输电杆塔接地体等值电路的频率与阻抗响应计算方法研究

Frequency and Impedance Response Calculation Method for Equivalent Circuit of Transmission Tower Grounding Electrode

摘要: 本研究针对输电杆塔接地体等值电路在宽频域下的频率与阻抗响应计算问题，提出基于二端口网络理论的建模与分析方法。通过将接地体分布参数模型分解为多段二端口网络单元，利用级联传输矩阵法构建系统整体传输矩阵，建立接地体的等值电路的频率响应与阻抗响应特性曲线计算公式，并采用Multisim电路仿真平台对所述方法的计算结果进行验证。研究表明，理论计算与仿真结果的频率响应曲线相关系数达0.999以上，能够准确计算接地体等值电路的频率响应与阻抗特性。本文研究可为防雷接地系统的频率特性与阻抗响应计算提供理论依据。

Abstract: The issue of calculating the frequency and impedance responses of the equivalent circuit of transmission tower grounding bodies over a wide frequency range is addressed in this study. A modeling and analysis method based on the two-port network theory is proposed. By decomposing the distributed parameter model of the grounding body into multiple two-port network units, the overall transmission T-matrix of the system is constructed using the cascaded transmission matrix method. This establishes the calculation formulas for the frequency response and impedance response characteristics of the equivalent circuit of the grounding body. The Multisim circuit simulation platform is employed to validate the computational results of the proposed method. The research demonstrates that the correlation coefficient between the theoretical calculations and the simulation results of the frequency response curve exceeds 0.999, indicating accurate calculation of the frequency response and impedance characteristics of the equivalent circuit of the grounding body. A theoretical basis for the calculation of frequency characteristics and impedance responses in lightning protection grounding systems is provided through this investigation.

1. 引言

在电力系统安全防护领域，接地体作为泄放故障电流、抑制过电压的核心部件，其性能直接决定了输电线路的绝缘安全与设备可靠性。传统研究中，接地体的设计与评估主要围绕工频(50/60 Hz)接地电阻[1]展开，通过集总参数模型计算其稳态散流能力[2]。然而，随着新能源并网、电力电子设备普及以及电网智能化升级，系统中高频干扰源的强度显著增加。例如，风电变流器与光伏逆变器产生的宽频谐波电流[3]、雷电流脉冲上升沿的高频分量[4]均需通过接地体泄放。在实际工程中，接地体往往具有数十米至数百米的延伸长度，其分布参数效应在高频条件下尤为显著。现有研究多采用有限时域差分法(FDTD)等全波仿真手段能精确表征分布参数[5]，但其需剖分复杂三维结构，单次仿真耗时数小时，难以支撑工程快速设计。此外，基于时域雷电流激励傅里叶变换的频域研究[6]，其频响结果受限于特定雷电流波形(如2.6/50 μs脉冲)的频谱分布，无法分离接地体固有特性与外部激励的耦合影响。因此，构建具有物理可解释性的接地体宽频等效模型，建立其频率响应与阻抗响应的计算方法，对于了解接地体阻抗特性具有指导意义。

针对输电杆塔接地体在宽频域下的频率与阻抗响应计算问题，本研究提出了一种基于二端口网络理论的建模与分析方法。具体而言，首先，将长距离接地体的分布参数系统离散化为N个等长单元，每个单元采用传输线模型构建其传输矩阵；其次，利用传输矩阵的乘积特性实现多段级联系统的整体特性计算，通过矩阵运算将复杂三维电磁场问题转化为可解析计算的电路网络问题；进而，分别通过T、Z参数建立宽频域下频率响应与阻抗响应计算表达式。为验证模型的有效性，基于Multisim平台构建与理论模型一致的等值电路，并通过交流扫描生成1 kHz~2 MHz频段的频率与阻抗响应曲线。采用相关系数定量评估理论计算与仿真结果的一致性，形成“算法–仿真”闭环验证，确保方法的可靠性。

2. 接地体等值电路建模

在冲击电流作用下，水平杆塔接地体可分成等长N段，每段以π型电路等效，包含自身电阻R、自身电感L、对地电容C、泄漏电导G，这些参数通常认为是全长均匀分布的。由于冲击电流的时变性，接地体周围火花放电区域随之变化，各段等效半径亦随时间波动，电容和电导也随时间变化。但各段自阻抗与互阻抗不受等效半径变化影响，因电流在导体–土壤界面近垂直扩散，磁链基本恒定。同时，雷电流主要通过金属导体传导，电感与电阻特性不受火花放电区域变化影响[7]。

