一类二人微分博弈Nash均衡的本质连通区

Essential Component of Nash Equilibria for a Class of Two-Person Differential Games

摘要: 应用集值分析理论，证明了控制系统关于右端函数发生扰动时，一类二人微分博弈问题Nash均衡集存在极小本质集和本质连通区。

Abstract: By employing the set-valued analysis theory, we show that the existence of minimal essential set and essential component for Nash equilibrium point set of against the perturbation of the right-hand side function of control system for a class of two-person differential games.

1. 引言

博弈论是自1944年 [1] John Von Neumann和Oskar Morgenstern合著出版《Theory of Games and Economic Behavior》一书而宣告诞生，该书主要介绍矩阵博弈、零和博弈、及合作博弈，同样他们的工作孕育着微分博弈的思想。微分博弈以R. Isaacs于1965年 [2] 的专著《Differential Games》为其主要标志，是指博弈参与人在进行博弈活动时，参与人从各自的控制集中选择控制策略，策略间的相互作用要通过的状态由微分方程(微分系统或状态方程)来描述的博弈。1971年 [3]，A. Friedman在起其专著《Differential Games》中，应用离散近似序列的方法建立了微分博弈的值与鞍点的存在性，奠定了微分博弈的数学理论。

国内关于微分博弈的最早专著是1987年 [4]，由科学出版社出版，东北大学张嗣瀛院士编著的《微分对策》。2000年 [5]，由国防科技大学李登峰教授编著，国防工业出版社出版的《微分对策及其应用》，该专著是国内第一部从数学角度详细、系统介绍微分对策的概念、理论、方法及其应用的专著。

此外，2015年 [6]，J. M. Yong编著的《Differential Games (A concise introduction)》，对近年来关于二人零和微分博弈、无界控制微分博弈、追逃微分博弈、线性二次微分博弈和切换系统微分博弈等的研究进行了详细阐述，并撰写了大量的研究评注以及列举了大量参考文献。

无论是一般非合作博弈，合作博弈，还是微分博弈的研究，其解的存在性和稳定性都是研究热点问题，也是基础问题。同时，我们也深知，相对存在性的研究，其稳定性研究更复杂、更本质。事实上，对一般博弈模型，我们不仅关心博弈均衡的存在性，因为对大多数博弈问题，Nash均衡是存在的，但通常不唯一，甚至许多博弈模型存在无穷多均衡解，这就给博弈参与人带来选择困难，甚有可能博弈的结果是非博弈均衡点。此外，当我们研究问题的环境或参数发生微小改变时，改变后的博弈问题是否还存在博弈均衡点？若存在，对其均衡点的影响是大还是小？这些就是稳定性问题。

事实上，关于稳定性研究，有许多专家学者已经做了大量富有成效的研究工作。1950年 [7]，Fort为研究连续映射不动点的稳定性，引入了本质不动点的概念。1962年 [8]，W. T. Wu和J. H. Jiang对有限N人非合作博弈首先引入了本质Nash平衡点的概念。1963年 [9]，J. H. Jiang进一步对有限N人非合作博弈首先引入了Nash平衡点集本质连通区的概念，并证明了对任何有限N人非合作博弈，其Nash均衡集至少存在一个本质连通区。1986年 [10]，Kohlberg和Mertens研究了均衡策略稳定性，他们应用代数几何的方法证明了每个有限博弈的Nash平衡点集由有限个连通区组成，而且其中至少有一个是本质的。之后，本质稳定性的概念被广泛用于最优化问题、不动点问题、向量优化问题、无限博弈Nash均衡问题等(见文献 [11] 及其相应的引用文献)。J. Yu和S. W. Xiang [12]，以及J. Yu和H. Yang [13]，应用集值分析方法，先后在1999年和2004年，分别证明了Nash均衡点集的本质连通区，以及集值映射均衡点集的本质连通区。

