5E模式下的高中数学概念课教学设计研究——以“函数的零点与方程的解”为例

Research on Teaching Design of High School Mathematics Concept Course under 5E Mode—Taking the “Zero Point of a Function” as an Example

摘要: 深度学习的实践是推动课程改革深入的关键要素，而5E教学模式作为深度学习的有效载体和切入点，为实施深度学习提供了重要的方法和途径，通过吸引、探究、解释、迁移和评价五个环节对数学概念进行深度解析。本研究以“函数的零点与方程的解”为例，根据5E教学模式各环节的要求对课堂概念教学进行设计，以期提高学生对数学概念的理解和运用能力，促进数学教学走向更深度的发展。

Abstract: The practice of deep learning is a key element in promoting the deepening of curriculum reform, and the 5E teaching model, as an effective carrier and entry point for deep learning, provides important methods and approaches for implementing deep learning. Through the five stages of attraction, exploration, interpretation, transfer, and evaluation, the concept of mathematics is deeply analyzed. This study takes “the zero point of a function and the solution of an equation” as an example, and designs classroom concept teaching according to the requirements of each link of the 5E teaching mode, in order to improve students’ understanding and application ability of mathematical concepts and promote the deeper development of mathematics teaching.

1. 引言

《普通高中数学课程标准(2017年版2020修订)》提出：“通过特定设计的问题，引导学生展示数学理解力，满足学生自主探究的欲望，拓宽学生的数学视野”的课程要求[1]，希望学生通过探究和质疑掌握并运用数学概念解决实际问题。而由美国生物课程研究BSCS (Biological Science Curriculum Study)开发的5E教学是一种适应于实际教学的以建构主义学习理论和概念转变理论为指导的探究教学模式，旨在培养学生的科学探究能力以及帮助学生实现概念转变和构建科学概念[2]，为高中数学概念教学提供了方法与策略。

2. 5E教学模式简介

5E教学模式主要是由吸引(engagement)、探究(exploration)、解释(explanation)、迁移(elaboration)和评价(evaluation)五个环节构成，因每环节首字母均为E而得此名，它的各个环节既相互独立，又相互联系形成科学课堂教育闭环[3]。该模式通过强调以学生为中心，设计问题串以及相应的教学情境，引导学生自主探究，从而形成新旧概念之间的冲突，让学生实现主动建构并应用新概念，有助于学生更深入地理解概念的内涵及外延。并且教师在课堂对学生的学习及时评价、适时点拨，提倡学生的互评与自评，也有助于加深学生对概念的深入理解与知识的建构，从而增加高中数学概念课的教学深度。

Figure 1. Diagram of the relationship between 5E teaching mode and deep learning

图1. 5E教学模式与深度学习关系图

5E教学模式将对数学概念的探索与理解交给学生自主探究完成，与深度学习的思想不谋而合。深度学习是学生围绕学习主题，在教师的引导下全身心积极参与、获得发展的有意义学习，主要体现五个特征：联想与结构、活动与体验、本质与变式、迁移与应用、价值与评价[4]。这五个特征与5E教学模式的五个环节紧密联系，通过引导学生在探究中自主学习、深入思考，促进学生批判性思维和解决问题的能力，从而实现对知识的深度理解和应用。因此，5E教学模式是深度学习的具体化教学模型，各环节都以学生为中心，注重学生对知识的自我探索与建构，是推动数学概念教学走向深度的新模式。其内涵诠释如图1所示。

本研究以人教A版必修第一册4.5.1“函数的零点与方程的解”一节为例，结合数学学科特点和5E教学理论，探讨基于5E教学模式的数学概念教学设计，以期实现学生对数学概念的深度学习、学习探究的切身体验与数学学科素养的培养。

