基于SOLO分类理论的层次化习题教学设计——以人教版“圆的基本性质”为例

Hierarchical Exercise Teaching Design Based on SOLO Theory—Taking “The Basic Nature of the Circle” as an Example

摘要: 当前，我国教育改革的重点是不断推进落实“立德树人”的根本任务，培养学生学科核心素养。数学这门学科是初中阶段主课之一，具有一定的基础性和应用性。应当充分发挥数学学科的育人功能。文章将选取《人民教育出版社》(以下简称人教版)初中数学“圆的基本性质”这一节内容，分析如何基于SOLO分类理论进行习题教学设计．引导学生个性化发展，促进不同层次水平学生思维上的提升，实现学生数学学科素养的培养。

Abstract: At present, the key focus of China’s education reform is to consistently facilitate the implementation of the essential task of “moral cultivation” and cultivate students’ core qualities. Mathematics is one of the main courses in junior high school, possessing certain fundamental and practical attributes. The educational function of mathematics ought to be fully exerted. This article will select the “Basic Nature of Circle” section of junior high school mathematics of People’s Education Press (hereinafter referred to as “Human Education Edition”) to analyze how to conduct exercise teaching design based on the SOLO classification theory. Guide students’ individualized development, promote the enhancement of students’ thinking at different levels and fulfill the cultivation of students’ mathematical literacy.

1. 问题提出

根据我国课程标准对数学教学的要求，提出数学教学要以培养学生数学学科核心素养为目标。新修订的《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称“2022年版课标”)中指出，数学的眼光主要表现为抽象能力(包括数感、符号意识)、几何直观、空间观念与创新意识；数学思维主要表现为运算能力、推理能力；思维的发展过程就是数学素养提升的过程，然而数学核心素养的实现又依托高阶思维品质的发展[1]。纵观传统的教学模式很多教师还停留在知识传授的层面，教学评价方式单一，多指向考试成绩。对培养数学核心素养思维的过程缺少关注。而SOLO分类理论所展现出的评价方式更具有科学性和层次性，将数学习题根据SOLO分类理论进行设计，不仅可以实现对题目层次化的把握，而且还可以根据学生的实际情况布置具有层次性的课后作业，对学生的知识掌握情况和思维水平进行科学的评价，用以了解学生最近发展状况，进而调整教学的策略并开展一系列针对性的教学活动，实现学生数学学科核心素养的培养．基于此，文章选取人教版初中数学“圆的基本性质”内容运用SOLO分类理论探索具有创造性的教学设计，以期为广大一线教师提供参考。

2. SOLO分类理论

SOLO分类理论(Structure of Observed Learning Outcome，简称SOLO taxonomy)本意为“可观察到的学习结果结构”[2]。是澳大利亚著名教育家约翰·彼格斯(John B. Biggs)和凯文·科利斯(Kevin F. Collis)在皮亚杰认知发展阶段论的基础上创建起来的一种以等级描述为特征的质性评价理论。他们认为一个人的总体认知结构是一个纯理论性的概念，是不可检测的，而一个人回答某个问题时所表现出来的思维结构水平却是可以检测的，彼格斯称其为“可观察的学习成果”[2]。

SOLO分类理论不仅注重学习的内容，还根据学习内容的多少以及它们之间的联系来确定思维层次水平，同时也注重任务过程，即学生是怎样完成学习任务的，体现了什么样的数学思想方法运用了哪些公式、定理等，充分体现了过程与内容的良好结合。它是一种用结构特征来描述、解释学生反应，然后用结构特征来评价、确定某种特定反应的层次模型[3]。彼格斯等人把学生对某个问题的学习结果由低到高划分为前结构水平(U)、单一结构水平(P)、多元结构水平(M)、关联结构(R)水平和抽象拓展结构(E)水平五个层次。对于具体的数学问题，从解决其所需知识点个数及相互联系的角度出发，根据SOLO分类理论也可以将其划分为五个结构水平[4]。其基本结构特征如表1所示。

Table 1. Structural characteristics of the SOLO classification theory

表1. SOLO分类理论结构特征

SOLO结构水平层次	基本特点	模型表征
前结构水平 (Prestructural, P)	学生基本上无法理解概念或问题，无法提供与问题相关的任何信息或答案。
单一结构水平 (Unistructural, U)	学生只能关注到问题的某个单一方面或某个点，提供的答案较为片面，缺乏深度和广度。
多元结构水平 (Multistructural, M)	学生能够关注到问题的多个方面或多个知识点，能够运用多个方法解决数学问题，但各个点之间缺乏有机联系，无法形成完整的体系或结构。
关联结构水平 (Relational, R)	学生能够将问题的各个方面或点进行有机联系，形成一个完整的体系或结构，能够理解和分析问题的内在联系和逻辑关系。
拓展抽象结构水平 (extendedabstract, Ea)	学生在关联结构层次的基础上，能够进一步抽象和拓展，提出新的问题或观点，对问题进行深入地思考和探究。

3. 基于SOLO分类理论的习题教学设计

初中数学课程当中，“圆”是学生学习的首个曲线型的几何图形，有着和直线型不同的研究方法和思路。因此本文以人教版初中数学中的“圆的基本性质”为例，选择具有层次性的习题，进行分析如何按照SOLO分类理论展开课堂习题教学。

3.1. 基于单一结构(U)水平，巩固学生基础知识点的掌握

教师应当基于学生单一结构(U)水平，选取一些考查和圆有关的概念、性质、定理等基础性题目，加深学生对知识点的记忆和理解。通过对圆知识点的梳理、练习和讲解帮助学生思维水平从单一结构向多元结构发展。