特别地，在2020年 [14]，J. Yu和D. T. Peng讨论了非合作微分博弈平衡点集的通有稳定性，他们证明了微分博弈均衡点集形成一个稠密剩余集，并且任何一个微分博弈都可以通过一个稳定博弈任意逼近，也就是在Baire分类意义下，大多数微分博弈是通有稳定的。实质上，早在2014年 [15]，J. Yu等人，也是基于集值映射理论，研究了经典最优控制关于状态方程右端函数扰动时的通有稳定性。受到 [15] 的启发，2015年 [16]、 [17]，H. Y. Deng和W. Wei已先后基于集值映射理论，应用非线性方法，状态方程关于右端函数扰动时，分别研究了具有一阶等度连续的非线性最优控制的通有稳定性，以及半线性发展方程支配的目标泛函为二次型时，最优控制问题的通有稳定性。

受到以上文献的启发，应用文献 [18] 的存在性结果，我们构造一个完备度量空间，应用集值分析的方法，证明了一类微分博弈关于控制系统关于右端函数发生扰动时，对应的Nash均衡点集至少存在一个极小本质集，每个极小本质集都是连通的，以及本质连通区的存在性。

2. 模型和预备知识

我们考虑如下的控制系统支配的二人微分博弈模型。设 $R^p$， $R^q$ 是实Euclidean空间， $U\subseteq R^p$ 和 $V\subseteq R^q$ 是度量空间，对任意的 $0\le s<t\le 1$,

$\begin{array}{l}{U}^{*}\left[s,t\right]=\left\{u(\cdot )|u(\cdot ):\left[s,t\right]\to U连续\right\}，\\ V^{*}\left[s,t\right]=\left\{v(\cdot )|v(\cdot ):\left[s,t\right]\to V连续\right\}。\end{array}$

函数 $u(\cdot )\in U^{*}\left[s,t\right]$ 和 $v(\cdot )\in V^{*}\left[s,t\right]$ 分别叫做参与人1和2的控制过程，也即参与人1和2分别从控制选择集 $U$ 和 $V$ 中选择控制。考虑如下的状态方程：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=A\left(t\right)X\left(t\right)+B\left(t\right)u\left(t\right)+C\left(t\right)v\left(t\right),t\in \left[0,1\right]，\hfill \\ x\left(0\right)=x_0。\hfill \end{array}$ (2.1)

为了度量控制过程 $u(\cdot )$ 和 $v(\cdot )$ 的性能指标，我们引入如下的目标泛函：

$P_1\left(u(\cdot ),v(\cdot )\right)={\displaystyle {\int }_0^1{F}_1\left(t\right)u\left(t\right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^1{G}_1\left(t\right)v\left(t\right)\text{d}t}+H_1\left(x\right)$ (2.2)

$P_2\left(u(\cdot ),v(\cdot )\right)={\displaystyle {\int }_0^1{F}_2\left(t\right)u\left(t\right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^1{G}_2\left(t\right)v\left(t\right)\text{d}t}+H_2\left(x\right)$ (2.3)

我们定义如下的博弈问题。

博弈(DG)：对任意的 $\left(u(\cdot ),v(\cdot )\right)\in U^{*}\left[0,1\right]\times V^{*}\left[0,1\right]$，若存在 $\left(u^{*}(\cdot ),v^{*}(\cdot )\right)\in U^{*}\left[0,1\right]\times V^{*}\left[0,1\right]$，使得下式成立：

$\begin{array}{l}{P}_1\left(u^{*}(\cdot ),v^{*}(\cdot )\right)={\sup }_{u(\cdot )\in U^{*}\left[0,1\right]}{P}_1\left(u(\cdot ),v^{*}(\cdot )\right)，\\ P_2\left(u^{*}(\cdot ),v^{*}(\cdot )\right)={\sup }_{v(\cdot )\in V^{*}[0,1]}{P}_2\left(u^{*}(\cdot ),v(\cdot )\right)。\end{array}$

则称 $\left(u^{*}(\cdot ),v^{*}(\cdot )\right)$ 是Nash均衡点。

现在，我们引入如下假设。

[C1] 控制取值集 $U$， $V$ 分别是 $R^p$ 和 $R^q$ 中的紧凸集。

[C2] $A\left(t\right),B\left(t\right),C\left(t\right)$ 分别是定义在 $\left[0,1\right]$ 上连续的 $n\times n$， $n\times p$， $n\times q$ 维矩阵。

