1. 引言
通常一个堆物理计算主要包括三方面条件：模型建立、核数据和计算程序[1] 。理论上这三个方面所引入的计算不确定性使得最终计算结果存在一定的不确定度。但是随着计算机技术和计算方法的迅猛发展，计算程序和模型对计算结果精确度的影响已逐渐减小，而核数据自身不确定度对堆芯物理参数计算不确定性的贡献越来越不可忽视[2] 。本文基于微扰理论及扩散理论，开展堆芯有效增殖因子对少群宏观截面的敏感性分析。与传统分析中是研究有效增殖因子对微观截面不同反应道的敏感性所不同，本文着重考虑不确定性的传播，即核数据自身不确定性从微观截面传递到宏观截面后，对于积分参数的影响。基于敏感性分析，后期与宏观截面参数协方差矩阵相积便得到堆芯少群宏观参数对堆芯积分参数计算不确定性的贡献。
2. 理论模型
2.1. 基于微扰理论的keff灵敏度计算
稳态的中子输运方程或者是扩散方程都可以写成[3] ：
(1)
上述方程的共轭形式为：
(2)
这里，
是共轭通量，A*和B*分别是A和B的共轭算符。对系统进行微扰，则为：
(3)
定义了
，
，
均为A，B，λ的微扰形式：
，
，
。公式(3)两边乘以共轭通量，并对整个空间积分，再将上面的微扰形式带入，可以得到：
(4)
(5)
得到：
(6)
忽略二级小量
，得到：
(7)
相对于宏观截面灵敏度为：
(8)
因为：
(9)
得到：
(10)
最终得到：
(11)
基于此，得到了求解有效增殖因子对少群宏观截面参数的灵敏度的公式。
2.2. 基于扩散方程的keff灵敏度计算
本文采用核反应堆堆芯分析程序CITATION计算方程中所需的参数，该程序是在扩散方程的基础上进行的计算，所以本文也是应用了扩散方程来进行方程离散，然后对离散后的灵敏度进行数值计算。
(12)
基于上一节的公式(11)已经得到了灵敏度公式，对于不同截面化简得到灵敏度公式：
对于辐射俘获截面：
(13)
对于中子产出截面：
(14)
对于散射截面：
(15)
对于扩散系数 [4] ：
(16)
对于散射灵敏度来说，对于某一能群的灵敏度为这一能群散射到其他能群的灵敏度的加和，即：
(17)
灵敏度计算流程图如图1所示，在进行了公式推导与公式离散公式以后，接下来要考虑如何获取所需参数的值。首先用SCALE6.1 [5] 建立组件模型以求出组件截面；再将少群宏观截面导入到CITATION [6] 程序中计算所需参量，最终通过自主开发的敏感性分析程序PETMUS计算得到有效增殖因子对各个组件少群宏观截面参数的灵敏度以及全堆芯的灵敏度函数
3. 模型与结果
3.1. AP1000堆芯模型介绍
本文的研究对象为AP1000反应堆堆芯。AP1000传统型反应堆径向上采用三种富集度的九种不同组件，如表1所示。
传统的第一循环堆芯装载，对于首炉堆芯，传统装载方式的每个燃料组件各自的所有燃料棒都有相同的、沿轴向单一的U-235富集度。堆芯布局见图2。
但是燃料棒轴向的分区使得组件种类增多，传统第一循环IFBA棒由三个区段组成，轴向两端20.32 cm长的环状区的U-235富集度与棒主体部分相同，未涂覆ZrB2。不含ZrB2涂层的燃料棒沿轴向是全长均匀的，两端没有低富集度区。Pyrex毒物棒在顶端和底端分别有38.10 cm和20.32 cm的不锈钢定位件，中间段主体部分含重量百分比12.5 w/o的B2O3。轴向分区情况见图3。
3.2. 敏感性数值验证结果
正如上一节离散的分群分区的灵敏度公式所示，采用Fortran语言进行编程，开发了相应的程序PETMUS，得到了灵敏度计算结果。为了得知结果是否可信，我们采用直接拟合方法来验证程序计算得到的辐射俘获截面、中子产出截面、散射截面以及扩散系数的灵敏度。两群的能群能量上限和下限的分界点为0.625 ev。
由图4可以看出，扩散系数灵敏度相对于其他截面灵敏度来说是很小的，在全堆芯与其他截面信息
Table 1. AP1000 traditional core component types