3. 教学内容分析

“函数的零点与方程的解”是人教A版数学必修第一册第四章第五节的内容，旨在解释函数和方程之间的本质联系。本节课涉及函数与方程、数形结合、特殊到一般以及转化与化归等数学思想方法，通过学习有利于提升学生数学抽象与数学运算等核心素养，感受数学的应用价值。其重点是函数零点与方程根的关系，难点是利用存在性定理解决实际问题。学生在本节课以前，就已经学过函数的概念与性质等知识，掌握了部分基本初等函数，如指数函数、对数函数和一元二次函数等的图像与性质，并体会过数形结合和转化的数学思想，为后续知识点或思想上的学习奠定基础。

秉持“以学生发展为本，培育科学精神和创新意识，把握数学内容的本质”的理念，本节课采用讲授法、问题设计法、练习法等教学方法来进行教学，通过引发学生认知冲突和引导学生自主探究，深入理解函数的零点概念并能够在新的教学情境中进行迁移，以达到本节课教学目标。

4. 5E教学模式下“函数的零点”教学设计

4.1. 吸引——引发认知冲突，激发学习兴趣

吸引也称之为“参与”，是5E教学模式的第一环节。该环节要求教师在了解学生已有经验的基础上，创设能够联系旧知与新知的问题情境，该问题不仅要与学生的实际生活相结合，还要能够引发学生的认知冲突，激发学生的学习动机和探究意识，能够达到“课未始，兴已浓”的效果，使得学生在接下来的学习中主动参与到课堂探究与知识建构中来。

问题情境1：迄今为止，同学们都解过哪些方程？那你会解$x^5+x^2+2x-3=0$ 这个方程吗？

学生对于解这个五次方程会很为难，此时教师改变问题：画出函数$y=x^2+2x-3$ 的图象，并求方程$x^2+2x-3=0$ 的根；

设计意图：根据课标的要求，结合二次函数的图象来判断一元二次方程的根是否存在以及若存在根的个数，以便了解函数的零点与方程的根之间的关系。该情境从简单的一元二次方程入手，思考是否会解方程$x^5+x^2+2x-3=0$ ？该方程是否有实根？是否可以用求根公式解决？学生会因为无法回答这个问题而产生认知冲突，以激发学习兴趣，也为本节课之后的二分法近似求解做出铺垫。

4.2. 探究——主动参与探究，促进深入思考

探究环节是5E教学模式的核心环节，是最重要的一环。一节课中知识的构建、探究的体验以及技能的掌握大多在该环节实现，在这一环节，学生作为探究的主体，在教师帮助下根据自己头脑中已有的经验和新知识结合进行有意义的知识构建，从而形成新的概念；而教师则根据学生引发的认知冲突，扮演观察、聆听与鼓励的角色对学生进行引导。

探究1：画出函数$f(x)=x^2-2x-1$ 的图象(草图)。

学生讨论：(1) 二次函数$f(x)=x^2-2x-1$ 的图象和一元二次方程$x^2-2x-1=\text{0}$ 的根有什么关系？

(2) 那么二次函数$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ 的图象和一元二次方程$a{x}^2+bx+c=\text{0}\left(a\ne 0\right)$ 的根有什么关系呢？(此时教师给出二次函数零点的概念)

猜一猜：那么一般函数$y=f\left(x\right)$ 的零点该如何定义呢？

设计意图：通过简单作图，让学生直观地感受二次函数的零点的存在，并为引出二次函数的零点做出铺垫，进而为引导学生给出一般函数$y=f(x)$ 零点的定义搭建思维桥梁。紧接着，带领学生对新概念进行辨析，强调函数的零点与点的区别，从而促进学生对零点概念的深度理解。

探究2：(1) 求证：二次函数$f(x)=\text{2}{x}^2+\text{3}x-\text{5}$ 有两个不同的零点。

(2) 判断二次函数$g(x)=x^2-\text{3}x-\text{1}$ 在区间$\left(\text{2},3\right)$ 上是否存在零点？

设计意图：通过让学生探究感受无区间限制的二次函数零点存在问题和有区间限制的二次函数零点存在问题在解决方面的异同，体现循序渐进的思维，为引出零点存在定理做出铺垫。将这两个问题放在同一个探究活动中，符合学生的认知规律，便于进行比较分析，促进知识的理解与迁移。