[C3] $F_1$ 、 $G_1$ 、 $F_2$ 和 $G_2$ 均是定义在 $\left[0,1\right]$ 上的连续函数。 $H_1$ 和 $H_2$ 则是定义在 $C\left[0,1\right]$ 上的连续线性函数。

1975年 [18]，T. Parthasarathy和T. E. Raghvan在以上假设条件下，证明了Nash均衡点的存在性结果。

引理2.1 [18] 假设[C1]~[C3]成立，给定初始对 $\left(0,x_0\right)$，则博弈(DG)存在Nash均衡点。

下面，为研究本质连通区的存在性，我们构造如下的问题空间。不妨设

$f\left(t,X\left(t\right),u\left(t\right),v\left(t\right)\right)=A\left(t\right)X\left(t\right)+B\left(t\right)u\left(t\right)+C\left(t\right)v\left(t\right)$。

和

$M=\left\{f|f满足条件\left[C2\right]\right\}$。

$\forall f、g\in M$，定义距离为：

$d\left(f,g\right)=\underset{\left(t,x,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times R^n\times U\times V}{\sup }\Vert f\left(t,x,u,v\right)-g\left(t,x,u,v\right)\Vert$。

则容易证明 $\left(M,d\right)$ 是一个完备度量空间。

定义2.2：设

$N(f)=\left\{\left(u^{*}(\cdot ),v^{*}(\cdot )\right)|\forall f\in M,\left(u^{*}(\cdot ),v^{*}(\cdot )\right)是微分博弈\left(\text{DG}\right)的\text{Nash}均衡点\right\}$。

则 $N:f\to N\left(f\right)$ 定义了一个 $M\to U\times V$ 集值映射，记为 $N:M\to 2^{U\times V}$。

为研究其解集的本质连通区，根据文献 [11]，我们引入如下必要的定义和引理。

定义2.3： $\forall f\in M$， $N\left(f\right)$ 是一个非空集合，对 $2^{U\times V}$ 中的任意开集 $G$， $G\supset N\left(f\right)\left(G\cap N\left(f\right)\ne \varnothing \right)$，若存在 $V$ 的任意开领域 $O\left(f\right)$，使得 $\forall g\in O\left(f\right)$，有 $O\supset N\left(f\right)\left(O\cap N\left(g\right)\ne \varnothing \right)$，称集值映射 $N$ 在 $f$ 上半连续(下半连续)。若集值映射 $N$ 在 $f$ 既上半连续，又下半连续，则称 $N$ 在 $f$ 连续。若 $\forall f\in M$，集值映射 $N$ 在 $f$ 上半连续(下半连续、连续)，则称 $N$ 在 $M$ 上半连续(下半连续、连续)。

定义2.4：若 $f\in M$， $N\left(f\right)$ 是一个非空紧集，且 $N$ 在 $f$ 上半连续，则称 $N$ 是一个上半连续紧映射(USCO)。

定义2.5：称 $\text{Graph}N\left(f\right)=\left\{\left(f,u,v\right)\in M\times U\times V|\left(u,v\right)\in N\left(f\right)\right\}$ 为 $N$ 的图像，若 $N$ 的图像 $\text{Graph}N\left(S\right)$ 是闭的，则称集值映射 $N$ 为闭映射。

引理2.4：设集值映射 $N:M\to 2^{U\times V}$ 是闭的，且 $U\times V$ 是紧集，则 $N$ 是一个上半连续映射。

下面，我们给出一个关于集值映射 $N$ 的结论。

定理2.1集值映射 $N:M\to 2^{U\times V}$ 是一个上半连续的紧映射(USCO)。

证明：因 $U$ 是紧集，而 $\forall f\in M$， $N\left(f\right)\subset U\times V$，所以再由引理2.1可知，我们只需证明集值映射 $S$ 的图像 $\text{Graph}\left(S\right)=\left\{\left(f,u,v\right)\in M\times U\times V:u\times v\in S\left(f\right)\right\}$ 为闭即可。即证明 $\forall f^n\in M,f^n\to f,\forall \left(u^n,v^n\right)\in S\left(f^n\right)$， $\left(u^n,v^n\right)\to \left(u^{*},v^{*}\right)$，则 $\left(u^{*},v^{*}\right)\in S\left(f\right)$。

