理可以帮助我们解决各种几何、物理和工程问题。例如，在力学中，我们可以将力的作用效果分解为平行于运动方向和垂直于运动方向的两个分量，从而更好地分析和计算力的作用效果。在工程中，我们可以利用平面向量的基本定理进行力学分析、结构设计和路径规划等。综上所述，通过问题引导学生复习平面向量的基本定理，可以加深学生对向量的理解和应用。这对于学生在学习和应用平面向量时具有重要的意义，也为后续的学习和实践打下了坚实的基础。因此，在教学中，我们应该注重引导学生思考和解决问题的能力，培养他们的创新思维和实践能力。

实例引入，深化理解。

首先让学生阅读课本第六章第二小节思考题前一段文字，从光滑斜面上木块重力G分解中理解正交分解定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

师：我们用物理中的一个实例来说明什么是正交分解，当小木块在斜坡上时我们对木块所受的力进行分析，并且将木块所受的重力进行分解。

生：我知道，在物理受力分析时我们一般把重力分解为沿着斜面的力和垂直于斜面的力。

师：观察重力分解的两个力，它们是不是互相垂直？这个过程就是对重力这个向量G进行正交分解，由此大家能总结出正交分解的结论吗？

生：我们可以得出结论，将平面内的任意一个向量分解为互相垂直的两个向量称之为将这个向量进行正交分解。

3.2. 探索新知，整体认知

探究活动1：平面向量的坐标表示的定义。

问题1：如图，取与x轴，y轴同向的单位向量$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ 为基底，分别用基底$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ 表示向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d}$ ，并求出它们的坐标。

易得$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$ ；$\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$ ；$\overrightarrow{c}=-2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$ ；$\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$ 。

根据定理，对$\overrightarrow{a}$ ，有唯一和它对应的实数对(2, 3)，我们称(2, 3)为$\overrightarrow{a}$ 的坐标，即$\overrightarrow{a}=\left(2,3\right)$ 。

类似地，$\overrightarrow{b}=\left(-2,3\right),\overrightarrow{c}=\left(-2,-3\right),\overrightarrow{d}=\left(2,-3\right)$ 。

问题2：更一般地，怎样定义平面内任意一个向量$\overrightarrow{a}$ 的坐标？

学生思考，讨论，作答。(教师要给学生充足时间，并参与讨论、指导、修正)

平面向量的坐标表示的定义：在直角坐标系内，取与x轴，y轴同向的单位向量$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ 为基底，任意一个向量$\overrightarrow{a}$ ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使$\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$ ，则称(x, y)为向量$\overrightarrow{a}$ 的坐标。记作$\overrightarrow{a}=\left(x,y\right)$ 。

先独立思考，再分小组交流这两个问题；

① 平面向量基底的唯一要求就是不共线，因此平面向量有无数个基底。那么选什么样的基底能够更好的解决问题？

② 物理上，我们在做力的分解时，将力进行了正交分解，即，我们选择了两个互相垂直的力作为基底。这对我们研究平面向量基底的选择问题有什么启示？

再师生共同剖析定义，注意并理解定义中的关键词：基底的选择，有序实数对。

问题3：写出下图中各向量的坐标。学生思考，作答。

3.3. 深入探索，揭露本质

探究活动2：向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点和终点坐标之间的关系。

问题1：任意拖动点F，求不同位置下的向量$\overrightarrow{OF}$ 的坐标和点F的坐标，由此得到它们之间有何关系？

学生在观察及回答过程中得出结论：以原点为起点的有向线段表示的向量坐标就是其终点坐标。即：$\overrightarrow{OF}=\left(x,y\right)\iff F\left(x,y\right)$ 。

问题2：向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系？在得出特殊情形下的向量坐标和终点坐标之间的关系后，给出问题让学生思考，探究讨论，在教师的引导下完成证明。

解析：若A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，则$\overrightarrow{AB}=\left(x_2-x_1,y_2-y_1\right)$。

结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

3.4. 借助例题，深化理解

探究活动3：向量的坐标运算。

问题1：当向量用有向线段表示时，我们可以对其进行加、减、数乘等运算，向量用坐标表示了之后，相应的运算法则是什么？

即：若$\overrightarrow{a}=\left(x_1,y_1\right),\overrightarrow{b}=\left(x_2,y_2\right)$ ，则$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=?,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=?\lambda \overrightarrow{a}=?$ 给学生充分时间进行自主探究，利用实物投影展示部分学生探究证明过程。

结论：若$\overrightarrow{a}=\left(x_1,y_1\right),\overrightarrow{b}=\left(x_2,y_2\right)$ ，则$\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=\left(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2\right),\lambda \overrightarrow{a}=\left(\lambda x_1,\lambda y_1\right)$ 。

以加法为例进行证明(其余类似可得)：$\begin{array}{c}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}\right)+\left(x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}\right)\\ =\left(x_1+x_2\right)\overrightarrow{i}+\left(y_1+y_2\right)\overrightarrow{j}\\ =\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\end{array}$ 。

