有界无穷维Hamilton算子的数值半径上下界估计

Upper and Lower Bounds Estimation of Numerical Radius of Bounded Infinite-Dimensional Hamilton Operator

摘要: 本文研究了有界无穷维Hamilton算子的数值半径不等式问题，利用数值半径的酉相似不变性得到了有界无穷维Hamilton算子的数值半径上下界的估计式，为刻画有界无穷维Hamilton算子谱的分布问题奠定了理论基础。

Abstract: In this paper, Numerical Radius Inequalities of bounded infinite dimensional Hamiltonian operator are studied. By applying unitary similarity invariance of numerical radius, the numerical radius upper and lower estimations of bounded infinite dimensional Hamiltonian operator are obtained, and which provides a theoretical foundation for characterizing the spectra of bounded infinite dimensional Hamiltonian operator.

1. 引言

20世纪60年代，Arnold，Magri等学者为了研究Maxwell方程，Schrödinger方程和KdV方程等以力学问题为应用背景的偏微分方程，引进了无穷维Hamilton正则系统，在此基础上Gel’fand等人引进了无穷维Hamilton算子的概念。直到1991年，钟万勰院士利用结构力学与最优控制的模拟理论，将无穷维Hamilton系统与弹性力学方程相结合，利用无穷维Hamilton算子特征函数系的辛正交性对无穷维Hamilton正则系统进行分离变量导出横向本征值问题，开创了弹性力学求解新体系，为解决应用力学中的非对称问题提供了统一方法(见 [1] )。然而，在Hamilton体系下采用分离变量法是否可行问题的理论基础是无穷维Hamilton算子谱分布问题。于是，无穷维Hamilton算子谱理论研究受到了国内外学者的广泛关注(见 [2] [3] [4] [5] )。在线性算子谱理论的研究中，线性算子数值域是刻画算子谱集分布范围的有力工具。因为有界线性算子数值域闭包包含谱集。类似于有界线性算子的谱半径，可以定义刻画有界线性算子数值域分布的数值半径，并利用有界线性算子的数值半径可以刻画该算子的谱集分布范围。因此，本文研究了有界无穷维Hamilton算子的数值半径不等式问题，利用数值半径的酉相似不变性得到有界无穷维Hamilton算子的数值半径上下界估计式，为刻画有界无穷维Hamilton算子谱的分布问题奠定了理论基础。

2. 预备知识

下面给出一些在本文中所用到的符号和定义。

本文中H代表Hilbert空间， $B\left(H\right)$ 代表H中有界线性算子的全体。若 $X\in B\left(H\right)$ ，则 $\omega \left(X\right)$ 为其数值半径， $\Vert X\Vert$ 为算子范数，定义如下：

$\omega \left(X\right)=\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\left|\langle Xx,x\rangle \right|,\Vert X\Vert =\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert Xx\Vert .$

对于有界线性算子而言，数值半径描述的是包含有界线性算子数值域的最小闭圆盘半径，利用数值半径可以刻画有界线性算子谱集分布范围。

例2.1 令 $X=\left[\begin{array}{cc}I& -I\\ 0& I\end{array}\right]$ ，其中I表示Hilbert空间H中的恒等算子。经计算，易得算子X的谱集为 $\sigma \left(X\right)=\left\{1\right\}$ 。数值半径为 $\omega \left(X\right)=\frac{3}{2}$ 。很显然，算子X的谱集包含于 $\frac{3}{2}$ 为半径的圆盘内。

关于数值半径，首先提及的一个性质是它与算子范数是等价范数，即，对于 $X\in B\left(H\right)$ ，有

$\frac{\Vert X\Vert }{2}\le \omega \left(X\right)\le \Vert X\Vert$ (2.1)

且

$\omega \left(X\right)\le \frac{\Vert X\Vert +{\Vert X^2\Vert }^{\frac{1}{2}}}{2}.$ (2.2)

特别的，当 $X^2=0$ 时，有 $\omega \left(X\right)=\frac{\Vert X\Vert }{2}$ 。当X为正常算子时 $\omega \left(X\right)=\Vert X\Vert$ 。

给定 $X,Y\in B\left(H\right)$ ，如果存在一个酉算子 $U\in B\left(H\right)$ 使得

$B=U^{*}AU$ ，

则称算子X和Y是酉相似。数值半径的另外一个非常重要的性质就是酉相似不变性，即，令 $X\in B\left(H\right)$ ，则

$\omega \left(U^{*}XU\right)=\omega \left(X\right)，$ (2.3)