4.3. 解释——进行科学解释，促进学生理解

解释环节是对探究环节成果的解释，是5E教学模式关键的一环。在这一环节，教师要提供充分的机会给学生，学生可以选择关于探究的问题任一方面，用自己的语言对该方面的成果进行初步的分析与解释。教师在倾听学生的解释后，要及时对学生可能存在的问题进行简洁、清晰和直接地补充、纠正与解释，以便帮助学生更深入地理解新概念，尤其要注意的是纠正学生先前的错误概念，形成新的概念。

问题1：函数$y=f\left(x\right)$ 满足什么条件时在区间$\left(a,b\right)$ 上存在零点呢？

设计意图：在上一环节探究2的基础上，进一步引导学生积极参与讨论，充分表达自己的观点，并用图象语言表达出来，向大家展示以得到认可。然而，在研究函数零点存在性定理时，学生可能会面临如何将“图象特征”转化为“代数表示”的难点。

问题2：如果满足了零点存在定理的条件是否就能确定有几个零点？

问题3：在零点存在定理中，若是$f(a)f(b)>0$ ，是否就说明$y=f(x)$ 在区间$\left(a,b\right)$ 上没有零点？

设计意图：问题2和问题3依托教师带领学生对问题1进行探究所得出的三个条件进行梳理，引导学生大胆推理探究，说出结论并共同讨论完善，教师在旁及时纠正错误，并给出正确解释，帮助学生理解零点存在定理的本质。通过学生的亲身探究，全面感受零点存在定理的生成过程。

通过以上问题链，引导学生合理地描述并解释他们所理解的知识，不仅要知其然，还要知其所以然。此外，教师还要引导学生将这些所理解的知识与上一环节探索活动中所得到的结果以及自己已有的知识经验联系起来，形成完整严谨的逻辑关系。在这一环节，学生通过用自己的语言来解释探究过程所呈现的结果，能够加深他们对概念的深度理解，再辅之教师将学生的解释凝练为数学专业术语，有利于进一步提升学生的思维品质。

4.4. 迁移——概念变式拓展，促进迁移内化

迁移环节也称之为精致环节，可以理解为是深化新知，其主要目的是将学习的新知识一般化，并运用到其他情境中。在这一环节，教师要针对新知识创设新的问题情境，让学生运用已有的经验和新知来解决问题，让学生在新问题情境中反复应用、深化知识，不断加强对新概念的理解与应用，不断扩展概念的内涵与联系，实现学以致用的目标。

例1：求证：函数$f\left(x\right)=x^3+x^{\text{2}}+\text{1}$ 在区间$\left(-2,-1\right)$ 上存在零点。

变式1：函数$f\left(x\right)=3^x-x^2$ 在区间$\left(-\text{1},\text{0}\right)$ 上存在零点吗？

设计意图：对上面环节中所学习的零点存在定理的应用进行巩固，体会用零点存在定理解决复杂函数的零点问题。

例2：判断函数$f\left(x\right)=x^{\text{2}}-2x-3$ 在区间$(\text{1},\text{3})$ 上是否存在零点。

变式2：判断函数$f\left(x\right)=x^{\text{2}}-2x-3$ 在区间$\left(-\text{2},\text{3}\right)$ 上是否存在零点。

变式3：若$a<b<c$ ，则函数$f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)$ 的两个零点分别位于哪个区间？

$\text{A}.\left(a,b\right)和\left(b,c\right)内$ ；$\text{B}.\left(-\infty ,a\right)和\left(a,b\right)内$ ；$\text{C}.\left(b,c\right)和\left(c,+\infty \right)内$ ；$\text{D}.\left(-\infty ,a\right)和\left(c,+\infty \right)内$