因 $\left(u^n,v^n\right)\in S\left(f^n\right)$，所以 $\forall \left(u,v\right)\in U\times V$，我们得到： $P_1\left(u^n,v^n\right)\ge P_1\left(u^n,v\right)$， $P_2\left(u^n,v^n\right)\ge P_2\left(u,v^n\right)$。又因为 $u(\cdot )$ 和 $v(\cdot )$ 连续，并且积分区间为有限区间。因此，通过假(C3)，令 $n\to \infty$， $\forall \left(u,v\right)\in U\times V$，我们可得到 $P_1\left(u^{*},v^{*}\right)\ge P_1\left(u^{*},v\right)$， $P_2\left(u^{*},v^{*}\right)\ge P_2\left(u,v^{*}\right)$。因此， $\left(u^{*},v^{*}\right)\in S\left(f\right)$。即：集值映射 $N$ 是一个上半连续的紧映射。

3. 本质连通区

这一节，我们将给出本质连通区和极小本质集的存在性结论。因此，我们先给出本质集、极小本质集、本质连通区的定义。

定义4.1： $\forall f\in M$，设 $d\left(f\right)$ 是 $N\left(f\right)$ 中的非空闭子集，如果对 $2^{U\times V}$ 中任意开集 $O$， $O\supset d\left(f\right)$， $\exists \delta >0$，使得 $\forall f^{\prime }\in M$， $\rho \left(f,f^{\prime }\right)<\delta$，有 $N\left(f^{\prime }\right)\cap \text{O}\ne \varnothing$，则称 $d\left(f\right)$ 是 $N\left(f\right)$ 中本质集。

定义4.2：设 $m\left(f\right)$ 是 $N\left(f\right)$ 的本质集，且是 $N\left(f\right)$ 中所有本质集按包含关系为序的极小元，则称 $m\left(f\right)$ 是 $N\left(f\right)$ 极小本质集。显然若 $N\left(f\right)$ 极小本质集存在，则它不一定是唯一的。

定义4.3：若 $N\left(f\right)$ 可以分解为有限或无限个两两不相交的连通区的并集，即

$N\left(f\right)={\displaystyle {\cup }_{i\in I}{C}_i\left(f\right)}$，

其中 ${\rm I}$ 是一个指标集。若存在 $N\left(f\right)$ 的一个连通区 $C_i\left(f\right)$ 是 $N\left(f\right)$ 本质集，则称 $C_i\left(f\right)$ 是 $N\left(f\right)$ 一个本质连通区。

定理4.1： $\forall f\in M$， $N\left(f\right)$ 至少存在一个极小本质集。

证明：由定理2.3知道， 集值映射 $N:M\Rightarrow 2^{U\times V}$ 是一个上半连续的紧映射，即对 $U\times V$ 的任意开集 $O$，且 $O\supset N\left(f\right)$，则存在 $\delta >0$，使得 $\forall f^{\prime }\in M$，当 $\rho \left(f,f^{\prime }\right)<\delta$ 时， $O\supset N\left(f^{\prime }\right)$。因此， $N\left(f\right)$ 是它本身的一个本质集。设 $\theta$ 是以包含关系为序，且由所有本质集组成的集合，且 $\theta$ 是一个半序集，且 $\theta \ne \varnothing$，下令 $e\left(f\right)={\displaystyle \underset{i\in {\rm I}}{\cap }{e}_i\left(f\right)}$，其中 $\left\{e_i\left(f\right):i\in {\rm I}\right\}$ 是 $\theta$ 中的全序子集，不难验证 $e\left(f\right)$ 为紧集， $e\left(f\right)\ne \varnothing$，且 $e\left(f\right)$ 显然是递减的。 $\theta$ 中任意全序子集 $\left\{e_i\left(f\right):i\in {\rm I}\right\}$ 必有下界 $e\left(f\right)$，由Zorn引理， $\theta$ 必有极小元，因而极小元必是的 $N\left(f\right)$ 的极小本质集。