其中 $U\in B\left(H\right)$ 是酉算子。

定义 [6] ：如果 $X,Y,Z\in B\left(H\right)$ 且Y，Z为自伴算子，则称分块算子矩阵

$H=\left[\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& -X^{*}\end{array}\right]$

为有界无穷维Hamilton算子。如果 $Y\ge 0,Z\ge 0$ ，则称H为非负Hamilton算子。

3. 主要结论

引理3.1 $X,Y\in B\left(H\right)$ ，则有

1) $\omega \left(\left[\begin{array}{cc}X& 0\\ 0& Y\end{array}\right]\right)=\max \left(\omega \left(X\right),\omega \left(Y\right)\right)$ ；

2) $\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X\\ {\text{e}}^{i\text{θ}}Y& 0\end{array}\right]\right)=\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X\\ Y& 0\end{array}\right]\right)\left(\forall \theta \in R\right)$ ；

3) $\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X\\ Y& 0\end{array}\right]\right)=\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& Y\\ X& 0\end{array}\right]\right)$ ；

4) $\omega \left(\left[\begin{array}{cc}X& Y\\ Y& X\end{array}\right]\right)=\max \left(\omega \left(X+Y\right),\omega \left(X-Y\right)\right)$ ；

特别的 $\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& Y\\ Y& 0\end{array}\right]\right)=\omega \left(Y\right)$ 。

引理3.2. 若 $X,Y\in B\left(H\right)$ ，则 $\frac{\max \left(\omega \left(X+X\right),\omega \left(X-Y\right)\right)}{2}\le \omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X\\ Y& 0\end{array}\right]\right)\le \frac{\omega \left(X+Y\right)+\omega \left(X-Y\right)}{2}$ 。

证明：首先证明左边的不等式。由引理3.1 (4)及引理3.1 (3)可知

$\begin{array}{c}\omega \left(X+Y\right)=\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X+Y\\ X+Y& 0\end{array}\right]\right)=\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X\\ Y& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& Y\\ X& 0\end{array}\right]\right)\le \omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X\\ Y& 0\end{array}\right]\right)+\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& Y\\ X& 0\end{array}\right]\right)\\ =\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X\\ Y& 0\end{array}\right]\right)+\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X\\ Y& 0\end{array}\right]\right)=2\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X\\ Y& 0\end{array}\right]\right).\end{array}$

所以有

$\frac{\omega \left(X+Y\right)}{2}\le \omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X\\ Y& 0\end{array}\right]\right).$

同理对于 $\omega \left(X-Y\right)$ 有

$\begin{array}{c}\frac{\omega \left(X-Y\right)}{2}\le \omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X\\ -Y& 0\end{array}\right]\right)\\ =\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X\\ Y& 0\end{array}\right]\right).\end{array}$

故而，综上所述有

$\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X\\ Y& 0\end{array}\right]\right)\ge \frac{\max \left(\omega \left(X+Y\right),\omega \left(X-Y\right)\right)}{2}.$

下面证明右边的不等式，令酉算子 $U=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}I& -I\\ I& I\end{array}\right]$ ，则

$\begin{array}{c}\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X\\ Y& 0\end{array}\right]\right)=\omega \left(U^{*}\left[\begin{array}{cc}0& X\\ Y& 0\end{array}\right]U\right)\\ =\frac{1}{2}\omega \left(\left[\begin{array}{cc}X+Y& X-Y\\ -\left(X-Y\right)& -\left(X+Y\right)\end{array}\right]\right)\\ =\frac{1}{2}\omega \left(\left[\begin{array}{cc}X+Y& 0\\ 0& -\left(X+Y\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& X-Y\\ -\left(X-Y\right)& 0\end{array}\right]\right)\\ \le \frac{1}{2}\left(\omega \left(\left[\begin{array}{cc}X+Y& 0\\ 0& -\left(X+Y\right)\end{array}\right]\right)+\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& X-Y\\ -\left(X-Y\right)& 0\end{array}\right]\right)\right)\\ =\frac{\omega \left(X+Y\right)+\omega \left(X-Y\right)}{2}\end{array}$

证毕。

引理3.3. 若 $X,Y,Z,W\in B\left(H\right)$ ，则有 $\omega \left(\left[\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& W\end{array}\right]\right)\ge \omega \left(\left[\begin{array}{cc}X& 0\\ 0& W\end{array}\right]\right)$ 且 $\omega \left(\left[\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& W\end{array}\right]\right)\ge \omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& Y\\ Z& 0\end{array}\right]\right)$ 。