Figure 1. Transmission tower grounding electrode equivalent circuit

图1. 杆塔接地体等值电路

非均匀分布输电杆塔接地体等值电路如图1中，其模型可看作一个典型的二端口网络。本文研究其频域特性，施加单位激励电压源，在稳态电压情况下，接地体参数R，L，C，G均为静态值，无需考虑时变非线性效应。此时仍可采用等长π型等效电路进行建模，π型等效电路本质是分布参数系统的离散化近似，分段的本质目的是解决分布参数效应与时变非线性特性的建模问题，与激励类型无关。各参数计算公式如下所示[8]。

$R_i=\frac{{\rho }_0\cdot \Delta L}{\pi r^2}$ (1)

$L_i=\frac{{\mu }_0\Delta L}{2\pi }\left(\ln \frac{2\Delta L}{r}-1\right)$ (2)

$G_i=\frac{2\pi \Delta L}{\rho \left(\ln \frac{\Delta L^2}{2hr}-0.61\right)}$ (3)

$C_i=\epsilon \rho G_i$ (4)

式中，ρ₀是接地体的电导率，r是接地体半径，μ₀是真空磁导率，大小为4π × 10⁻⁷ H/m，ρ为土壤电导率，h为土壤埋深，ε是土壤介电常数。

3. 基于二端口网络等值电路的频域计算

3.1. 二端口网络理论基础

二端口网络是通过输入–输出端口变量(电压U₁、U₂与电流I₁、I₂)的线性映射关系表征网络特性[9]，如图2所示关系。

Figure 2. Linear two-port current-voltage relationships

图2. 线性二端口电流电压关系

二端口网络常用参数主要有阻抗Z参数、导纳Y参数、混合H参数和传输T参数，对于不同的电路结构和运算需要，可选择不同参数方程进行运算。根据T、Z参数的物理意义，分别可用于接地体等值电路的频率响应与阻抗计算，T、Z参数方程、参数物理意义、参数矩阵如表1所示。

Table 1. T-parameters and Z-parameters

表1. T参数和Z参数

	T参数	Z参数
参数 方程	$\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_1\\ {\dot{I}}_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_2\\ -{\dot{I}}_2\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_1\\ {\dot{U}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{11}& Z_{12}\\ Z_{21}& Z_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_1\\ {\dot{I}}_2\end{array}\right]$
参数物理意义	$\{\begin{array}{l}A=\frac{{\dot{U}}_1}{{\dot{U}}_2}|{}_{{\dot{I}}_2=0}B=\frac{{\dot{U}}_1}{-{\dot{I}}_2}|{}_{{\dot{U}}_2=0}\\ C=\frac{{\dot{I}}_1}{{\dot{U}}_2}|{}_{{\dot{I}}_2=0}D=\frac{{\dot{I}}_1}{-{\dot{I}}_2}|{}_{{\dot{U}}_2=0}\end{array}$	$\{\begin{array}{l}{Z}_{11}=\frac{{\dot{U}}_1}{{\dot{I}}_1}|{}_{{\dot{I}}_2=0}{Z}_{12}=\frac{{\dot{U}}_1}{{\dot{I}}_2}|{}_{{\dot{I}}_1=0}\\ Z_{21}=\frac{{\dot{U}}_2}{{\dot{I}}_1}|{}_{{\dot{I}}_2=0}{Z}_{22}=\frac{{\dot{U}}_2}{{\dot{I}}_2}|{}_{{\dot{I}}_1=0}\end{array}$
参数 矩阵	$T=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]$	$Z=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{11}& Z_{12}\\ Z_{21}& Z_{22}\end{array}\right]$

式中，A、B、C、D为T参数，具有转移参数性质，其物理意义分别表征电压传递比A、反向电流阻抗B、正向导纳C及电流传递比D。Z₁₁、Z₁₂、Z₂₁、Z₂₂是二端口的Z参数，具有阻抗性质[10]。例如，Z₁₁物理意义是设端口2-2’开路，在端口1-1’施加一个电流源，可得1-1’的输入阻抗。

