HPM视角下基于认知结构学习理论的教学设计——以“数系的扩充与复数的概念”为例

Teaching Design Based on Cognitive Structure Learning Theory from the Perspective of HPM—Taking "Expansion of Number Systems and the Concept of Complex Numbers" as an Example

摘要: 数系的扩充与人类历史进程紧密相连，每次突破都是原有认知的颠覆。本文以“数系的扩充与复数的概念”为例，从HPM视角出发，结合认知结构学习理论进行教学设计。通过融入数学历史发展脉络，揭示数系扩充的逻辑必然性，引导学生主动构建复数概念的认知框架。教学采用情境模拟、合作探究等方法，激发学生兴趣，促进知识内化。结果显示，学生在理解复数概念的同时，深化了对数学发展进程的认识，有效提升了数学思维能力。在此基础上，提出三点建议：注重学生认知发展，完善知识网络结构；数学史要抛弃表面化，深入融合教学内容；立足数学教育实际，加强案例实证研究。

Abstract: The expansion of the number system is closely related to the process of human history, and every breakthrough is a subversion of existing cognition. This article takes the expansion of number systems and the concept of complex numbers as an example, starting from the HPM perspective and combining cognitive structure learning theory for instructional design. By integrating the historical development of mathematics, revealing the logical inevitability of the expansion of the number system, and guiding students to actively construct a cognitive framework for the concept of complex numbers. Teaching adopts methods such as situational simulation and collaborative exploration to stimulate students’ interest and promote knowledge internalization. The results showed that while students understood the concept of complex numbers, they deepened their understanding of the development process of mathematics and effectively improved their mathematical thinking ability. On this basis, three suggestions are proposed: focus on students’ cognitive development and improve the knowledge network structure; The history of mathematics should abandon superficiality and deeply integrate teaching content; Based on the reality of mathematics education, strengthen case empirical research.

1. 引言

布鲁纳的认知结构学习理论从三个方面来诠释知识的习得。学习方式上倡导发现学习，个体需要具备自发探究的意向，根据现有材料或者条件补充，主动发现知识。学习过程上通过类目化活动处理信息，将影响因素分门别类地存放在大脑中[1]。按照特定的需求划分层次，编排重组。学习结果上形成认知结构体系。在原有图式基础上，经过同化添加外部环境因素刺激，丰富认知结构的主题。通过顺应转换个体思维知觉来适应内容的发展，使内容节点纵向延伸，形成更高层次结构。HPM的数学教学方法讲究重构历史、寻觅自然，是一种强调学生主体地位的发生教学法[2]，与认知结构学习理论的学习方式相通。

数集以数字作为本源标志，依托符号进行改造，生成具有形象表征的数学语言，成为数学体系的量化支撑。在高中阶段，进一步将数集范围扩大，引进复数集。《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》将复数分配至必修课程[3]，设置为主题三几何与代数中的一章。主要内容有复数的概念、复数的四则运算、复数的三角表示等，如图1所示，是高中数学必学内容与高考必考知识点。

复数的常见课例[4]-[6]往往都基于数系的发展史作为引入，从HPM研究来看，数学史的表现层次不高，多以点缀式或附加式的形态呈现。无法形成有效的知识关联，甚至造成学生认知模糊，难以构建牢固的数系结构。考虑到以上难关，本文选定数系的扩充与复数的概念作为研究课题，尝试从HPM视角下基于认知结构学习理论探究数学教学过程，挖掘教学规律，多角度、深层次训练学生的数字敏感意识和逻辑推理能力，促进学生构建完善的数系认知结构。以史为镜，古为今用，展示知识的和谐之美，领悟数学文化底蕴。借此给数学史应用课例提供参考，促进数学史教育健康发展。

Figure 1. Content arrangement of complex numbers chapter in high school mathematics

图1. 高中数学复数章节内容安排

2. HPM教学中认知结构的生成

一套完整的HPM教学实践通常经过以下程序“选课与筹备→研讨与策划→践行与测评→整合与缀文”，详细流程如图2所示。整个阶段需要考虑到数学史与数学课堂的融合情况，在设计时可将历史适当的剪裁补缀，达到历史、逻辑、认知三者的有机统一[7]。

