基于可变阶模型和MIAUKF算法的锂电池SOC估计

SOC Estimation of Lithium Batteries Based on Variable-Order Models and the MIAUKF Algorithm

摘要: 新能源汽车的性能与安全，取决于锂电池荷电状态估算。针对传统等效电路模型固定阶数无法适配电池动态特性、传统滤波算法对非高斯噪声鲁棒性不足等问题，本文提出一种基于可变阶模型与多新息自适应无迹卡尔曼滤波(MIAUKF, Multi-input adaptive unscented Kalman filter)算法的联合估计方法。实验表明端电压最大误差仅10 mV，较传统二阶模型降低74%。在恒流放电工况下，SOC (state-of-charge)估计平均误差低至0.63%，最大误差较UKF和AUKF算法降低66%。本研究借助对模型、算法的改进，展现出了较高的精度，还具备强鲁棒性与实用性。

Abstract: The performance and safety of new energy vehicles depend on the state-of-charge estimation of lithium batteries. Aiming at the problems that the fixed order of the traditional equivalent circuit model cannot adapt to the dynamic characteristics of the battery, and the traditional filtering algorithm is not robust to non-Gaussian noise, this paper proposes a joint estimation method based on the variable-order model and the multi-innovation adaptive untraceable Kalman filter algorithm. Experiments show that the maximum error of terminal voltage is only 10 mV, which is 74% lower than the traditional second-order model. Under the constant current discharge condition, the average error of SOC estimation is as low as 1.61%, and the maximum error is 66% lower than that of UKF and AUKF algorithms, respectively. With the improvement of the model and algorithm, this study shows high accuracy and strong robustness and practicality.

1. 引言

电池管理策略中，提高SOC估算精度对电动汽车与储能系统的安全运行、寿命管理及能效优化至关重要。当前SOC估算方法主要分为两类：基于模型的滤波算法和基于大数据的智能算法两类[1]。基于模型的滤波算法通过建立等效电路模型实现状态观测，包括卡尔曼滤波及其改进算法(如无迹卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波) [2]；基于大数据的智能算法则利用神经网络(NN)、支持向量机(SVM)等工具，通过数据训练构建电压、电流、温度等参数与SOC的映射关系。近年来，随着算法优化与算力提升，目前的研究主流是融合多方法(如安时积分法与开路电压法联合校正)及引入自适应机制(如噪声协方差动态更新) [3]。

鉴于传统方法存在诸多局限，本文提出一种锂电池SOC估计方法：将动态阶次建模技术与MIAUKF算法相结合，实现对SOC实时状态的估计。该方法构建可动态调节阶数的RC结构等效电路模型，通过参数辨识自适应平衡模型复杂度与动态特性。在估计算法方面，采用改进型卡尔曼滤波算法[4]，通过增加观测变量的维度来充分提取电池运行过程中的动态时序信息，结合H∞鲁棒滤波构建噪声协方差矩阵的自适应修正机制[5]，显著增强对非高斯噪声干扰的抑制能力，利用MIAUKF算法进行SOC迭代优化，形成兼顾计算效率与估计精度的闭环系统。实验验证表明，MIAUKF算法相比UKF、AUKF算法估计电池SOC的效果更好，为极端温度、突变负载等复杂场景下的电池状态估计提供了良好的解决方案。

2. 动力电池建模

2.1. 电池OCV-SOC标定

实验表明，锂电池剩余电量(SOC)与其开路电压(OCV, open circuit voltage)存在映射关系。基于HPPC实验数据，采用最小二乘法进行分析[6]。经过对不同阶次拟合曲线的对比，最终确定七阶多项式模型最为理想，如图1所示。