学生用文字语言概括向量的坐标运算法则：两个向量和(差)的坐标分别等于这两向量相应坐标的和(差)，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标。学生反思总结证明过程中的关键步骤：从数到形和从形到数的转化。

3.5. 课堂练习，及时反馈

练习1：已知$\overrightarrow{a}=\left(2,1\right),\overrightarrow{b}=\left(-3,4\right),\overrightarrow{c}=\left(-2,5\right)$ ，求$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$ 。

变式：已知$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(2,1\right),\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(3,5\right)$ ，求$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 。

练习2：已知平行四边形ABCD的点A、B、C分别为(−2, 1)、(−1, 3)，(3, 4)，求D点坐标。

变式：上题中将条件“平行四边形ABCD”改为“A、B、C、D四点构成四边形”，则结果又如何？

练习3：已知A (11, 12)、B (4, 5)、C (10, 11)，求证：A、B、C三点共线。

变式：已知A (k, 12)、B (4, 5)、C (10, k)，且A、B、C三点共线，求k的值。

例题与变式都由学生先完成，然后讲评。注意和数的运算的区别和联系。师生共同探索，引导学生发现多种解题思路，并对方法进行总结。

3.6. 总结反思，提炼升华

活动1：教师与学生一起总结归纳本节课所学知识点和运用的数学思想

总结1：平面向量的坐标表示的定义，向量坐标运算法则。

总结2：数形结合、化归与转化、分类讨论思想的应用。

总结3：观察猜想、归纳类比等合情推理及分析、综合等逻辑推理的方法。

活动2：教师布置课后习题

作业1：书面作业：本小节课后练习第1、2题。

作业2：研究题：在平面斜坐标系XOY中，$\angle XOY=60˚$ ，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$ ，(其中$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 分别为与x轴，y轴同方向的单位向量)，则P点斜坐标为(x, y)。如果P点斜坐标为(2, −2)，求P到O的距离。

4. 结论与展望

教师在实施变式教学时，应明确变式的目的和时机，确保变式教学能够真正帮助学生理解和掌握知识。还要加强学生民主参与，充分考虑学生的需求和心智特点，设计能够引起学生兴趣并促进学生参与的变式问题。而在变式教学过程中教师应注重展示变式的思路和过程，帮助学生理解变式的本质和规律，把握变式重点，根据教学内容和学生的实际情况，确保变式教学能够有针对性地提高学生的数学能力。

4.1. 以学生为本，注重学生学习体验

在《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》充分明确学生在课堂中的主体地位后，要求教师尽可能多的启发学生思考，鼓励学生主动参与和尝试课堂中体验与发现的探究活动，希望学生能在嘴巴跟着说的同时脑子也在记忆和思考，在眼耳口鼻心与手脑的多感官系统协调中形成数学思维，落实“四基”“三能”。“四基”的四个方面是数学教学的核心目标，也是学生需要掌握的重要内容，“三能”的三种能力是学生未来发展所必需的重要能力。数学思维的锻炼对学生的重要性不言而喻，数学思维是一种逻辑思维，它能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题能力和思维能力，数学思维也能够培养学生的创新能力和实践能力，让学生更好地适应未来的社会发展，数学思维还可以培养学生的综合素质，提高学生的思维品质和人文素养。因此，在数学教学中，教师应该注重培养学生的数学思维，通过多样化的教学方式和方法，引导学生积极参与课堂活动，提高学生的数学素养和综合能力。

4.2. 变式教学本质是为了学生更好掌握知识

变式教学作为一种常见的教学方式，它只是课堂教学的手段之一，它通过将原有问题进行变换，或者将问题进行不同角度、不同层次、不同背景的变换，让学生从不同角度、不同方面来思考和解决问题，从而加深对问题的理解和掌握。这种教学方式可以帮助学生更好地掌握知识，进行知识的横向和纵向迁移，因为通过不同的变换方式，可以让学生更全面地了解问题的本质和解决方法，增强学生的数学思维能力和解决问题的能力。同时，变式教学还可以激发学生的学习兴趣和积极性，让学生更加主动地参与到学习中来，提高学习效果。总之，变式教学通过变化教学方式和方法，它是为课堂服务，为教师和学生辅助，让学生更好地理解和掌握数学知识，提高学习效果。

4.3. 核心素养下体现的是对学生长远发展的人文关怀

新课标中明确提出了数学核心素养的概念，这些核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象和数据分析等方面。这些核心素养不仅关注学生的数学知识和技能，还关注学生的数学思维和问题解决能力，以及学生在数学学习中的人文素养和综合素质。

这种核心素养指导数学课堂的方式，体现了对学生长远发展的人文关怀。首先，核心素养的提出可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高数学素养和综合能力。其次，核心素养的指导可以培养学生的数学思维和问题解决能力，让学生更好地适应未来的社会发展。最后，核心素养的落实可以促进学生的全面发展，提高学生的思维品质和人文素养，让学生成为具有社会责任感和创新能力的人才。

基金项目

黄冈师范学院2024年研究生工作站课题“指向高阶思维能力培养的STEAM活动设计与应用研究——以黄州中学为例”(5032024027)的研究成果。

NOTES

^*通讯作者。