1. 引言
高中数学概念具有高度的抽象性和严谨的逻辑性，不仅是数学理论的基础，还是解决数学问题、促进数学发展的关键。因此高中数学概念教学至关重要[1]。数学文化是一个广泛而深入的概念，包括“数学史”，主要介绍数学家的生平以及数学概念的历史与背景；“数学与生活”，是指涉及个人、学校、公共生活、社会经济等方面的数学知识；“数学与科技”是指将数学运用到科学技术领域，该领域需涉及相关数学概念；“数学与人文艺术”，主要包括文学、历史、美术作品等[2]。数学文化作为人类文化的重要组成部分，一方面将思想、文化和数学紧密结合起来，深刻揭示了数学和文化之间的紧密联系，为我们更好地理解和探索数学的本质提供一个全新的视角；另一方面，有助于培养学生的思维能力、创新能力和数学理解能力。《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《新课标》)强调在数学教学中的渗透和融合数学文化，不仅有利于传播数学文化的价值和意义，而且也是提升数学素养的重要途径[3]。因此在高中数学概念教学中融入数学文化是未来教学的必然趋势。在日常的高中数学概念教学中，教师教学方法单一，多采用传统教学方法，教师单方面讲解，学生被动接受，缺乏主动性和探究性，学生学习概念的兴趣薄弱，导致对概念理解不够深刻，无法灵活应用概念解决数学问题，不利于数学学科核心素养的培养。而在概念教学中融入数学文化可以提高数学文字的艺术性，使抽象的数学知识变得生动形象，从而调动学生学习概念的兴趣和积极性，加强概念理解，促进数学学科核心素养的培养[4]。APOS理论强调学生主动构建概念，遵循学生的认知规律，经过操作、过程、对象和图式四个阶段的心理建构过程抽象出完整的数学概念[5]，能够有效的发挥学生的主动性，为更好地渗透数学文化提供有效的途径。因此，本文将借助APOS这一概念教学的经典理论指导，并结合具体教学现状，从该理论的四个阶段入手(图1)，分别给出将数学文化融入到概念教学中去的教学策略。
Figure 1. The process of integrating mathematical culture into APOS theory in four stages
图1. 数学文化融入APOS理论四个阶段的过程
2. 操作阶段：明确教学目标，创设文化情境，引入数学概念
操作阶段主要是使学生从现实生活中抽象出数学模型、贯彻数学现实思想，帮助学生建立需要加工的数学对象的阶段[6]。传统的概念教学比较注重机械记忆、反复训练，而APOS理论强调引导学生主动收集和整理信息，在这个过程中不仅获取概念，而且提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。因此，在教学过程中首先要结合课程标准和具体学情提出教学目标，明确告知学生哪些知识是需要掌握的。然后利用数学文化创设相关的问题情境，通过设置生活中与学生密切相关的数学问题引发学生思考并探究其中蕴含的数学概念，达到引入数学概念的目的，同时强化学生对此概念所涉及的数学思想和方法。在这一阶段，教师在撰写教学设计时要注意体现数学概念的本质，要结合数学课程标准和学生的学习情况、心理特点，创设融入数学文化的问题情境，激发学生的学习兴趣、引导学生积极主动思考探究其中蕴含的数学概念，进而引入本节数学概念。