2.2. 等效电路模型的建立

由图1拟合曲线特点可知电压在低电量和高电量区间变化剧烈，而在中间区域相对平缓。针对传统等效电路建模方法难以描述该特征，且平衡模型精度与实用性的能力有限。为此，本研究设计了变阶RC网络建模策略：在电压波动显著的高低SOC区间使用三阶RC网络提高建模精度，在电压平稳的中段SOC区间改用二阶模型降低运算量。通过图2所示的切换开关S1实现不同阶次模型的自动转换，使整个系统既保持了较高的计算精度，又有效控制了模型复杂度。

Figure 1. OCV-SOC fitting results

图1. OCV-SOC拟合结果

Figure 2. Variable-order RC model

图2. 可变阶RC模型

图中U_OC代表电池的开路电压；U_t代表电池的端电压，I代表电池端电流；R₀代表电池的欧姆内阻；R₁、R₂和R₃为极化内阻，它们被用来代表正、负离子在化学反应中向两极运动时所受到的阻力；C₁、C₂和C₃描述的是电池的极化电容；U₁与U₂、U₃分别是对应RC环的压降。

在构建变阶数动力电池等效电路模型时，如何根据荷电状态(SOC)动态调整RC模型阶数是平衡模型精度与计算复杂度的关键。AIC (赤池信息量准则)作为赤池弘次提出的模型评价指标，通过权衡模型拟合优度与参数数量，为模型选择提供了量化依据。在保证模型精度的前提下，为了防止过拟合，选择了AIC最小的那一类模型作为最优模型。本模型的AIC准则可写为：

$\text{AIC}=\ln \left(\frac{{{\displaystyle \sum }}_{k=1}^L\left[U_t-U_{OC}+{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^n\left(U_i{\text{e}}^{\frac{-t}{{\tau }_i}}\right)\right]}{L}+\frac{2{\left(2n+1\right)}^d}{L}\right)$ (1)

其中L为数据长度，d为恒定值，这里d = 5。计算可以得到二三阶RC模型对应的AIC值，如图3所示。

Figure 3. AIC values corresponding to RC models of different orders

图3. 不同阶段的RC模型对应的AIC值

如图3所示，当SOC低于20%以及高于80%时，与二阶相比三阶模型的AIC值更小；但在SOC介于20%~80%时，三阶模型的AIC与二阶模型之间无显著差异，此阶段二阶RC可满足实际应用要求。所以为兼顾计算复杂度与精确度，SOC值介于20%~80%之间时采用二阶，而低于20%或者高于80%时采用三阶。

2.3. 参数辨识

在电池实际工作过程中，由于内部特性参数会随着SOC的变化而不断调整，导致理论模型预测结果与实测数据之间存在一定偏差。为解决这一问题，研究采用基于端电压测量的参数辨识方法，通过脉冲放电测试，将实验数据反推关键参数值，有效降低了参数时变特性对模型精度的影响。需要辨识的等效电路参数包括：表征导体特性的欧姆电阻；在电压平稳区间(SOC中间段)需确定两组极化相关参数(电容与电阻)；以及在电压变化剧烈区域(SOC两端)需要辨识的三组极化特性参数。

图4展示了在常温环境下进行测试时，电池输出电压在脉冲放电过程中的详细变化情况，通过局部放大可以清晰观察到电压波形的特征细节。

通过指数拟合法对模型的电阻和电容进行参数辨识。具体步骤如下：

根据图示分析，选取AB和CD两个特征区间来反映电池内阻R₀的特性。具体计算时，将这两个区间的电压变化量取算术平均值，即可得到R₀的估算值：

$R_0=\frac{\left(U_D-U_C\right)+\left(U_A-U_B\right)}{2I}$ (2)

Figure 4. Terminal voltage local amplification curve

图4. 端电压局部放大曲线

电池等效电路中的RC网络会产生极化现象，这导致测试曲线出现BC和DE两个特征区域。通过这两个特征区域的指数函数拟合，可以提取RC网络的特性参数。相关参数的具体数值可通过求解微分方程(3)获得：