Figure 2. HPM teaching practice process

图2. HPM教学实践过程

进入21世纪以来，现代数学的发展呈现出爆炸式增长。复数的外在表现为工业领域的应用，例如信号频域分析和电磁波，可以达到转变方向的效果，增加音频传递速率。内在联系为数的系统结构存在缺陷，原有规模会抑制学科发展。一旦出现合适的契机，就会进行数域范围的补充。例如想要获取负数的算术平方根，当前的数学知识体系不能完成这个任务。这时，就需要引进新数，解决问题的同时进一步完善数系架构。维特罗克认为，学生学习的实质是主动地形成认知结构[8]，在这个过程中教师需要密切关注学生心理倾向的表现和学习动机的维持。在教学实施中，合理安排古书史料，辅助加深概念的理解，关联各知识节点的信息，借以解决出现的问题，取得胜任内驱力。最终，把群体的看法通过大脑的调控整合，将数的发展史凝练成数系结构的主骨架，形成互惠内驱力。

3. 案例正文

3.1. 教学内容分析

本节内容位于高中数学人教A版(2019版)必修二第七章第一节。在小学、初中数系架构的基础上，由于一元二次方程${\text{x}}^{\text{2}}=-1$ 在实数范围内无解，因此增加新数来解决这个问题，将整个数系扩充到复数层次，详细知识网络如图3所示。讲解顺序安排在平面向量之后，给复数的几何意义增添理论性，过渡自然流畅，同时为后续复数的运算和三角表示奠定基础，拉开复数学习的序幕。

Figure 3. Development of mathematics system structure in primary, middle, and high schools

图3. 小学、初中、高中数系结构发展

在复数之前，实数广泛应用于数学中的测量或计算方面，已经达到成熟稳固，是学习者可以真实地体验感受到的。复数作为一个新兴概念，是在全新路线上基于问题解决打造的纯数理论。学生通过义务教育阶段已经经历了一轮数系扩充的过程，因此，对于新数的概念学习具有初步认知。本节课创设问题情景，让学生了解数的发展史，领悟数系的扩充过程。联系生活实际，体会复数的应用价值，感悟数学文化的魅力。

3.2. 学情分析

首先是学生已有的经验，为新数的引入提供条件。从知识上看，学生对于数系的扩充过程有大概的认识，研究的方向便于确定；从方法上看，采用类比的思想搭建顶层结构，知识脉络更加清晰；从态度上看，未知的困难能勾起敏感神经，引发知识碰撞的火花，并且这个阶段的学生充满质疑，勇于挑战。其次是课前预习存在的难点，对于新数的体验感不够强烈。虚数i的出现会导致学生的认知失调，一时无法适应。无论是现实生活还是已有数学结构都没有实际东西来表示虚数，会产生一定的距离感。受到学习目标、认识水平、身心年龄等因素的制约，数系发展的原因与必要性理解不够彻底，扩充的过程挖掘得不够详细，数学理性思维渗透不够饱满。因此，会给高中阶段的学习带来阻碍，让学生再次感受到相似的学习困难。

3.3. 教学目标

1) 通过回顾数系的扩充过程，了解数的发展史，觉察复数的重要性，经过类比的方法对实数系进行扩充，提高学生观察思考与总结归纳的能力。

2) 在问题情境中把握数系的扩充，理解复数的基本概念，能准确说出复数的实部虚部，知晓并掌握复数相等的充要条件、复数集与实数集的关系、复数的分类，并能用语言或图形表达他们之间的关系。

3) 经过对复数学习思想方法的梳理，进一步体会数学思想的应用，浸透数学文化，提升学生的数学情感交流，感受数学的严谨性，培养学生自主探究意识及知识建构能力。

3.4. 教学设计

(一) 创设情境，设疑激趣

【活动1】

师：同学们，老师想问一下大家了解“数”的发展史吗？现在老师根据座位将大家分成4个小组，探讨一下应该如何理解“数”的发展呢？待会儿老师会播放一段视频，请同学们带着问题去看视频。