以“正弦定理”一课为例，针对本节课的教学，教师首先要明晰课程目标、了解学生具体学情，为制定相应的教学目标奠定基础。通过对教材分析发现，本节课具有承前启后的作用，在此之前初中学习了解直角三角形和高中三角函数、三角恒等变形，学习完本节之后学生将学习斜三角形的边角关系。通过对学生分析发现，这一年龄阶段的学生已经具备较强的观察和分析能力，但是缺乏建立知识间联系，并加以理解和应用的能力，因此需要在课堂中设置悬念、提出质疑、启发引导，帮助学生创新思维，更好地分析解决问题。其次教师需要创设与数学文化有关的问题情境，引入本节概念，这里可以创设中国航天的故事情境，通过多媒体向学生展示2022年6月5日上午神舟14号载人飞船在酒泉圆满发射成功的视频画面，进而提出问题：“月亮距离我们到底有多远？”接着向学生介绍法国天文学家拉卡伊测出地球和月球的距离为385,000千米的故事，随后提出问题：“他们是怎么测出两者之间距离的呢？如何将实际问题转化为数学模型？”在教师的引导下，学生通过合作交流发现可以在月球上取一点为点
，在地球上取两个点分别为点
和点
，利用测量仪器可以测量出
、
的大小以及
的边长，由此将实际问题转化为数学问题：已知三角形的两个角和一条边，求另外两条边？
此阶段首先通过分析课程标准和学生具体情况制订教学目标。接着借助视频画面从“科技与生活”的实际问题入手，不仅凸显时代气息，而且激发学生的学习热情、增强学生的爱国情感。然后提出与学生生活实际相关的问题引发学生思考和探究，在探究的过程中通过“数学史”的人物故事，一方面渗透数学文化，使课堂充满趣味性，调动学生学习积极性；另一方面引导学生将实际问题转化为数学模型，培养学生运用数学思维解决现实问题的习惯和能力。
3. 过程阶段：优化教学展示，建立知识联系，探究数学概念
过程阶段主要是在学生原有知识经验的基础之上抽象归纳出数学概念及其本质的阶段。高中数学概念具有抽象难懂的特点，与学生实际生活有一定的距离。APOS理论指出，教师要根据学生已有的知识经验，通过自主探究等一系列活动完成对新知识经验的同化[7]。因此，针对抽象难懂的数学概念，教师要加强数学概念与现实生活的联系，将抽象的知识转化为形象的现实问题，从学生已有的知识经验出发，结合学生当前的认知结构和心理特点，关注学生兴趣，设计出既具有引导性又符合学生认知发展的问题，引导学生在自主研究中建立起新旧概念之间的联系，形成自身概念知识体系。除此之外，教师也要充分利用现代信息技术，将其与课堂教学充分融合起来。利用多媒体将抽象难懂的数学概念通过数学文化转变成学生易于接受和理解的形象的数学知识，激发学生学习数学概念的兴趣，引导学生在互动探究中体验富有情境性的数学课堂，促进并加强学生对数学概念的理解和吸收。
以“导数的概念”一课为例，在教学过程中，教师给出两个数学与日常生活相关的情景，情景1：观看一段测速仪测量汽车的瞬时速度的视频，引起学生思考：如何在这个瞬间准确测量出汽车速度？情境2：多媒体展示2021年第三十二届夏季奥林匹克运动会上全红婵跳水夺冠的视频，提问如何描述运动员运动过程中速度的快慢？并追问如何求运动员在某段时间的平均速度？通过这两个情境，教师一方面讲解激光测速仪的原理，并向学生宣传奥运精神；另一方面引导学生对问题进行思考探究，并逐步探究出随着缩短时间段长度平均速度逐渐接近瞬时速度，这个过程可以利用信息技术动态展示。
此阶段，从“数学与生活”的实际问题入手，借助现代信息技术，让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，明白什么是瞬时速度。同时让学生体会到研究同一类问题的思想方法是相同的，感悟从特殊到一般的数学思想。
4. 对象阶段：挖掘文化资源，揭示概念本质，概括数学概念