$\{\begin{array}{l}{U}_1\left(t\right)=U_1\left(0\right){\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_1}}+I{R}_1\left(1-{\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_1}}\right)\\ U_2\left(t\right)=U_2\left(0\right){\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_2}}+I{R}_2\left(1-{\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_2}}\right)\\ U_3\left(t\right)=U_3\left(0\right){\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_3}}+I{R}_3\left(1-{\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_3}}\right)\end{array}$ (3)

(1) 确定${\tau }_1$ 、${\tau }_2$ 、${\tau }_3$

在电池测试曲线的DE区间，放电过程完全停止，此时回路电流降为零。该区间的电压响应可视为零输入响应。若将D点设为时间起点，三阶模型的零输入响应特性可用以下表达式描述：

$\{\begin{array}{l}{U}_1\left(t\right)=U_1\left(0\right){\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_1}}\\ U_2\left(t\right)=U_2\left(0\right){\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_2}}\\ U_3\left(t\right)=U_3\left(0\right){\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_3}}\end{array}$ (4)

电池端电压方程为：

$U_t=U_{oc}-U_1\left(0\right){\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_1}}-U_2\left(0\right){\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_2}}-U_3\left(0\right){\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_3}}$ (5)

其中$U_{oc}$ 即为E点的电压值。${\tau }_1$ 、${\tau }_2$ 、${\tau }_3$ 分别为RC环的时间常数。

(2) 确定R₁、R₂、R₃、C₁、C₂、C₃

在电池测试曲线中，放电过程后期(A点之前的区间)，系统已经处于完全静置状态，此时电容C₁和C₂两端的电势差基本消失。BC区间的电压变化反映了RC网络的零状态响应特性。若以B点作为时间坐标原点，三个RC环的零状态响应特性可用下式描述：

$\{\begin{array}{l}{U}_1\left(t\right)=I{R}_1\left(1-{\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_1}}\right)\\ U_2\left(t\right)=I{R}_1\left(1-{\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_2}}\right)\\ U_3\left(t\right)=I{R}_1\left(1-{\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_3}}\right)\end{array}$ (6)

电池端电压方程为：

$U_t=U_{oc}-I{R}_1\left(1-{\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_1}}\right)-I{R}_1\left(1-{\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_2}}\right)-I{R}_1\left(1-{\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_3}}\right)-I{R}_0$ (7)

拟合函数为$U_t=a-b\left(1-{\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_1}}\right)-c\left(1-{\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_2}}\right)-d\left(1-{\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_3}}\right)$ 。对比可知：

$\{\begin{array}{l}{R}_1=\frac{b}{I}\\ R_2=\frac{c}{I}\\ R_3=\frac{d}{I}\end{array}$ (8)

又${\tau }_1=R_1\times C_1$ ，${\tau }_2=R_2\times C_2$ ，${\tau }_3=R_3\times C_3$ 可得：

$\{\begin{array}{l}{C}_1=\frac{{\tau }_1}{R_1}\\ C_2=\frac{{\tau }_2}{R_2}\\ C_3=\frac{{\tau }_3}{R_3}\end{array}$ (9)

对于变化缓慢的曲线部分，二阶模型已能达到精度需求；当电压波动明显时，则需改用三阶模型进行更精确描述。实验选取了−10℃、10℃、30℃和40℃四个温度点进行参数识别，拟合得到的三维参数曲面详见图5。

3. 基于MIAUKF算法的锂电池SOC估计

多新息自适应无迹卡尔曼滤波(MIAUKF)算法

MIAUKF算法通过引入多新息理论与自适应噪声协方差更新机制，提升UKF在动态工况下的鲁棒性与估计精度，具体改进如下：

Figure 5. Capacitance identification results

图5. 阻容辨识结果

改进1：多新息观测向量扩展

定义长度为p的新息窗口，构造扩展观测向量：

${\epsilon }_k={\left[e_k,e_{k-1},\cdots ,e_{k-p+1}\right]}^{\text{T}}$ (10)