学生认真观看视频，感受数的发展历程，并通过小组讨论交流，将结果进行汇总，选好代表进行发言。

【设计意图】 以视频的形式介绍“数”的发展史，论从史出，以史明理。了解“数”的来源背景，多角度调动学生情绪，激发学生学习兴趣。并且提前抛出开放性问题，给足学生发现学习的准备。通过小组讨论的形式，发挥学生主观能动性，彰显学生的主体地位，让学生初步了解到数系扩充的历史过程。

(二) 史海寻踪，概念生成

【活动2】

师生回忆：首先，由于计数的需要，祖先们需要统计牛、羊等数目，出现了自然数。然后，在买卖交易中出现了负债现象，为了表示相反意义的量，孕育了负数。并且与原来的自然数相融合，形成了整数。后来，为了测量、分配中的等分，比如视频中的3个人分一块披萨，就出现了分数。与原来的整数合并，构成了有理数。最后，因为度量的需要，例如毕达哥拉斯通过方块地板的面积发现了勾股定理，两直角边的长均为1个单位长度，则该直角三角形斜边的长为$\sqrt{2}$ 个单位长度，就此产生了无理数，与原来的有理数联合，形成了目前最大的数——实数。课件展示数系历史发展图，如图4所示。

【设计意图】 各个数集信息作为数系的核心，单靠学生的理解，无法适宜的搭配对应史料，很难形成完善的知识骨架。会使学生掌握不牢，快速遗忘。柏拉图认为感受现实中的事物只是假象，真相隐含在理念世界，需要依托“回忆”而存在。教师带领大家一起回忆总结，罗列数的发展框架，加深领悟数系的扩充。

【活动3】

师：现在出现了一个新问题想请大家帮忙解决，请问一元二次方程${\text{x}}^{\text{2}}=-1$ 有解吗？如果有是多少？如果认为无解请举手。

Figure 4. Number expansion

图4. 数集扩充

全班同学齐刷刷的举起了手，基本都表示同意无解。从认知角度看，大家都觉得该问题具有常识性，是毋庸置疑的。也从侧面反映出学生思维的凝固性，畏惧权威，对已经习得的知识表示顺从，不敢怀疑。

师：真的找不到解吗？(教师在“真”字加重语调，故意露出微笑，观察学生反应)

大部分学生依旧在举手，也有个别学生放下了。一方面可能是因为教师的语气和面部微表情，对已知结论产生质疑。另一方面，部分学生还在猜想是否真的有新的方法能使得等式成立。在此情况下，教师选择听取这部分学生的想法，邀请学生给出自己的看法。

【设计意图】 超越式教学指出超越是人的本性，是不断成长的动力[9]。鼓励师生打破常规，重构知识架构，不仅达到学科知识的超越，也实现价值观的超越。在学生的固定念头中，${\text{x}}^{\text{2}}=-1$ 是不存在解的情况。教师需要做的是充分利用语言、肢体动作等行为，给予学生暗示。打开思维瓶颈，唤醒自身的超越意识，站在更高的角度去看待问题。

【活动4】

师：伟大的数学家卡丹曾在《大术》中发问：把数字10分成两块，让这两块相乘的积为40，由此它得到了$5+\sqrt{-15}$ 和$5-\sqrt{-15}$ ，这里的$\sqrt{-15}$ 显然超越了原有认知，但他确实使用了这样的“数”来解决了问题。

学生对该问题的解答产生兴趣，并且怀疑结果的真假，开始利用实数的计算法则来验证此问题。在忽略负数不能开方的影响下，借助平方差公式得到乘积的确为40。

师：在卡丹的影响下，塔尔塔利亚经过多次试验，总结出一元三次方程${\text{x}}^3+\text{mx}+\text{n}=0$ ，其中一个解的求根公式$\text{x}=\sqrt[3]{\left(-\frac{\text{n}}{2}\right)+\sqrt{{\left(\frac{\text{n}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\text{m}}{3}\right)}^3}}-\sqrt[3]{\left(\frac{\text{n}}{2}\right)+\sqrt{{\left(\frac{\text{n}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\text{m}}{3}\right)}^3}}$ ，据此公式，大家可以解一下方程${\text{x}}^3-6\text{x}+4=0$ 的根。