对象阶段主要是对数学概念的完整概括、符号化及其性质的探索阶段。实际上，学生对数学概念的概括过程中常常会混淆数学概念与符号之间的对应关系，导致学生对数学概念的概括不完整甚至有误。而数学概念的名称及其符号其实是在历史发展过程中逐渐形成的，或与历史事件有关，或与一些数学家有着密切的联系[8]。因此可以通过引入与数学概念相关的故事向学生再现当时概念的发生及发展历程，追根溯源，揭示本质，使学生充分感受数学概念的来源，体会数学概念的本质，掌握其中蕴含的数学思想和方法，进而逐步获取概念。
以“贝叶斯公式”为例，在教学过程中教师介绍贝叶斯公式的概念及公式时，可以向学生介绍该公式命名的由来，即是由英国著名数学家托马斯·贝叶斯的名字命名的，并按照时间顺序告诉学生贝叶斯的发展历程。
此阶段，学生通过“数学史”中贝叶斯公式的由来，增强数学文化素养，提升文化自信。通过介绍相关的历史人物和事件，让学生更加深刻的了解、理解、掌握贝叶斯公式。通过对贝叶斯发展历程的梳理，一方面让学生体会到每个数学概念的来之不易，感受数学精神；另一方面渗透数学文化，增强学生学习数学概念的兴趣。
5. 图式阶段：设置课堂练习，融入数学文化，巩固数学概念
图式阶段主要是对概念及其性质做进一步理解，进行巩固、应用的阶段。而课堂练习是这一阶段的关键环节，不仅可以帮助学生巩固前面学习的数学概念，还可以帮助学生培养良好的数学思维、提升实践动手能力[9]。因此设置对应的、高质量的课堂练习能充分了解学生对一节课的理解程度。课堂练习的设置要以数学文化为背景，具有典型性和趣味性，能够使学生通过对习题的解答而更深入理解概念。除此之外，课堂练习的数量要适中，过少则不利于学生从解答过程中归纳总结出数学概念的本质特征，过多则浪费课堂时间、影响课堂效率。同时也要保证习题具有阶梯性，照顾到不同层次水平的学生。
以“导数的概念”为例，在教学过程中，教师需要通过设置练习题来了解学生的学习情况以及帮助学生巩固应用本节所学知识。这里，教师利用多媒体软件出示两道课堂练习题，第一题题目为：“设
，求f′(1)”教师引导学生自主思考并作答，然后带领学生梳理本题解题步骤，接着总结求函数y = f(x)在x = x0处导数的步骤。经过第一题的训练，学生已经基本掌握如何对函数进行求导，在此基础上，增加题目难度，给出第二题与学生实际生活有关的题目：“水滴滴在水面上形成同心圆，半径以3 m/s的速度向外扩大，求从水滴接触水面后2 s末时圆面积的变化速率为多少？”教师引导学生讨论交流并作答，最后总结思路。
此阶段，由直观的数学知识题目进阶到“数学与人文艺术”中水滴同心圆的题目，一方面，保证题目数量适中、题目难度呈阶梯型；另一方面渗透数学文化，培养学生的审美观，锻炼思维灵活性，提升创新性思维能力。
6. 总结
随着数学课程改革的不断推进，数学文化成为数学教学中十分重要的内容，如何帮助教师将数学文化更好地渗透到数学概念教学中去，成为亟待解决的问题。为此本文在APOS这一教育学理论的指导下，结合具体教学现状，从APOS理论的四个阶段出发，分别给出将数学文化融入概念教学的教学策略。教师需要在操作阶段，根据课程标准和学生具体学情，明确教学目标，利用数学文化，创设相关问题情境，初步渗透数学文化，激发学生学习兴趣，进而引入数学概念[10]；在过程阶段，将数学知识与实际生活建立联系，在学生已有知识经验基础之上，借助现代信息技术，帮助学生挖掘数学概念，建立新旧概念间的联系，形成自身概念知识框架；在对象阶段，借助数学文化，帮助学生了解掌握概念来源，进而概括数学概念；在图式阶段，合理设置课堂练习，灵活运用数学文化，帮助学生巩固数学概念。使学生在充分融入数学文化的课堂氛围中，不断提升学习概念的兴趣和自信心，逐步形成自身数学概念框架，提升数学学科核心素养。