设计意图：通过相互联系的两道题，让学生从比较的角度去感受零点存在定理的“存在”性，并能够体会到零点存在定理的逆命题是不一定成立的，让学生从多个不同的角度去理解会更加深刻。学生能够在新的或是相似的背景中不断运用、解释和验证问题，把容易出现错误的情况及时呈现并纠正，这本身就是一个新概念不断获得深入发展、不断内化的过程，是学生的思维不断进阶的过程。

4.5. 评价——多元真实评价，实现科学育人

评价环节并非一个孤立的环节，也并非5E教学模式的最后阶段，它贯穿于整个教学过程。在这一环节，教师和学生都扮演着评价者的角色，评价的方式多种多样，教师不仅要对本节课的教学过程和效果进行评估，还要关注学生是否达到了学习目标，学生探究精神和创新能力的培养也是该环节需要重点关注的考核目标；同时，学生也要积极进行自评或互评。采用合理且多样的评价，如纸笔测验等正式评价或课堂中口头等非正式评价，都可以对学生的学习质量进行检验[5]。

例1：判断下列结论的正误。

(1) 函数$f\left(x\right)=\lg x$ 的零点是$\left(1,0\right)$ 。

(2) 图象连续的函数$f\left(x\right)\left(x\in D\right)$ 在区间$\left(a,b\right)\in D$ 内有零点，那么$f\left(a\right)f\left(b\right)<0$ 。

例2：通过以上的学习，你对解方程$x^5+x^2+2x-3=0$ 能够提出什么有价值的研究问题？

设计意图：学生通过本节课的学习，多少会对这个五次方程的求解有一定的想法，让他们分别谈出自己的想法，不同的想法反映出学生在本节课中所达到的不同思维层次。虽然本节课不能解决完学生提出的所有问题，但这些都是课堂留白的艺术，同时也是新的探究、新的学习起点。

例3：回顾本节课的内容，梳理自己的收获与体验，你学到了哪些知识或者是思想方法？下次概念课应该怎么做？

设计意图：课堂小结是学生对自己课堂表现评价的重要形式，也是教师把握学生学习目标是否达成的指标，学生能够清晰且有条理说出新概念、新思想以及新方法，恰恰也是学习目标达成度高的体现。

数学课堂的评价要多元化，不能仅仅局限于考试与作业，而是更加关注学生在一节课中的探究过程以及课堂参与度。在教学中，教师要不断引导学生提高自我监控、自我调整以及自我评价的能力，同时，也要注重同学之间的互评等方式都能够帮助学生更好地理解与掌握所学知识。

通过上述对5E教学模式各个环节的详细阐述及其在课堂教学中的应用实践，可清晰地看出，这一模式强调教师在课堂的引导作用以及学生在课堂中的主动探索，不仅能帮助学生加强对数学概念的深度理解，还能有效地帮助学生将学到的知识运用到实际问题解决中，从而提高学生知识迁移和应用的能力。此外，这一模式在实际教学中还有效培养了学生的探究能力和批判性思维，使其能更深刻地理解数学概念的本质，并在探究的过程中培养解决问题的能力。

5. 展望与不足

《普通高中数学课程标准(2017年版2020修订)》提出课程目标：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力[1]。“5E”教学模式实现课程理念下教与学的协调，高度遵循情境原则、主体性原则、探究性原则，突出以学生为主体，不断激发调动学生的积极性，有效指引学生沉浸式深度学习，并通过探究的方式来解决问题，把握知识的本质。因此，“5E”教学模式在落实课程标准方面能够起促进作用，推动数学核心素养的提升，使得数学育人得以落地生根。

5E教学模式在我国的研究多集中于理科教育中，如生物、物理、化学等学科，随着研究领域的逐渐深入拓展，数学、地理、英语等学科也都有涉及，但研究成果还较少[6]。将5E教学模式应用于中学数学教学，不仅能为中学数学教学实践提供理论方法指导，还能够为教育改革提供一定的借鉴思路。然而这些工作还需要广大研究者在前人的基础上继续不断探索，以完善我国数学教育模式。