Z参数适用于端口阻抗直接测量，但处理级联网络时计算复杂，需进行矩阵求逆和乘法。相比之下，T参数体现传输特性，即前一网络的输出作为后一网络的输入，符合线性时不变系统级联要求。在无源网络中，级联后的T参数保持因果性和稳定性，因此成为后续计算的优选。根据T参数和Z参数的物理定义，可得到T、Z参数的转换公式。

$\left[\begin{array}{cc}{Z}_{11}& Z_{12}\\ Z_{21}& Z_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{A}{C}& \frac{{\Delta }_T}{C}\\ \frac{1}{C}& \frac{D}{C}\end{array}\right]$ (5)

式中，${\Delta }_T=\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|$ 。

3.2. 基于T参数的单元等值电路计算

对于单元等值电路，其T参数矩阵可通过串联支路阻抗Z = R + jωL与并联导纳Y = G + jωC解析推导，对每个单元划分方式如图3所示，根据T参数物理意义，可列出式(6) (7)

$T_{LR}=\left[\begin{array}{cc}1& jw{L}_i+R_i\\ 0& 1\end{array}\right]$ (6)

$T_{CG}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ jw{C}_i+G_i& 1\end{array}\right]$ (7)

单个单元的传输矩阵可表示为：

$\begin{array}{c}T=T_{LR}{T}_{CG}\\ =\left[\begin{array}{cc}1& jw{L}_i+R_i\\ jw{C}_i+G_i& 1-w^{2}LC+jw\left(L_i{G}_i+C_i{R}_i\right)\end{array}\right]\end{array}$ (8)

当接地体被均匀分割为N段时，整体网络的传输矩阵通过逐段级联得到T^N，该连乘运算需遵循矩阵乘法非交换律，且每段矩阵需按物理连接顺序排列。

Figure 3. Two-port network partitioning strategy

图3. 二端口网络划分方式

3.3. 频率响应与阻抗响应计算

图4所示为用于频率响应与阻抗计算的分为4段的接地体等效电路。对于频率响应计算，设定端口1连接含内阻Rs的激励电压源Us，端口2接响应电阻Ro。利用A参数，推导出输出电压U₂与输入电压U₁之间的传递函数(13)，以评估电路在不同频率下的响应幅值。对于阻抗响应，设定端口1连接含内阻Rs的电压源Us，端口2开路。利用Z₁₁参数，推导出输入电压U₁与输入电压I₁之间的传递函数(14)，通过T参数到Z参数的转换公式(5)，即可得到输入阻抗公式。频域响应与阻抗响应分析通过扫频计算实现：在1 kHz~2 MHz范围内按对数步长离散频率点，逐点求解端口电压传递函数H(ω)与系统输入阻抗传递函数Z_in(ω)。

Figure 4. Equivalent circuit for frequency response and impedance calculation

图4. 频率响应与阻抗计算的等效电路

Figure 5. Input and output port partitioning strategy

图5. 输入与输出端口划分方式

同样地，将图4所示电路看作由三个二端口网络组成，并用虚线方框分开。用于计算频率响应与阻抗响应网络划分如图5所示。

$T_{in}=\left[\begin{array}{cc}1& Ri\\ 0& 1\end{array}\right]$ (9)

$T_{out}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1/Ro& 1\end{array}\right]$ (10)

对于N段接地体等效电路级联系统，总传输矩阵为各单元矩阵的连乘，频率响应与阻抗响应的级联网络的全局矩阵如式(11) (12)所示。

$T_H=T_{in}{T}^N{T}_{out}$ (11)

$T_Z=T_{in}{T}^N$ (12)

根据U₂/U₁ = 1/A^(H)，U₁/I₁ = Z₁₁^(Z) = A^(Z)/C^(Z)可得接地体频率响应与阻抗响应函数表达式。

$H\left(\omega \right)=20\lg \frac{1}{A^{\left(H\right)}}$ (13)

$Z_{\text{in}}\left(\omega \right)=20\lg \frac{A^{(Z)}}{C^{(Z)}}$ (14)

