修改的维纳指数和修改的超维纳指数的若干结果

Some Conclusions on Modified Wiener Index and Modified Hyper-Wiener Index

摘要: 修改的维纳指数和修改的超维纳指数作为一类化学参数用来衡量分子的化学结构和化学性质。本文给出线图和一些特殊图类修改的维纳指数和修改的超维纳指数的若干结果。

Abstract: As a class of parameter in chemical, modified wiener index and modified hyper-wiener index are used to measure the structure and characters of molecular. In this paper, we present some results on modified wiener index and modified hyper-wiener index for line graph and several classes of graphs.

1. 引言

在理论化学中，常用图模型来表示分子结构，用顶点来表示原子，边表示它们之间的化学键。而化学分子的特性常常用一些参数来衡量，比如PI指数、维纳指数、Randic 指数等等。相关内容可参考 [1] - [5] 。本文只考虑无向、简单、有限图。设G是一个图，它的顶点集合和边集分别用V(G)和E(G)来表示。文中所用符号和标记若没有特别说明则与 [6] 一致。

一个图的维纳指数是图中所有顶点对的距离之和：

,

其中表示顶点u和v在G中的距离。修改的维纳指数作为一般维纳指数的推广，其定义如下：

,

其中是实数。作为超维纳指数的推广， [7] 定义了修改的超维纳指数如下：

,

其中是实数。有关维纳相关指数的研究是近年来理论化学研究的热点，相关内容可参考[8] -[10] 。本文将研究线图和一些特殊图类的修改维纳指数和修改的超维纳指数，给出若干结果。

2. 线图的维纳相关指数

定理1. 设G是有n个顶点，m条边的连通图，且v_i的度为d_i。若G的直径且G的任意一个导出子图都不同构于下面的F₁，F₂和F₃。

设为G的线图，则有：

,

.

证明：由线图的定义可知,。若，则

.

.

对一个直径不超过2的连通图，易知在导出子图不同构于F₁，F₂和F₃的条件下，其线图的直径也不会超过2。从而有

,

.

结论证毕。,

推论1. 设G是一个有n个顶点的连通r正则图。若G的直径且G的任意一个导出子图都不同构于图1中的F₁，F₂和F₃。则有

,

.

证明：根据正则图的定义，有,。代入定理1即得结论。,

定理2. 设G是一个连通图，其顶点集合，边集合。设v_i的度为d_i。若是G的任意一条边，则e的度定义为。若，则有

,

.

上式等号成立的充分必要条件为：G的直径且G的任意一个导出子图都不同构于图1中的F₁，F₂和F₃。

若，则有

,

.

同理，上式等号成立的充分必要条件为：G的直径且G的任意一个导出子图都不同构于图1中的F₁，F₂和F₃。

证明：下面只给出情况的证明，对于的情景可用类似的方法得到结论。

对于每个顶点v_i而言，有d_i条边和它相关联，这些边在L(T)中构成顶点数为d_i的完全图。因此这d_i个顶

Figure 1. The avoiding induced subgraphs

图1. G的导出子图的禁图

点之间的距离和以及距离平方和均为。

对于边，它一共关联了条边。因此e在G中不关联的边共有条。在中，e与这个顶点的距离至少为2。从而有

,

.

若G的直径且G的任意一个导出子图都不同构于图1中的F₁，F₂和F₃，则成立。e与这个顶点在中的距离恰好为2，从而

,

.

反过来要使上式成立，那么G中任意两条不关联的边在中的距离必须为2。设和在中的距离为2，则存在G中的边同时与和关联。这时G的任意一个导出子图都不同构于图1中的3个禁图，且。结论证毕。,

若G是一个r-正则图，那么, ,。运用定理2的结论可得如下推论。

推论2. 设G是一个有n个顶点的连通r正则图。若，则

,

.

上式等号成立的充分必要条件为：G的直径且G的任意一个导出子图都不同构于图1中的F₁，F₂和F₃。

若，则

,

.

同理，上式等号成立的充分必要条件为：G的直径且G的任意一个导出子图都不同构于图1中的F₁，F₂和F₃。

下面两个定理讨论树的线图的维纳相关指数计算公式。

定理3. 设T是一个树，且v_i的度记为。L(T)表示T的线图，则

,

.

证明：线图L(T)的顶点即为原图T的边。对于每个顶点v_i而言，有d_i条边和它相关联，这些边在L(T)中构成顶点数为d_i的完全图。因此这d_i个顶点之间的距离和以及距离平方和均为

(1)

设v_i, v_j是T中的顶点，它们的度分别为d_i，d_j。设是顶点v_i在T中所关联的边，是顶点v_j在T中所关联的边，且满足和没有公共顶点(,), 同时这些边都不在v_i, v_j之间的路径上。由此可知和在L(T)中的距离为。从而关联v_i的边和关联v_j的边之间的距离和以及距离平方和分别为：

, (2)

. (3)

结合(1)~(3)，可知

,

.

结论证毕。,

3. 若干图类的维纳相关指数

定理4. 设G是有n个顶点的连通图，并包含团。设为在G中删除的边得到的图，。若，则有

,

,

等式成立当且仅当。

若，则有

,

.

同样，等式成立当且仅当。

证明：下面只给出情况的证明，对于的情景可用类似的方法得到结论。

设。不失一般性，设团的顶点集为，G中剩下的顶点为。从而中任意两个顶点在中的距离至少为2，剩余顶点对在中的距离至少为1。得到

,

.

若，则可直接验证上式等号成立。

反过来，设或者 。若G不同构于，则G中至少有一对顶点不相邻。不妨设在G中两两不相邻，其中。从而

或者

由于并且，可知

,

或者

这和假设矛盾，因此。

设G₁，G₂是G的两个子图。若成立，则称G₁，G₂是独立的。

定理5. 设(其中)是完全图中k个相互独立的完全子图。设图是从中删除的边而得到的图，其中，，。则

,

.

证明：对于每个其内部任意两个顶点在中的距离均为2。其余对顶点在中的距离均为1。从而

,

.

结论证毕。,

定理6. 设(其中,)是完全图中与某个顶点v相关联的k条边。设是从中删除边得到的图。则有

,

.

证明：易知在中，有k对顶点的距离为2，其余对顶点的距离为1。从而

,

.

结论证毕。,

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11401519)。