同学们用方程中的值表示m，n，并将其代入公式中，得到解为$\text{x}=\sqrt[3]{\left(-2\right)+\sqrt{\left(-4\right)}}-\sqrt[3]{2+\sqrt{\left(-4\right)}}$ 。因为出现了$\sqrt{\left(-4\right)}$ 这样的数，由此，大家都认为该方程无解。此时，有学生提出异议。

生预设：老师我利用试根法，将2代入方程中，发现是符合的。所以方程是有解的，并且其中一个解为$\text{x}=2$ 。

教师利用希沃黑板菜单栏中的学科工具绘制函数图象，输入表达式$\text{y}={\text{x}}^3-6\text{x}+4$ ，并且显示出函数与坐标轴的交点，如图5所示。函数与x轴的交点即为所对应方程的解，从图5中可以看出有3个交点，则该方程有3个解，其中一个解很明显就是刚才学生所回答的$\text{x}=2$ 。大部分学生用求根公式算出来的解，因为$\sqrt{\left(-4\right)}$ 的缘由，理论上是不存在的。但是，从图中发现，还有两个解是几何中能真切表示的。因此，$\text{x}=\sqrt[3]{\left(-2\right)+\sqrt{\left(-4\right)}}-\sqrt[3]{2+\sqrt{\left(-4\right)}}$ 就是这两个中某一点的横坐标，是有意义的。那么，经过实验验证，矫揉造作的$\sqrt{\left(-4\right)}$ 是可以在数学中立足的，负数也是有可能开平方的。

Figure 5. $\text{y}={\text{x}}^3-6\text{x}+4$ Number set expansion function image zero point

图5. $\text{y}={\text{x}}^3-6\text{x}+4$ 数集扩充函数图像零点

【设计意图】 学生开始产生对负数可以开方的新想法，逐步打开了研究思路。对于方程的无解情况逐渐出现动摇，产生深挖问题的动力。借用HPM中的数学史顺应式融入教材的形式[10]，在教学课件中基于历史数学问题进行改造，变换为更贴近课堂教学的例习题。并且通过作图软件，学生可以形象直观地得到结论。使问题研究有了典型案例，奠定了理论基础。

(三) 探索深究，新知讲解

【活动5】

师：我们把形如$\text{a}+\text{bi}\left(\text{a}\in \text{R},\text{b}\in \text{R}\right)$ )的数叫做复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用大写字母C表示。由此，目前已知的最大数集不再是实数集，而是复数集了。

这里正式出现了虚数的概念，老师给出虚数的历史由来。“虚数”一词是由数学家笛卡尔于17世纪提出，受制于时代的约束与观念的浅薄。虽然开始在数学中使用，但仍被认为是不存在的，是虚拟的数。取其英文imaginary number中的首字母小写“i”作为虚数单位，类似于实数单位1。

学生对$\text{a},\text{b}$ 的地位与作用更加好奇，通过教师的讲授，更加具体的明晰复数这一概念。紧接着教师继续拓展概念。当$\text{b}=0$ 时，叫实数；$\text{b}\ne 0$ 时，叫虚数。其中虚数又可以进行细分，当$\text{a}=0$ 时，称纯虚数；$\text{a}\ne 0$ 时，称非纯虚数，详细结构如图6所示。

【设计意图】 从数学概念的二重性理解复数的代数形式$\text{z}=\text{a}+\text{bi}$ ，由个别的实数和虚数的书写格式，归纳出复数的一般写法，进而得到复数集的描述式样，体现了个别到一般。结合教材内容的编排和学生认知结构的建成，不断引出后续教学内容，加深记忆与理解。

(四) 实践应用，巩固新知

【活动6】

例1：已知复数$2\text{x}-1+\left(\text{y}+1\right)\text{i}=\text{x}-\text{y}+\left(-\text{x}-\text{y}\right)\text{i}$ ，其中$\text{x},\text{y}\in \text{R}$ ，$\text{i}$ 为虚数单位，求实数的$\text{x},\text{y}$ 值。