其中，$e_k=y_k-{\widehat{y}}_{k|k-1}$ 为单步新息。观测更新时，利用多新息向量对状态估计进行优化调整：

${\widehat{x}}_{k|k}={\widehat{x}}_{k|k-1}+K_k{\epsilon }_k$ (11)

改进2：自适应噪声协方差在线调整

基于滑动窗口内的新息序列动态更新量测噪声协方差$R_k$ ：

$R_k=\frac{1}{p}{\displaystyle {\sum }_{i=k-p+1}^k{e}_i{e}_i^{\text{T}}}-P_{yy,k}+\frac{1}{p}{\displaystyle {\sum }_{i=k-p+1}^k{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{2n}{W}_c^{\left(j\right)}\left(y_{i|i-1}^{\left(j\right)}-{\widehat{y}}_{i|i-1}\right){\left({\chi }_{i|i-1}^{\left(j\right)}-{\widehat{y}}_{i|i-1}\right)}^{\text{T}}}}$ (12)

更新过程噪声协方差$Q_k$ ：

$Q_k=\frac{1}{p}{\displaystyle {\sum }_{i=k-p+1}^k\text{Δ}{x}_i\text{Δ}{x}_i^{\text{T}}}+P_{k|k}-{\displaystyle {\sum }_{j=0}^{2n}{W}_c^{\left(j\right)}\left({\chi }_{i|i-1}^{\left(j\right)}-{\widehat{x}}_{i|i-1}\right){\left({\chi }_{i|i-1}^{\left(j\right)}-{\widehat{x}}_{i|i-1}\right)}^{\text{T}}}$ (13)

其中，$\text{Δ}{x}_i={\widehat{x}}_{i|i}-{\widehat{x}}_{i|i-1}$。

改进3：鲁棒H∞滤波融合

为防止非高斯噪声导致滤波发散，引入H∞鲁棒性约束，修正卡尔曼增益：

$K_k=P_{xy,k}{\left(P_{yy,k}+{\gamma }^{2}I\right)}^{-1}$ (14)

其中，γ为鲁棒性调节因子，抑制噪声异常扰动。

MIAUKF算法中超参数多新息窗口长度p与鲁棒性调节因子γ的取值通过以下方法确定：p综合考虑估计精度与计算效率，经网格搜索在区间[3, 10]内以SOC估计均方根误差(RMSE)最小为准则优选，鲁棒性调节因子γ通过理论分析与试凑法相结合确定。为分析超参数取值对算法性能的影响，表1给出了不同p和γ组合下SOC估计RMSE。结果表明，p = 5、γ = 0.8时RMSE最小(0.63%)，且邻近参数性能变化平缓，说明算法对该组参数值不敏感，鲁棒性良好。

Table 1. Hyperparameter sensitivity analysis (SOC estimation RMSE/%)

表1. 超参数敏感性分析(SOC估计RMSE/%)

P/γ	0.5	0.8	1.2
3	0.92	0.88	0.95
5	0.75	0.63	0.78
8	0.81	0.70	0.84

4. 工况验证

本文选用ANR26650M1A型磷酸铁锂电池为研究对象。电池相关参数如下表2。

4.1. 等效模型验证

通过图6的误差曲线对比可以观察到，采用更高阶次的建模方法能够有效改善电池在极端SOC区间的电压估计效果，变阶模型最大误差为10 mV，较二阶RC模型39 mV最大误差降低74.4%。实验数据表明，基于可变阶的等效电路模型输出值与动力电池端电压真实值具有更高吻合度，在脉冲放电工况下展现出更优的电压跟踪性能。

Table 2. ANR26650M1A battery specifications

表2. ANR26650M1A型电池参数

项目	参数
尺寸	直径26 mm高度65 mm
标称容量	2300 mAh
标称电压	3.3 V
充电截止电压	3.8 V
充电截止电流	100 mA
放电截止电压	2.0 V
放电截止电流	4000 mA