基于二端口网络的接地体频率/阻抗响应求解流程如下：

(1) 输入：频率范围、分段数、每段RLCG值。

(2) 循环每个频点：

(3) a. 计算角频率ω = 2πf；

b. 计算单π单元T参数矩阵；

c. 级联所有单元得到传输矩阵T计算频率响应H(ω)；

d. 转换为阻抗矩阵Z计算阻抗响应Z_in(ω)。

(4) 输出频率–频率/阻抗响应曲线。

4. 仿真验证与误差分析

本节基于Multisim仿真软件验证二端口法计算杆塔接地体等值电路的频域特性的正确性，包括不考虑火花效应的两个计算案例。

算例1引用文献[7]的参数，选取长20 m单根水平接地体作为研究对象，导体半径r = 0.005 m，埋深h = 0.5 m，土壤电阻率ρ = 100Ω·m，ε = 7.974 × 10⁻¹¹，分段数N = 4，即分别每段长ΔL = 5 m，接地体半径r = 0.005 m，接地体的电阻率为ρ₀ = 1.27×10⁻⁵ Ω∙m。

算例2参数源于文献[11]，取水平接地体长30 m，分段数N = 6，其它参数均与算例1相同。

算例3取接地体长度24 m，分为4段，圆钢电阻率ρ₀ = 0.13 Ω·mm²/m，埋深h = 0.6 m，土壤电阻率ρ = 120Ω·m [12]。

根据公式(1)~(4)计算的RLCG参数如表2所示。

Table 2. Parameters of transmission tower grounding electrode equivalent circuit

表2. 杆塔接地体等值电路参数

参数	Li/μH	Ri/Ω	Ci/nF	Gi/S	Rs/Ω	Ro/Ω	N
案例1	6.6	0.25	0.317	25.16	0.01	50	4
案例2	8.4	0.25	0.154	0.0193	0.01	50	6
案例3	8.14	0.0099	0.373	0.039	0.01	50	6

(a) 频率响应曲线 (b) 阻抗响应曲线

Figure 6. Case 1: comparative analysis

图6. 案例1对比

(a) 频率响应曲线 (b) 阻抗响应曲线

Figure 7. Case 2: comparative analysis

图7. 案例2对比

(a) 频率响应曲线 (b) 阻抗响应曲线

Figure 8. Case 3: comparative analysis

图8. 案例3对比

为验证理论模型，在Multisim中构建接地体π型等效电路，RLCG参数设置与理论模型完全一致如表2所示。仿真设置为交流扫描分析(AC Sweep)，输出的频率响应与阻抗响应曲线分别如图6、图7和图8所示。

图中阻抗响应幅值随频率增加增大，频率响应定义为输出电压与输入电压比，幅值随着频率减小，谐振频率公式如公式(16)所示。

$f_r=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ (15)

没有出现谐振时电容电感参数小，谐振频率随之变高，导致f_r超出测试频段曲线，在有限的频带范围内没有出现。此外，对比算例1与算例2，可见分段数越少，频率响应与阻抗响应曲线的斜率越大。算例3与算例2对比发现，土壤电阻率越大，频率响应曲线斜率越大，阻抗响应差异不大。

由图可见二端口网络法与软件仿真的曲线结果均有很高的重合度，为进一步量化曲线间的差异，分别计算两种方法的相关系数以表征二端口法的计算准确率，相关系数计算式如式(15)所示。频率/阻抗响应的结果均达0.999以上，充分验证了二端口法的正确性，这里误差来源于不同软件传递时数值计算的截断误差。

$r=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)}}{\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(y_i-\overline{y}\right)}^2}}}$ (16)

式中，x和y分别是二端口法和Multisim仿真曲线的幅值向量，$\overline{x}$ 和$\overline{y}$ 分别是x与y向量的平均值，x_i和y_i是两个向量的第i个元素，n是频率点数量。

5. 结论

本研究针对输电杆塔接地体宽频域下的频率与阻抗响应计算问题，提出一种基于二端口网络级联的分布式参数解析方法，通过物理建模、算法设计与仿真验证的系统性研究，揭示了接地体在宽频域下的本征频率响应与阻抗特性规律，为防雷接地系统的频率特性与阻抗响应计算提供理论依据。通过将长距离接地体离散化为N段等长单元，建立每段包含频变参数R，L，C，G的二端口网络模型。利用传输矩阵级联特性构建整体系统模型，实现了三维分布参数问题的二维电路网络等效转换，建立接地体的等值电路的频率响应与阻抗响应特性曲线计算公式。基于Multisim平台构建4段/6段单元等效电路仿真案例，在1 kHz~2 MHz频段内开展交流扫描实验，理论计算与仿真结果的频响与阻抗响应曲线的相关系数均达0.999以上，验证了本文所提方法的正确性。

基金项目

陕西省自然科学基金项目(2023-JC-QN-0438)。