Figure 6. Complex classification

图6. 复数分类

师生总结：如何根据复数相等的充要条件求值？

① 等号两侧都写成复数的代数形式；② 根据两个复数相等的充要条件列出方程或者方程组；③ 解方程或方程组，得出答案。

【设计意图】 设置综合题目对学生所学所有知识进行检验与巩固提高，兼顾到本节课学到的全部知识点。表现了“从无到有”和“从有到优”的方法[11]，对学生的数学运算、逻辑推理等数学能力提出较高要求，促进学生数学化能力的提高。

(五) 类比思考，自主探究

【活动7】

黑板给出拓展题，挪威的测绘家运用复数理论和三角学工具研究了有关测量问题，现已知$\text{z}=\text{sinA}+\left(\text{ksinA}+\text{cosA}-1\right)\text{i}$ ，A为ΔABC的一个内角，若不论A为何值，$\text{z}$ 总是虚数，求实数k的取值范围.

【设计意图】 将作业以思考题的形式给出，设计数学中的“异类作业”，让学生巩固新知，初步培养学生的应用意识。加强学生对数学的兴趣以及对数学文化与数学价值的感悟。通过复数的实际应用，促进学生良好学习习惯的养成，进而挖掘学生的创新思维与创造能力。

4. 结束语

布鲁纳的认知结构学习理论表明，概念的习得不是信息、数据的简单堆砌，往往是各种知识之间相互交错，彼此关联，构建动态知识网络结构。本文提供了一个高中数学史融入教学的案例，介绍了数系扩充的历史来源，揭示了数集进化的原始动力，深度剖析了复数的教学流程。通过该案例的研究，得到关于数学史概念课三方面的小小启示。

4.1. 注重学生认知发展，完善知识网络结构

教学内容的设置要符合学生的学情，本着问题发生的逻辑顺序，设置系统的解决方法，环环相扣[12]。学生在新知感悟前昔，已有的认知经验会使得对虚数i的理解受挫，始终在旧体系边缘徘徊，无法找到新结构的入口。接触新知之后，知识体系比较单薄，没有形成有效的知识串。教师需要给出适当的引导，让学生打破认知，把握知识生成的历史轨迹与规律方法。也不能施加太多干预，给学生充足的时间自我思考，培养学生自主探究、批判思考的能力，对大脑中的知识进行深度加工，完善动态认知结构。

4.2. 数学史要抛弃表面化，深入融合教学内容

历史的重现是为了展示概念孕育的过程，为知识结构的搭建提供理论台阶，同时，可以从中体会数学思想，发展核心素养。因此，在实际教学中不能为了得到结果就单纯地将史料文献平铺直叙的原样展示出来，应该结合时下教学背景与具体的教学内容和需要解决的问题，对数学史重新加工，找到合适的契机推送给学生。此外，很多老师只是将数学史当作导入的小旗帜，一笔带过，没有发挥出它大船帆的作用。数学史应该贯穿教学始终，是数学文化课堂的灵魂。为学生搭起了连通古今的桥梁，在知识海洋中乘风破浪，领悟先辈们探索数学的精神情感，形成良好德育典范。

4.3. 立足数学教育实际，加强案例实证研究

教与学具有规律性，大的方向原则不能偏航。教师在案例研究和教学践行过程中要注意理论联系实际，把握质性研究与量化考查的和谐统一，做到教学有法。每位一线教育者都有自己独特的教学模式，教师在教学前期应该充分了解学生的知识能力范围，从实际出发，因材施教。针对性的配置不同层次的学习任务，提升学生学习的积极性。找到更好的方法来开展教学，扬长避短，做到教无定法，贵在得法，达到案例教学的精益求精。

基金项目

湖北省高等教育学会教育科研2023重点课题——新高考背景下高中与大学数学教学的有效衔接研究(2023XA043)；黄冈市教育科学规划2022年课题——基于高考评价体系的新高考数学命题研究(2022GB38)；2023年研究生工作站课题——SOLO分类理论下的高中生数据分析能力评价和优化策略研究(5032023022)。