定理4.2： $\forall f\in M$， $N\left(f\right)$ 的每个极小本质集都是连通的。

证明：用反证法给予证明，设 $m\left(f\right)$ 是 $N\left(f\right)$ 的极小本质集，而 $m\left(f\right)$ 不是连通的，则存在两个非空闭集 $C_1\left(f\right),C_2\left(f\right)$，和两个开集 $W_1,W_2$，使得 $W_1\supset C_1\left(f\right),W_2\supset C_2\left(f\right)$， $m\left(f\right)=C_1\left(f\right)\cup C_2\left(f\right)$，而 $W_1\cap W_2=\varnothing$。因 $m\left(f\right)$ 是极小本质集，故 $C_1\left(f\right),C_2\left(f\right)$ 都不是 $N\left(f\right)$ 的本质集，所以存在两个开集 $G_1,G_2$， $G_1\supset C_1\left(f\right),G_2\supset C_2\left(f\right)$，而 $\forall \delta >0$， $\rho \left(f,f^1\right)<\delta ,\rho \left(f,f^2\right)<\delta$，而 $N\left(f^1\right)\cap G_1=N\left(f^2\right)\cap G_2=\varnothing$，记 $U_1=W_1\cap G_1$， $U_2=W_2\cap G_2$，则 $U_1,U_2$ 是开集，则 $U_1\supset C_1\left(f\right),U_2\supset C_2\left(f\right)$，且 $U_1\cap U_2=\varnothing$，存在两个开集 $V_1,V_2$，使得 $C_1\left(f\right)\subset V_1\subset {\bar{V}}_1\subset U_1$， $C_2\left(f\right)\subset V_2\subset {\bar{V}}_2\subset U_2$，显然 $N\left(f^1\right)\cap {\bar{V}}_1=\varnothing$， $N\left(f^2\right)\cap {\bar{V}}_2=\varnothing$， ${\bar{V}}_1\cup {\bar{V}}_2\ne \varnothing$。

因此，存在 $\tilde{f}\in M$，使得， $\rho \left(\tilde{f},f^1\right)\le \rho \left(f^1,f^2\right)\le \rho \left(f,f^1\right)+\rho \left(f,f^2\right)<2\delta$， $\rho \left(\tilde{f},f^2\right)\le \rho \left(f^1,f^2\right)\le \rho \left(f,f^1\right)+\rho \left(f,f^2\right)<2\delta$，而 $N\left(\tilde{f}\right)\cap \left({\bar{V}}_1\cup {\bar{V}}_2\right)=\varnothing$。因 $V_1\cup V_2$ 是开集，且 $V_1\cup V_2\supset C_1\left(f\right)\cup C_2\left(f\right)=m\left(f\right)$，而 $\rho \left(\tilde{f},f\right)\le \rho \left(f,f^1\right)+\rho \left(\tilde{f},f^1\right)<3\delta$。这显然与 $N\left(\tilde{f}\right)\cap \left(V_1\cup V_2\right)=\varnothing$ 矛盾。因此， $m\left(f\right)$ 是 $N\left(f\right)$ 的极小本质集。

定理4.3： $\forall f\in M$， $N\left(f\right)$ 至少存在一个本质连通区。

证明：由定理4.1和定理4.2， $N\left(f\right)$ 至少有一个极小本质集 $e\left(f\right)$，且 $e\left(f\right)$ 是连通的，故 $\forall i\in {\rm I}$，使 $e\left(f\right)\subset C_i\left(f\right)$，对 $U$ 中任意开集 $O$， $O\supset C_i\left(f\right)$，则 $O\supset e\left(f\right)$，因 $e\left(f\right)$ 是本质的， $\exists \delta >0$，使得 $\forall f^{\prime }\in M$， $\rho \left(f,f^{\prime }\right)<\delta$，有 $N\left(f^{\prime }\right)\cap O\ne \varnothing$，于是连通区 $C_i\left(f\right)$ 是本质的。

4. 结论

应用集值分析理论，文献 [14] [15] [16] [17] 开启了从整体上考虑问题对象发展扰动时，微分博弈的稳定性研究。本文基于集值映射理论，应用非线性方法，讨论了一类特殊的二人微分博弈控制系统关于右端函数发生扰动时，Nash均衡本质连通区和极小本质集的存在性。

基金项目

国家自然科学基金(11661020)。