算子广义正交问题的研究

Study on the Generalized Orthogonal Problem of Operators

摘要: 本文研究考虑了在算子空间中矩阵作为算子的广义正交性，给出矩阵正交与迹之间的关系，并讨论了算子空间为内积空间的等价条件。

Abstract: In this paper, the generalized orthogonality of matrix as an operator in operator space is considered, the relationship between matrix orthogonality and trace is given, and the equivalent condition that operator space is inner product space is discussed.

1. 引言

赋范线性空间中各种广义正交性的提出是对内积空间中正交的一种延拓，其与内积空间有着密不可分的关系。作为一种应用较为广泛的正交性，1935年Birkhoff根据“点到直线垂线段最短”的性质提出了一般赋范线性空间Birkhoff正交的概念 [1]，James详细研究了Birkhoff正交的性质 [2]。算子空间作为一类赋范线性空间，因其具有区别于一般赋范线性空间的性质，本文研究了算子空间中矩阵算子的正交性，并给出相应的等价条件。

2. 算子空间算子的广义正交性

定义1 [1] 设X是一个赋范线性空间， $x,y\in X$，如果对于任意 $\alpha \in R$ 都有

$\Vert x+\alpha y\Vert \ge \Vert x\Vert$

则称x Birkhoff正交于y。

定义2 [3] 设H为Hilbert空间，则对于 $A\in B\left(H\right)$，

$\Vert A\Vert =\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert Ax\Vert =\underset{\Vert x\Vert =\Vert y\Vert =1}{\sup }\left|\langle y,Ax\rangle \right|,\forall x,y\in H$

定义3 [4] 对矩阵 $x,y\in R^n$，有

${\Vert x\Vert }_1=\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+\cdots +\left|x_n\right|$

${\Vert x\Vert }_{\infty }=\max \left\{\left|x_1\right|,\cdots ,\left|x_n\right|\right\}$

定理1设 $X_1=\left(R^n,{\Vert \cdot \Vert }_{\infty }\right)$， $X_2=\left(R^n,{\Vert \cdot \Vert }_1\right)$，对于 $I,A\in B\left(X_1,X_2\right)$，其中I为单位矩阵，A为对角阵，有

$trA=0\Rightarrow I{\perp }_{B}A$

证明： $I=\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 1\end{array}\right)$，不妨假设 $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$。

则当 $trA=0$ 时有

$\begin{array}{c}\Vert I+\lambda A\Vert =\underset{{\Vert x\Vert }_{\infty }=1}{\sup }{\Vert \left(I+\lambda A\right)x\Vert }_1\\ =\underset{{\Vert x\Vert }_{\infty }=1}{\max }{\Vert \left(\begin{array}{c}\left(1+\lambda a_{11}\right)x_1\\ \left(1+\lambda a_{22}\right)x_2\\ ⋮\\ \left(1+\lambda a_{nn}\right)x_n\end{array}\right)\Vert }_1\\ \ge \left|\left(1+\lambda a_{11}\right)\right|+\left|\left(1+\lambda a_{22}\right)\right|+\cdots +\left|\left(1+\lambda a_{nn}\right)\right|\\ \ge \left|n+\lambda \left(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}\right)\right|\\ =n\end{array}$

而

$\begin{array}{c}\Vert I\Vert =\underset{{\Vert x\Vert }_{\infty }=1}{\sup }\Vert Ix\Vert \\ =\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+\cdots +\left|x_n\right|\\ \le n\end{array}$

所以

$\Vert I+\lambda A\Vert \ge \Vert I\Vert$

一般算子空间上算子的Birkhoff不具有对称性，例如在 $\left({ℝ}^2,{\Vert \cdot \Vert }_{\infty }\right)$ 空间中，取 $x=\left(1,1\right)$， $y=\left(0,1\right)$ 则 $x{\perp }_{B}y$，但 $y{\cancel{\perp }}_{B}x$，如图1所示。