Figure 6. Comparison of end voltage errors under pulse discharge

图6. 脉冲放电下端电压误差比较

4.2. 基于MIAUKF算法SOC估计验证

本研究通过恒流放电测试获取电池性能数据。实验中分别运用无迹卡尔曼滤波(UKF)、自适应无迹卡尔曼滤波(AUKF, Adaptive unscented Kalman filter)以及改进自适应无迹卡尔曼滤波(MIAUKF)三种方法进行荷电状态(SOC)估算。通过将各算法的估算结果与安时积分法基准值进行对比分析，重点评估了MIAUKF算法在SOC估算方面的性能表现。

本研究基于0.3C恒流放电测试数据，对电池SOC估算方法进行精度验证。恒流放电电流稳定，能真实反映电池稳态性能，适合作为UKF、AUKF和MIAUKF算法的测试条件。实验过程中，将三种算法的SOC估算结果与安时积分法基准值进行详细比对，并计算相应误差。图7为对应的误差变化情况。

由图7所示，UKF、AUKF及MIAUKF算法均展现出对电池荷电状态(SOC)较高精度的估计能力，其估计误差均稳定维持于2.5%区间内。但是，相较于UKF与AUKF算法，MIAUKF算法在SOC估计精度方面表现更为优异，具体表现为：MIAUKF算法所实现的SOC估计平均误差为0.63%，显著低于UKF算法的1.08%及AUKF算法的0.84%；进一步分析最大误差指标，MIAUKF算法的最大误差值为1.67%，而UKF与AUKF算法则分别达到2.65%与1.93%。由此可见，MIAUKF算法具有更高的估计精度。

Figure 7. Comparison of SOC estimation errors in constant current discharge mode

图7. 恒流放电模式下的SOC估计误差对比

5. 结论

本文提出了一种基于可变阶模型与多新息自适应无迹卡尔曼滤波(MIAUKF)算法的锂电池荷电状态联合估计方法，其核心创新点在于通过动态调整等效电路模型阶数(二阶至三阶)适配电池非线性特性，并融合多新息观测扩展、噪声协方差自适应修正及H∞鲁棒约束机制，构建高精度、强鲁棒的SOC估计框架。实验结果表明，可变阶模型在SOC极端区间(<20%或>80%)采用三阶结构，显著降低了端电压估计误差，较传统二阶模型提升74%以上；同时，MIAUKF算法在恒流放电工况下表现优异，其SOC估计平均误差分别低至0.63%，尤其在电流突变频繁场景中误差曲线更平顺，验证了算法对复杂工况的适应性。本研究在传统模型以及传统SOC估计算法的基础上做出了改进，为锂电池状态估计提供了兼顾精度、实用性与鲁棒性的解决方案。

致 谢

本研究及论文的完成，首先衷心感谢我的导师李政林老师。李老师在研究选题、方案设计、实验开展及论文撰写与修改的全程中给予了悉心的指导和宝贵的建议，其严谨的治学态度和深厚的学术造诣使我受益匪浅。

本研究得到了多项科研基金项目的鼎力支持，特此致谢：国家自然科学基金(项目编号：12364011)、中央引导地方科技发展专项资金(项目编号：2023PRJ0103)、广西科技重大专项(项目编号：桂科AD25069027)以及柳州市科技重大专项项目(项目编号：2024AA0204A001)。这些资助为本研究提供了坚实的物质基础和保障。

同时，感谢在研究过程中提供帮助和建议的各位老师、同学和朋友们。此外，诚挚感谢所有相关研究文献、图片、数据及思想来源的作者、机构和版权所有者，感谢你们的知识分享与转载引用授权，为本研究提供了重要的理论依据和参考。

基金项目

中央引导地方科技发展专项资金(2023PRJ0103)；广西科技重大专项(桂科AD25069027)；柳州市科技重大专项项目(2024AA0204A001)；国家自然科学基金(12364011)。