例1：观察图形，想定理

选题依据通过对几何图形的直观感受，回忆相关的理论基础或推论。即圆的性质、垂径定理、与圆有关的角及其推论等。没有其它问题的干扰，学生仅需加深对这些知识点的记忆理解，就能够解答出本道题目所考察的知识点。这道习题属于单一结构(U)水平层次。教师可适当引导学生。

3.2. 发展多元结构(M)水平，加强学生对解题方法的运用

教师应该在单一结构(U)水平的基础上发展学生多元结构(M)思维水平，即不能仅停留在数学基础知识概念的记忆，应当掌握与之有关联的其它相关知识点，加强学生对数学概念、公式或者定理的理解，与此同时运用习题中有用的信息来解决问题。

例2：如图所示，某圆形人造湖，弦AB是湖上的桥，如果桥AB长100 m，而且∠C = 45˚，求该人造湖的直径。

选题依据本题与我们的实际生活联系比较紧密，考查学生利用我们所学的知识解决实际问题。首先应明确与圆相关角的性质，三角形的性质，勾股定理等。其次通过发散思维来构造辅助线求解。意在考查学生抓主要线索，并能发现多个解决问题的方法，训练对题目所包含信息的有效整合，串联知识点，发现不同的方法解决实际问题，因此这道题符合多元结构水平的特点。

解题分析根据已知条件，AB = 100 cm，∠C = 45˚，求直径是多少？

方法1) 过圆心O作直径AE，连结EB，根据圆周角的性质得出∠C = ∠E = 45˚，得出∆ABE是一个等腰直角三角形，根据勾股定理求出AE的长。

方法2) 过圆心O连结OA，OB，根据圆周角与圆心角的数量关系，得出∆AOB是一个等腰直角三角形，同样根据勾股定理求出半径长再乘以2求出直径。

3.3. 发展关联结构(R)水平，培养学生整合数学知识的能力

在这一层次中，学生能够将数学知识的各个方面或知识点进行有机联系，形成一个完整的体系或结构。这不仅有助于他们理解和分析问题的内在联系和逻辑关系，还能提升他们的问题解决能力和数学思维能力。教师应当重视发展学生该层次的思维水平，即要求学生综合运用所学知识来解决问题。

例3：如图所示，在∆ABC中AB = AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE。

(1) 求证：BD = CD

(2) 若$\tan C=\frac{1}{2}$ ，BD = 4，求AE。

选题依据：本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质。题目中存在诸多信息，学生突然看到这些条件可能会觉得毫无思路，需要唤醒联系到已学过的知识综合思考，因此需要整合相关知识进行求解。

解题分析：(1) 连接AD，利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB = 90˚，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；

(2)利用(1)的结论可得BD = DC = 4，BC = 8，然后在Rt∆ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用勾股定理求出AC的长，最后证明∆CDA∽∆CEB，利用相似三角形的性质求出CE的长，进行计算即可解答。

3.4. 发展拓展抽象结构(E)水平，培养学生解决实际问题的能力

抽象结构(E)水平主要指的是学生在面临复杂问题时，能够将其抽象化、模型化，从而找到问题的本质和解决方案的能力。在教学过程中教师应该加强提升学生拓展抽象结构(E)水平，即要求学生能够将所学知识与已有的知识经验联系起来进行思考，培养学生知识迁移的能力。例如教师可以通过具有综合性知识的题目，让学生经历用综合性知识解决实际问题的思维习惯，提升学生对综合知识的理解、应用和迁移的能力。

例4：如下图所示，以AB为直径的⊙0经过∆ABC的顶点C，BE，AE分别平分∠CAB和∠CBA，AE的延长线交⊙0于点D，连接BD。

(1) 判断∆BDE的形状，并证明判断的结论；

(2) 如果，AB = 10，BE = $2\sqrt{10}$ ，求BC的长度。

选题依据：本题需要学生在综合运用圆知识的基础上将所学的知识联系到三角形的知识，是一道关于圆的综合题，主要考察了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明∆BDE是等腰直角三角形是解题的关键依据。

解题分析：(1) 由角平分线的定义可知，∠BAE = ∠CAD = ∠CBD，∠ABE = EBC，所以∠BED =∠DBE，所以BD = ED，因为AB为直径，∠ADB = 90˚，所以∆BDE是等腰直角三角形。

(2) 连接OC、CD、OD，OD交BC于点F。因∠DBC = ∠CAD = ∠BAD = ∠BCD。所以BD = DC。因为OB = OC。所以OD垂直平分BC。由∆BDE是等腰直角三角形，BE = $2\sqrt{10}$ 可得BD = $2\sqrt{5}$ 。因为OB = OD = 5。设OF = a，则$DF=5-a$ 。在Rt∆BOF和Rt∆BDF中，$5^2-a^2=(2{\sqrt{5)}}^2-{(5-a)}^2$ ，解出$a$ 的值即可。

4. 结束语

综上所述，依据SOLO分类理论开展层次化习题教学，可以很好地满足学生的个性化需求，促进各SOLO层级学生的思维水平，同时还可以培养学生的综合应用能力和对所学知识的迁移能力，适合班级授课这种方式，在完成设置的各SOLO层次题目的同时使学生像爬楼梯一样步入高阶思维层，获得人所需的发展。所以，该理论对教学具有一定的指导意义，作为一线教师应该要认真研究SOLO分类理论，将这一理论应用到教学设计、实施、和评价的整个过程，实现教育对于人发展的培养目标。