Figure 1. $x{\perp }_{B}y$, $y{\cancel{\perp }}_{B}x$

图1. $x{\perp }_{B}y$， $y{\cancel{\perp }}_{B}x$

但内积空间上的元素必具有对称性，所以我们探讨了算子空间为内积空间的等价条件。

定理2设 $H_1,H_2$ 为Hilbert空间，则 $B\left(H_1,H_2\right)$ 为内积空间。

证明：由 [5] 知，要证 $B\left(H_1,H_2\right)$ 为内积空间当且仅当其上的范数“ $\Vert \cdot \Vert$ ”满足

${\Vert T_1+T_2\Vert }^2+{\Vert T_1-T_2\Vert }^2=2\left({\Vert T_1\Vert }^2+{\Vert T_2\Vert }^2\right)$， $\forall T_1,T_2\in B\left(X_1,X_2\right)$

(1) 证明

${\Vert T_1+T_2\Vert }^2+{\Vert T_1-T_2\Vert }^2\ge 2\left({\Vert T_1\Vert }^2+{\Vert T_2\Vert }^2\right)$

设 $x\in S\left(B\left(H_1,H_2\right)\right)$，则

$\begin{array}{c}{\Vert T_1+T_2\Vert }^2+{\Vert T_1-T_2\Vert }^2\ge {\langle y,T_{1}x+T_{2}x\rangle }^2+{\langle y,T_{1}x-T_{2}x\rangle }^2\\ ={\left(\langle y,T_{1}x\rangle +\langle y,T_{2}x\rangle \right)}^2+{\left(\langle y,T_{1}x\rangle -\langle y,T_{2}x\rangle \right)}^2\\ =2{\langle y,T_{1}x\rangle }^2+2{\langle y,T_{2}x\rangle }^2\\ =2\left({\Vert T_1\Vert }^2+{\Vert T_2\Vert }^2\right)\end{array}$

(2) 证明

$2\left({\Vert T_1\Vert }^2+{\Vert T_2\Vert }^2\right)\ge {\Vert T_1+T_2\Vert }^2+{\Vert T_1-T_2\Vert }^2$

设 $x\in S\left(B\left(H_1,H_2\right)\right)$，则

$\begin{array}{c}2\left({\Vert T_1\Vert }^2+{\Vert T_2\Vert }^2\right)=2\left({\Vert T_1\Vert }^2+{\Vert T_2\Vert }^2\right){\Vert x\Vert }^2\\ \ge 2{\Vert T_{1}x\Vert }^2+2{\Vert T_{2}x\Vert }^2\\ ={\Vert T_{1}x\Vert }^2+{\Vert T_{2}x\Vert }^2+{\Vert T_{1}x\Vert }^2-{\Vert T_{2}x\Vert }^2+2{\Vert T_{2}x\Vert }^2\\ =\langle T_{1}x,T_{1}x\rangle +\langle T_{2}x,T_{2}x\rangle +\langle T_{1}x,T_{1}x\rangle -\langle T_{2}x,T_{2}x\rangle +2{\Vert T_{2}x\Vert }^2\\ =\langle T_{1}x+T_{2}x,T_{1}x+T_{2}x\rangle -\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle -\langle T_{2}x,T_{1}x\rangle \\ +\langle T_{1}x-T_{2}x,T_{1}x-T_{2}x\rangle +\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle +\langle T_{2}x,T_{1}x\rangle +2{\Vert T_{2}x\Vert }^2\\ ={\Vert \left(T_1+T_2\right)x\Vert }^2+{\Vert \left(T_1-T_2\right)x\Vert }^2+2{\Vert T_{2}x\Vert }^2\\ \ge {\Vert \left(T_1+T_2\right)x\Vert }^2+{\Vert \left(T_1-T_2\right)x\Vert }^2\end{array}$

故

$2\left({\Vert T_1\Vert }^2+{\Vert T_2\Vert }^2\right)\ge \underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\left({\Vert \left(T_1+T_2\right)x\Vert }^2+{\Vert \left(T_1-T_2\right)x\Vert }^2\right)={\Vert T_1+T_2\Vert }^2+{\Vert T_1-T_2\Vert }^2$

综上，得证。

3. 结论

本文在算子空间中讨论矩阵算子的广义正交性，得到矩阵与迹之间的关系，并说明由Hilbert空间形成的算子空间为内积空间，所以其上的算子正交具有对称性，进而可以证得其上的算子各种广义正交之间是等价的。