引理3.4. 若 $X,Y\in B\left(H\right)$ 且非负，则 $\Vert X+Y\Vert =\Vert X\Vert +\Vert Y\Vert$ 当且仅当 $\Vert XY\Vert =\Vert X\Vert \Vert Y\Vert$ 。

定理3.5. 若 $X,Y,Z\in B\left(H\right)$ ，且 $Y,Z$ 为自伴算子，则

$\omega \left(\left[\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& -X^{*}\end{array}\right]\right)\ge \max \left\{\omega \left(X\right),\frac{Y+Z}{2},\frac{Y-Z}{2}\right\}$ 。

且

$\omega \left(\left[\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& -X^{*}\end{array}\right]\right)\le \omega \left(X\right)+\frac{\omega \left(Y+Z\right)+\omega \left(Y-Z\right)}{2}$ 。

证明：由引理3.3可知

$\omega \left(\left[\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& -X^{*}\end{array}\right]\right)\ge \max \left(\omega \left(\left[\begin{array}{cc}X& 0\\ 0& -X^{*}\end{array}\right]\right),\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& Y\\ Z& 0\end{array}\right]\right)\right)$ 。

由引理3.1 (1)有

$=\max \left(\max \left(\omega \left(X\right),\omega \left(-X^{*}\right)\right),\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& Y\\ Z& 0\end{array}\right]\right)\right)$

又由定理3.2有

$\begin{array}{c}\omega \left[\begin{array}{cc}\text{X}& \text{Y}\\ \text{Z}& -{\text{X}}^{\text{*}}\end{array}\right]\ge \max \left(\max \left(\omega \left(X\right),\omega \left(-X^{*}\right)\right),\frac{\max \left(\omega \left(X+Y\right),\omega \left(X-Y\right)\right)}{2}\right)\\ =\max \left(\omega \left(X\right),\frac{Y+Z}{2},\frac{Y-Z}{2}\right).\end{array}$

由引理3.1 (1)以及定理3.2我们可以得到

$\begin{array}{c}\omega \left(\left[\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& -X^{*}\end{array}\right]\right)\le \omega \left(\left[\begin{array}{cc}X& 0\\ 0& -X^{*}\end{array}\right]\right)+\omega \left(\left[\begin{array}{cc}0& Y\\ Z& 0\end{array}\right]\right)\\ \le \omega \left(X\right)+\frac{Y+Z+Y-Z}{2}.\end{array}$

考虑到 $X,Y\in B\left(H\right)$ 是自伴算子，结论得证。

定理3.6设 $X,Y,Z\in B\left(H\right)$ ， $H=\left[\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& -X^{*}\end{array}\right]$ 为非负Hamilton算子，且 $\Vert YZ\Vert =\Vert Y\Vert \Vert Z\Vert$ ，则H的数值半径不等式满足

$\omega \left(H\right)\ge \max \left\{\omega \left(X\right),Y+Z\right\}$

且

$\omega \left(H\right)\le \omega \left(X\right)+\omega \left(Y\right)+\omega \left(Z\right)$ 。

证明：由引理3.4可知

$\Vert X+Y\Vert =\Vert X\Vert +\Vert Y\Vert$ ，

即 $\omega \left(X+Y\right)=\omega \left(X\right)+\omega \left(Y\right)$ 。再由定理3.5，结论得证。

下面将给出具体例子加以说明判别准则的有效性。

例3.1 给定无穷维Hamilton算子 $H=\left[\begin{array}{cc}I& I\\ I& -I\end{array}\right]$ ，则由定理3.5可知

$1\le \omega \left(H\right)\le 2$ 。

另一方面，由于H是自伴算子，故数值半径与算子范数相等，即

$\omega \left(H\right)=\sqrt{2}$ 。

结论吻合。

4. 总结

本文主要发现点是利用数值半径的酉相似不变性得到了有界无穷维Hamilton算子的数值半径上下界的估计式。该结论为刻画有界无穷维Hamilton算子谱的分部范围提供了重要依据。关于无穷维Hamilton算子数值半径有很多问题可以进一步研究。比如，二次数值半径的上下界估计以及二次数值半径的幂不等式等等。

基金项目

内蒙古大学大创项目资金支持，项目编号为202211215。

参考文献