表1. AP1000传统型堆芯组件种类
Figure 1. Sensitivity calculation frame
图1. 灵敏度计算流程图
的灵敏度相比中是很不敏感的。
为了验证程序计算的灵敏度是否正确，采用直接拟合法进行验证 [7] ，结果如表2所示。可以看到相对误差除扩散系数项均在1%以内，可以验证程序所计算出的灵敏度的正确性。之所以扩散系数的灵敏度误差很大主要是由于在计算过程中的净中子流处理的不是很理想，但是由于其敏感性较小，所以对整体影响不大，后期研究过程中会加入不连续因子深入研究。其次，有效增殖因子的截断误差引起的直接拟合结果误差较大。由于扩散系数的敏感性较小，那么在直接拟合过程中扩散系数的改变对于堆芯有效增殖因子的影响也是很小的，在程序计算结果中有效增殖因子有效数字只有五位，所以截断误差导致的该项的直接拟合结果误差较大。综合上面两点原因，导致扩散系数敏感性的程序计算结果和直接拟合结果相对误差较大。
上面的结果为堆芯总体的灵敏度结果，可以看到吸收截面的灵敏度为负值，说明吸收截面的变化与堆芯总体的有效增殖因子值是负相关的，其中2群的绝对值是0.758974，说明2群吸收截面的变化对于有效增殖因子的变化影响是很显著的。中子产出截面的灵敏度均为正值，2群灵敏度为0.765921，明显大于1群的灵敏度，说明相比较而言2群的中子产出截面的变化对于堆芯的有效增殖因子有很强的正相关性。
该程序可以计算得到各个组件的灵敏度，这样可以看出堆芯内部灵敏度的分布情况，以便于日后的详细的研究。图5到图8为轴向某一层的1群的吸收灵敏度、中子产出灵敏度、散射灵敏度、扩散系数灵敏度。从图5和图8看出，堆芯各个组件的吸收截面灵敏度和扩散系数灵敏度均为负值，且中心部分绝对值较大，这是由于中心部分通量与共轭通量的值较大，对于灵敏度的影响较为明显；边缘部分灵敏度绝对值较小，这是由于边缘处通量与共轭通量的值较小，所以得到的灵敏度的绝对值也较小。图6和图7所示的各个组件的中子产出截面灵敏度和散射截面灵敏度均为正值，且中间部分灵敏度数值较大，边缘处灵敏度数值较小，这也是由于通量和中子价值的共同影响造成的，中心处中子价值高，通量值也高，所以得到的灵敏度值也较大，边缘处则相反。
表2. 结果验证
Figure 3. Diagram of AP1000 axial zones
图3. AP1000轴向分区情况示意图
Figure 4. Sensitivity calculation results
图4. 灵敏度计算结果
Figure 5. Absorption cross section sensitivity of group 1
图5. 1能群吸收截面灵敏度
Figure 6. Neutron removal cross section sensitivity of group 1
图6. 1能群中子产出截面灵敏度
4. 结论
本文基于微扰理论推到得到了有效增殖因子对少群宏观截面参数的灵敏度的计算公式。基于此开发了灵敏度计算程序PETMUS，该程序可耦合堆芯扩散程序CITATION以计算堆芯有效增殖因子对不同宏观截面参数的灵敏度。同时采用直接拟合方法验证本文方法与程序的正确性。基于自主开发程序重点研究了堆芯有效增殖因子对两群宏观辐射俘获截面、中子产出截面、散射截面以及扩散系数的灵敏度。由
Figure 7. Scattering cross section sensitivity of group 1
图7. 1能群散射截面灵敏度
Figure 8. Diffusion coefficient sensitivity of group 1
图8. 1能群扩散系数灵敏度
于中子流计算精度问题，目前研究中有效增殖因子对扩散系数的灵敏度误差较大。后期将应用不连续因子理论，以得到更加光滑的中子流分布以减少灵敏度分析误差。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(11505038)。